3.1.1 椭圆及其标准方程（讲义）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（暑假高一升高二衔接）

3.1.1 椭圆及其标准方程 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 用集合语言叙述为：“集合，其中，为椭圆的焦点，为椭圆的焦距”． 【注】对椭圆定义的理解 当，动点的轨迹为椭圆 当，则动点的轨迹为线段； 当，则动点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 1．两类椭圆的标准方程 椭圆标准方程 图示 焦点 在轴上，焦点为， 在轴上，焦点为， 中心 在坐标原点 a、b、c关系 （a最大） 备注 当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可 【提示】 1．这里的标准指的是中心在原点，对称轴为坐标轴． 2．标准方程中的两个参数和确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件． 3．在椭圆的两种标准方程中，如果的分母大，那么焦点在轴上；如果的分母大，那么焦点在轴上，这是椭圆的定位条件． 2．求椭圆的标准方程的2种方法 （1） 待定系数法： ①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”. ②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2） 定义法： 先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 典例剖析 【考点一 对椭圆标准方程的理解】 【题型一 椭圆的定义】 1．已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【变式】设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 2．（多选）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【题型二 方程表示椭圆的条件】 3．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式】“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【变式】（多选）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 5．（多选）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【考点二 求椭圆的标准方程】 【题型一 由几何关系得基本量】 6．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 【变式】中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 8．已知椭圆过点，离心率为，则椭圆的方程为 ． 【题型二 待定系数法（一般设法）】 9．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． (3)经过点，的椭圆． 【题型三 待定系数法（特殊设法）】 11．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【练习】与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 三、动点轨迹和轨迹方程知识梳理 求动点轨迹方程的常用方法 1. 直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下： 2. 定义法：当动点的轨迹符合某种图形的定义时，可根据定义直接写出动点的轨迹方程． 3. 相关点法：若动点随着圆上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入其所在图形的方程，即得动点的轨迹方程． 【考点三 椭圆的轨迹方程】典例剖析 【方法一 直接法】 13．在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为．记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； 【变式】已知在平面直角坐标系内，点到直线的距离是到点的距离的倍，设点的轨迹为曲线，求曲线的方程， 【方法二 相关点法】 14．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【练习】过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程． 15．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是 【方法三 定义法】 16．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 17．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【变式】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 18．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆及其标准方程 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 用集合语言叙述为：“集合，其中，为椭圆的焦点，为椭圆的焦距”． 【注】对椭圆定义的理解 当，动点的轨迹为椭圆 当，则动点的轨迹为线段； 当，则动点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 1．两类椭圆的标准方程 椭圆标准方程 图示 焦点 在轴上，焦点为， 在轴上，焦点为， 中心 在坐标原点 a、b、c关系 （a最大） 备注 当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可 【提示】 1．这里的标准指的是中心在原点，对称轴为坐标轴． 2．标准方程中的两个参数和确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件． 3．在椭圆的两种标准方程中，如果的分母大，那么焦点在轴上；如果的分母大，那么焦点在轴上，这是椭圆的定位条件． 2．求椭圆的标准方程的2种方法 （1） 待定系数法： ①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”. ②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2） 定义法： 先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 典例剖析 【考点一 对椭圆标准方程的理解】 【题型一 椭圆的定义】 1．已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【来源】快速通道3 椭圆及其几何性质【打通教材与高考】 【分析】根据椭圆的定义，简单计算后可得结论. 【详解】因为，，则，所以， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆. 故选：A． 【变式】设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【来源】【导学案】 3.1.1.1 椭圆的标准方程 课前预习-湘教版（2019）选择性必修第一册第第3章 圆锥曲线与方程 【分析】由基本不等式可得，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 2．（多选）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】重庆市2024-2025学年高二上学期1月期末联合检测数学试题（康德卷） 【分析】由椭圆定义可知，则点在以为圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 【题型二 方程表示椭圆的条件】 3．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北师大版（2019） 选修第一册 数学奇书 第二章 圆锥曲线 �1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 【变式】“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】【智】031 3.1.1第1课时 椭圆及其标准方程（一） 高中数学选择性必修第一册（人教A版） 【分析】本题考查的是对充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 4．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【来源】江苏省淮安市淮阴中学2023-2024学年高二上学期期初调研测试数学试题 【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD. 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 【变式】（多选）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BCD 【来源】云南省楚雄彝族自治州2024届高三上学期期末数学试题 【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可. 