第17讲 数列求和-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第17讲 数列求和 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．分组求和 2．错位相减 3．裂项求和 4．奇偶讨论 5．倒序相加 6．并项求和 1．求数列前n项和的常用方法 方法 数列 求和公式 公式法 等差数列 Sn＝＝na1＋d 等比数列 Sn＝ 分组求和法 等差±等比 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相加(减)构成的数列求和 倒序相加法 对偶法 将一个数列倒过来排列与原数列相加，主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和 裂项相消法 积商化差 适用于通项公式可以积化差的数列求和 错位相减法 等差×等比 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘(除)构成的数列求和 奇偶讨论法 正负号间隔 适用于奇数项与偶数项正负号间隔的数列求和 一些常见的数列前n项和公式 ①1＋2＋3＋4＋…＋n＝； ②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2; ③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)； ④12＋22＋…＋n2＝. 2．常用结论 常见的裂项技巧 ①＝－； ②＝； ③＝； ④＝－； ⑤＝. 考点1　利用公式法求数列的和 例1．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，首项a1＝1，则它的前2 020项的和等于(　　) A． B．2 021a1＋2 021×1 010d C．2 020 D．0 例2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为(　　) A．120 B．70 C．75 D．100 例3．已知数列{an}的前n项积为Tn.若对∀n≥2，n∈N*，都有Tn＋1·Tn－1＝2T成立，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前10项和为 ． 例4．等差数列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比数列，数列{an}前20项的和S20＝ ． 考点2　利用分组法求数列的和 例1．数列1，2，3，…的前n项和为Sn＝(　　) A． B．＋2n C．－＋1 D．－1 例2．已知函数f (n)＝且an＝f (n)＋f (n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0　　 B．100　　 C．－100　　 D．10200 例3．已知数列{an}满足an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，设Tk＝a1a2…ak(k∈N*)．若Tk∈N*，称数k为“企盼数”，则区间[1,2 020] 内所有的企盼数的和为(　　) A．2 020 B．2 026 C．2 044 D．2 048 例4．求和：Sn＝6＋66＋666＋…＋． 考点3　利用裂项相消法求数列的和 考向1　形如an＝ 例1．正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2,2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 考向2　形如an＝ 例2．已知函数f (x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 020＝ ． 练习1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，对∀n∈N*有2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为 ． 练习2．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列，数列{an}的前10项和为45. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 考点4　利用错位相减法求数列的和 例3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn<3. 变式：本例题干条件不变，若数列{bn}满足bn＝(an－n＋1)·3n，求数列{bn}的前n项和Pn. 练习1．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 考点1　利用公式法求数列的和 1．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，首项a1＝1，则它的前2 020项的和等于(　　) A． B．2 021a1＋2 021×1 010d C．2 020 D．0 2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为(　　) A．120 B．70 C．75 D．100 3．已知数列{an}的前n项积为Tn.若对∀n≥2，n∈N*，都有Tn＋1·Tn－1＝2T成立，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前10项和为 ． 4．等差数列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比数列，数列{an}前20项的和S20＝ ． 考点2　利用分组法求数列的和 练习1．数列1，2，3，…的前n项和为Sn＝(　　) A． B．＋2n C．－＋1 D．－1 练习2．已知函数f (n)＝且an＝f (n)＋f (n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0　　 B．100　　 C．－100　　 D．10 200 练习3．已知数列{an}满足an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，设Tk＝a1a2…ak(k∈N*)．若Tk∈N*，称数k为“企盼数”，则区间[1,2 020] 内所有的企盼数的和为(　　) A．2 020 B．2 026 C．2 044 D．2 048 4．求和：Sn＝6＋66＋666＋…＋. 考点3　利用裂项相消法求数列的和 考向1　形如an＝ 例1．正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2,2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 考向2　形如an＝ 例2．已知函数f (x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 020＝ ． 练习1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，对∀n∈N*有2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为 ． 2．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列，数列{an}的前10项和为45. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 考点4　利用错位相减法求数列的和 例3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn<3. 变式：本例题干条件不变，若数列{bn}满足bn＝(an－n＋1)·3n，求数列{bn}的前n项和Pn. 