第14讲 解三角形-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第14讲 解三角形 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握基本不等式的内容 2．利用基本不等式求最值 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C． 余弦定理的推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝. 2．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径． 正弦定理的变形公式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 3．三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 4．常用结论 在△ABC中，常用以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． (6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 考点1　利用正弦定理、余弦定理解三角形 1．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　) A．6　　 B．5　　 C．4　　 D．3 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝ ． 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝ ． 考点2　判断三角形的形状 例1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 变式：若本例条件变为＝，判断△ABC的形状． 变式1．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2．给出下列命题： ①若tan Atan B>1，则△ABC一定是钝角三角形； ②若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形； ③若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形． 其中正确命题的序号为 ． 考点3　三角形的面积 例2．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c.若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　) A．2　　 B．2　　 C．4　　 D．3 例3．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD＝4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为________，四边形ABCD的面积为 ．(注：圆内接凸四边形对角互补) 例4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝150°. (1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积； (2)若sin A＋sin C＝，求C． 练习1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为 ． 练习2．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ． 练习3．在①B＝，②a＝2，③bcos A＋acos B＝＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题． 已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且 ，求△ABC的面积S的大小． 多解探究： 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＋2c2＝8，则三角形ABC面积的最大值为(　　) A．　　 B．　 　C．　　 D． 变式：△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 1．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＝3，c＝，B＝，则角C＝(　　) A．　　 B．　 　C．　　 D． 2．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　) A． B．2 C．4 D．8 3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，c＝2，cos ＝，则b＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 4．在△ABC中，BC＝2，D为BC的中点，∠BAD＝，AD＝1，则AC＝(　　) A．2　　 B．2　　 C．6－　　 D．2 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝ ． 7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为 ． 8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°.若S△ABC＝，2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于 ． 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8cos2－2cos 2A＝3. (1)求A； (2)若a＝2，且△ABC面积的最大值为，求△ABC周长的取值范围． 10．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，p＝(sin A＋cos C，sin A)，q＝(cos C－sin A，－sin C)．若p·q＝. (1)求角B； (2)若b＝3，求△ABC面积的最大值． 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且cos B＝，则＋＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．(多选题)已知△ABC的三个内角满足＝＝(m∈N*)，则当m取不同值时，关于△ABC的形状，说法正确的是(　　) A．当m＝2时，△ABC为锐角三角形 B．当m＝4时，△ABC为钝角三角形 C．当m＝6时 ，△ABC为等腰三角形 D．当m＝10时，△ABC为直角三角形 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　) A．sin2A－sin2B＝sin Bsin C B．c＝b(1－2cos A) C．A＝2B D．△ABC一定为钝角三角形 4．在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为 ． 5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)． (1)求角C． (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度． 条件①：△ABC的面积S＝4且B>A； 条件②：cos B＝. 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2＋cos A＝. (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第14讲 解三角形 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　利用正弦定理、余弦定理解三角形 1．A　2．A　3．75°　4．　 考点2　判断三角形的形状 例1．B　 变式：解：由＝， 得＝， 所以sin Acos A＝cos Bsin B， 所以sin 2A＝sin 2B． 因为A，B为△ABC的内角， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 变式1．A　 2．②③　 考点3　三角形的面积 例2．B　例3．　4 例4．解：(1)由余弦定理得a2＋c2－2accos B＝b2， 将a＝c，b＝2，B＝150°代入， 可得(c)2＋c2－2×c×ccos 150°＝(2)2， 整理得7c2＝28，解得c＝2. 所以a＝2. 所以S△ABC＝acsin B＝×2×2×＝. (2)因为A＋B＋C＝π， 所以sin A＝sin(B＋C)． 又因为sin A＋sin C＝， 所以sin(B＋C)＋sin C＝， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＋sin C＝. 将B＝150°代入， 整理得cos C＋sin C＝， 即sin(C＋30°)＝. 因为B＝150°，所以0°＜C＜30°， 即0°＜C＋30°＜60°， 所以C＋30°＝45°， 解得C＝15°. 练习1．6　练习2．－　 练习3．解： 多解探究：B　 变式：解：(1)由正弦定理和已知条件sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C， 得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2， 从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B． 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin. 又0<B<，所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值3＋2. 1．B　2．C　3．D　4．D　5．C　6．4　7．2　8．5＋　 9．解：因为8cos2－2cos 2A＝3， 所以4[1＋cos(B＋C)]－2cos 2A＝3， 整理得4cos2A＋4cos A－3＝0， 解得cos A＝或cos A＝－(舍去)． 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由题意知S△ABC＝bcsin A＝bc≤， 所以bc≤4. 又b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝2，所以b2＋c2＝4＋bc， 所以(b＋c)2＝4＋3bc≤16. 又b＋c>2，所以2<b＋c≤4，所以4<a＋b＋c≤6， 所以△ABC周长的取值范围是(4,6]． 10．解：(1)由题意知p·q＝cos2C－sin2A－sin Asin C＝＝cos2B， 所以1－sin2C－sin2A－sin Asin C＝1－sin2B． 即sin2A＋sin2C＋sin Asin C＝sin2B， 由正弦定理得a2＋c2＋ac＝b2， 所以a2＋c2－b2＝－ac＝2accos B， 所以cos B＝－. 因为0<B<π，所以B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以9＝a2＋c2＋ac≥3ac. 所以ac≤3，当且仅当a＝c时，等号成立． 所以S△ABC＝acsin B＝ac≤. 所以△ABC面积的最大值为. 1．D　2．BCD　3．AC　4．　 5．解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 b2＋c2－a2＝2bccos A， 所以2b2＝2bccos A(1－tan A)． 所以b＝c(cos A－sin A)． 由正弦定理得 sin B＝sin C(cos A－sin A)， 所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)， 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A． 所以sin Acos C＝－sin Csin A． 因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C， 所以tan C＝－1. 又因为0<C<π，所以C＝. (2)若选择条件①：△ABC的面积S＝4且B>A． 因为S△ABC＝4＝absin C＝absin ， 所以ab＝8. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以a2＋b2＋ab＝40. 联立 解得或 因为B>A，所以b>a，所以 所以CD＝. 在△ACD中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C＝26， 所以AD＝. 若选择条件②：cos B＝. 因为cos B＝，所以sin B＝. 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝. 由正弦定理得＝， 所以a＝＝2. 在△ABD中，由余弦定理得 AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝26， 所以AD＝. 6．(1)解：由已知得sin 2A＋cos A＝， 即cos2A－cos A＋＝0. 所以＝0，cos A＝. 由于0<A<π，故A＝. (2)证明：由正弦定理及已知条件得sin B－sin C＝sin A． 由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin . 即sin B－cos B＝，sin＝. 由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形． $$