【详解】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD 5．（多选）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【来源】广东省佛山市H7教育共同体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 【考点二 求椭圆的标准方程】 【题型一 由几何关系得基本量】 6．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 【答案】或 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 【分析】求出的值，再分焦点位置直接写出方程. 【详解】由题意，有， ∴椭圆C的标准方程可能为或. 故答案为：或 【变式】中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省淮南市凤台县第一中学2024-2025学年高二上学期期中模拟（七）数学试题 【分析】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 7．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【答案】 【来源】第五单元 椭圆B卷 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 8．已知椭圆过点，离心率为，则椭圆的方程为 ． 【答案】(1)； 【来源】重庆市鲁能巴蜀中学校2026届高三第一次适应性考试数学试卷 【分析】（1）根据和离心率得到方程组，求出，得到椭圆方程； 【详解】（1）由题意得，解得，椭圆C：； 【题型二 待定系数法（一般设法）】 9．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南省昭通市昭通一中教研联盟2024~2025学年高二下学期期中数学试题（B卷） 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 10．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)； (2). 【来源】陕西省西安交通大学附属中学航天高级中学2024-2025学年高二上学期第一次诊断（期中）考试数学试题 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）设椭圆方程为，根据题意列方程组求出参数可得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. （3）经过点，的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【来源】内蒙古赤峰市2024-2025学年高三下学期4�20模拟考试数学试题 【分析】根据椭圆经过的两个点的坐标，确定椭圆焦点位置，进而求出、的值，最后写出椭圆的标准方程. 【详解】已知椭圆经过，两点. 点在轴上，点在轴上，且，所以椭圆的焦点在轴上. 对于焦点在轴上的椭圆，其标准方程为（）， 因为椭圆过点，所以； 椭圆过点，所以. 将，代入椭圆标准方程中，可得，即. 故答案为：. 【题型三 待定系数法（特殊设法）】 11．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【来源】江苏省徐州市多校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 【练习】与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】人教A版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 【分析】利用条件求得所求椭圆的、值，即可得到其标准方程. 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 12．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【来源】广东省江门市台山市华侨中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 三、动点轨迹和轨迹方程知识梳理 求动点轨迹方程的常用方法 1. 直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下： 2. 定义法：当动点的轨迹符合某种图形的定义时，可根据定义直接写出动点的轨迹方程． 3. 相关点法：若动点随着圆上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入其所在图形的方程，即得动点的轨迹方程． 【考点三 椭圆的轨迹方程】典例剖析 【方法一 直接法】 13．在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． (1)记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； 【答案】(1) 【来源】四川省自贡市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）设，根据列方程化简可得结果. 【详解】（1）设，则， 由得，， 所以曲线的方程为. 【变式】已知在平面直角坐标系内，点到直线的距离是到点的距离的倍，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程， 【答案】(1)； 【来源】重庆市拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）2024-2025学年高二下学期3月联合考试数学试卷及答案 【分析】（1）利用设点法，用距离公式表达已知条件，整理可得到曲线的方程，整理为椭圆的标准方程； 【详解】（1）设，因为，所以，整理得 【方法二 相关点法】 14．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京市中华中学2025届高三三模数学试题 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【练习】过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【来源】17.3 圆锥曲线的直径 【分析】解法一：用点差法，设及其中点坐标，将代入椭圆方程并作差变形，利用中点坐标公式及直线的斜率即可得所求的轨迹方程； 解法二：设弦中点利用中点坐标求得的坐标，代入椭圆方程化简整理即得所求的轨迹方程； 解法三：设的中点坐标为，由及，得等式化简即得所求的轨迹方程. 【详解】解法一：设中点 ， 则， 则有两式相减，整理得． 又因为， 所以， 所以， 而，故． 化简可得． 即中点的轨迹方程为． 解法二：设弦中点． 由已知得， 从而， 又因为在椭圆上， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为． 解法三：设的中点坐标为． 由结论易知：， 又因为点在直线上， 所以直线的斜率还可以表示为：，所以有， 化简可得． 即中点的轨迹方程为． 15．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025届黑龙江省齐齐哈尔市高三一模数学试题 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 【变式】在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【来源】福建省莆田市莆田第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程. 【详解】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程. 故选：A. 【方法三 定义法】 16．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】第五单元 椭圆A卷 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为 ，则，， 所以，，故所求轨迹方程为. 故选：A 17．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【来源】2025届安徽省合肥市集团校高三5下学期月考前适应性训练数学试卷 【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况. 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 【变式】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 18．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】云南省长水教育集团2024-2025学年高二下学期质量检测（6月）数学试题 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 【变式】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【来源】第10讲 椭圆藏秘密 距离和为定 【分析】本题根据中垂线的性质可得点的轨迹是椭圆 【详解】连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 而， 故点的轨迹是焦点为，的椭圆， 且，即，则， 因此，点的轨迹方程为． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$