练习：设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 1．已知数列{an}是各项不相等的等差数列．若a1＝4，且a2，a4，a8成等比数列，则数列{an}的前8项和S8＝(　　) A．112　　 B．144　　 C．288　　 D．110 2．在数列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)(an－2)＝3(n∈N*)，则该数列的前2 020项的和是(　　) A．2 020 B．2 022 C．8 080 D．16 160 3．已知数列{an}满足an＋1＝an，a1＝1，则数列{anan＋1}的前10项和为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 4．已知函数y＝f (x)满足f (x)＋f (1－x)＝1.若数列{an}满足an＝f (0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f (1)，则数列{an}的前20项和为(　　) A．100　　 B．105　　 C．110　　 D．115 5．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2×10,4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整数n的最佳分解时，定义函数f (n)＝q－p，则数列{f (3n)}(n∈N*)的前100项和S100为(　　) A．350＋1 B．350－1 C． D． 6．数列1,2,4，…，2n＋1的前n项和Sn＝ ，各项和为 ． 7．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a6＝10，＋＋…＋＝5，则a1·a2·…·a6＝ ． 8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝2Sn－Sn＋1＋3.记bn＝log2a2n－1＋log2a2n，则数列{(－1)n·b}的前10项和为 ． 9．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． 10．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ (取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665) 1．已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　) A．{an}为单调递增数列 B．＝9 C．S3，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 2．已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为的等比数列．若数列{an·bn}的前n项和Sn＝3－，则( ) A．数列{an}的公差为 B．b1＝2 C．＝(2n－1)2n D．数列的前n项和为(2n－3)2n＋1＋6 3．已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3·…·an＝2 (n∈N*)．若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则数列{bn}的通项公式bn＝ ，数列的前n项和Sn＝ ． 4．在①A5＝B3，②－＝，③B5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>0)，等差数列{bn}的公差为2d.设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1＝3，A2＝3， ， (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝2an＋，求数列{cn}的前n项和Sn． 5．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝，a1－a2＝，数列{bn}满足b1＝－3，且1＋bn＋1与1－bn的等差中项是an. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若cn＝(－1)nbn，求数列{cn}的前2n项和S2n． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第17讲 数列求和 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　利用公式法求数列的和 例1．C 例2．C　例3．1 023　例4．200或330　 考点2　利用分组法求数列的和 例1. C　例2．B　例3．B　 例4．解：Sn＝6＋66＋666＋…＋＝(9＋99＋999＋…＋) ＝[(10－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)] ＝(10＋102＋103＋…＋10n－n) ＝ ＝(10n－1)－n. 考点3　利用裂项相消法求数列的和 考向1　形如an＝ 例1．解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)， 由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2， 化简得，d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2. (2)因为Sn＝＝＝n2＋3n， 所以bn＝＝ ＝ ＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝＋＋＋…＋ ＝－＝. 考向2　形如an＝ 例2．－1　 练习1．9　 练习2．解：(1)公差d不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列， 可得a1a8＝a，即有a1(a1＋7d)＝(a1＋3d)2， 化为a1＝9d. 数列{an}的前10项和为45，可得10a1＋45d＝45， 解得a1＝3，d＝，则an＝3＋(n－1)＝； (2)bn＝＝＝9， 则Tn＝9＝9＝. 考点4　利用错位相减法求数列的和 例3．(1)解：设数列{an}的公差为d， 则由已知得 解得a1＝1，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)证明：bn＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－， 故Tn＝3－－＝3－<3. 变式：解：设数列{an}的公差为d， 则由已知得 解得a1＝1，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. bn＝(an－n＋1)·3n＝n·3n， 所以Pn＝3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， 3Pn＝32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1， 两式相减得 －2Pn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1， 所以Pn＝ ·3n＋1＋. 练习1．解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 所以当n≥2时， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.② ①－②得3n－1an＝，所以an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝， 所以an＝. (2)因为bn＝，所以bn＝n·3n. 所以Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③ 所以3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④ ④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)， 即2Sn＝n·3n＋1－， 所以Sn＝＋. 考点1　利用公式法求数列的和 1.C　2．C　3．1 023　4．200或330　 考点2　利用分组法求数列的和 练习1．C　练习2．B　 练习3．B　 4．解：Sn＝6＋66＋666＋…＋＝(9＋99＋999＋…＋) ＝[(10－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)] ＝(10＋102＋103＋…＋10n－n) ＝ ＝(10n－1)－n. 考点3　利用裂项相消法求数列的和 考向1　形如an＝ 例1．解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)， 由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2， 化简得，d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2. (2)因为Sn＝＝＝n2＋3n， 所以bn＝＝ ＝ ＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝＋＋＋…＋ ＝－＝. 考向2　形如an＝ 例2．－1　 练习1．9　 2．解：(1)公差d不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列， 可得a1a8＝a，即有a1(a1＋7d)＝(a1＋3d)2， 化为a1＝9d. 数列{an}的前10项和为45，可得10a1＋45d＝45， 解得a1＝3，d＝，则an＝3＋(n－1)＝； (2)bn＝＝＝9， 则Tn＝9＝9＝. 考点4　利用错位相减法求数列的和 例3．(1)解：设数列{an}的公差为d， 则由已知得 解得a1＝1，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)证明：bn＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－， 故Tn＝3－－＝3－<3. 变式：解：设数列{an}的公差为d， 则由已知得 解得a1＝1，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. bn＝(an－n＋1)·3n＝n·3n， 所以Pn＝3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， 3Pn＝32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1， 两式相减得 －2Pn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1， 所以Pn＝ ·3n＋1＋. 练习：解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 所以当n≥2时， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.② ①－②得3n－1an＝，所以an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝， 所以an＝. (2)因为bn＝，所以bn＝n·3n. 所以Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③ 所以3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④ ④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)， 即2Sn＝n·3n＋1－， 所以Sn＝＋. 1．B　2．C　3．A　4．D　5．B　6．2n－1　2n＋2－1　7．8　8．200　 9．解：(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27， 所以bn＝3n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1. (2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1， 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 10．解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列． ①甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(万元)， 银行贷款本息：10(1＋5%)10≈16.29(万元)， 故甲方案纯利：42.62－16.29＝26.33(万元)． ②乙方案获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋×0.5＝32.50(万元)； 银行本息和：1.05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)9]＝1.05×≈13.21(万元)． 故乙方案纯利：32.50－13.21＝19.29(万元)． 综上可知，甲方案更好． 1．BD　 2．CD 3．　　 4．解：方案一：选条件①. (1)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，且A2＝3，A5＝B3， 所以解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n， bn＝b1＋(n－1)2d＝2n＋1. 综上，an＝n，bn＝2n＋1. (2)由(1)得 cn＝2n＋＝2n＋ 所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋ ＝＋ ＝2n＋1－. 方案二：选条件②. (1)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，且A2＝3，－＝， 所以 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n， bn＝b1＋2(n－1)d＝2n＋1. 综上，an＝n，bn＝2n＋1. (2)同方案一． 方案三：选条件③. (1)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，且A2＝3，B5＝35. 所以 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n， bn＝b1＋(n－1)2d＝2n＋1. 综上，an＝n，bn＝2n＋1. (2)同方案一． 5．解：(1)设数列{an}的公比为q，由已知得解得或 由于数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，故所以an＝·＝. 因为1＋bn＋1与1－bn的等差中项是an，所以1＋bn＋1＋1－bn＝2an＝2·，即bn＋1－bn＝－2. 于是bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝－3＋＋＋…＋＝－3＋＋＋…＋－2(n－1)＝－－2n. 故数列{bn}的通项公式为bn＝－－2n. (2)由(1)知cn＝(－1)nbn＝＋(－1)n＋1·2n， 所以S2n＝(1＋2)＋＋＋…＋ ＝＋[2－4＋6＋8＋…＋2(2n－1)－2·2n] ＝＋(－2)× ＝－2n. $$