第07讲 基本不等式-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第07讲 基本不等式 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握基本不等式的内容 2．利用基本不等式求最值 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中，称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)． 提示： (1)＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号． (2)≤(a，b∈R)． (3)≤≤≤. (4)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 考点1　利用基本不等式求最值 考向1　拼凑法求最值 例1． (1)函数y＝(x>1)的最小值为 ． (2)若函数f (x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝ ． 考向2　常值代换求最值 例2．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为 ． 变式1．将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为 ． 变式2．本例条件不变，则的最小值为 ． 考向3　消元法求最值 例3．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A． B． C． D． 考向4　两次应用基本不等式求最值 例4．设实数x，y满足2x＋y＝1.若x>0，y>0，求证：＋－≥. 变式1．设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为 ． 变式2．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为 ． 变式3．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为 ． 变式4．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为 ． 考点2　利用基本不等式解决实际问题 例5．某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t＝5－(其中0≤x≤k，k为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室．在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物．相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)． (1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值． 一题多解： 已知a>b>0，则a2＋的最小值是 ． 变式：已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为 ． 1．下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab C．a＋b≥2 D．a＋b≤－2 2．当x>0时，函数f (x)＝有(　　) A．最小值1 　　　 B．最大值1 C．最小值2 　　　 D．最大值2 3．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　) A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 4．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．10 B．12 C．16 D．9 5．已知x＋2y＝xy(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 6．当＋取得最小值时，x＝ ． 7．函数f (x)＝(x＞1)的最小值是 ． 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元． 9．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 1．(多选题)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　) A．2x≥2y B．≥ C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 2．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是(　　) A．≥(a＞0，b＞0) B．≥(a＞0，b＞0) C．≥(a＞0，b＞0) D．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) 3. 已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为(　　) A．2 B．4 C．4 D．16 4．若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 5．(多选题)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋有最小值4 B．有最小值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 6．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为 ． 7．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是R(x)＝－x2＋500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润/总产量)． 销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售， b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ是由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定． (1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？求P(x)的最大值． (2)求乐观系数λ的值． (3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第07讲 基本不等式 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　利用基本不等式求最值 考向1　拼凑法求最值 例1． 2＋2　(2)3 考向2　常值代换求最值 例2．4　 变式1．1＋　 变式2．9　 考向3　消元法求最值 例3．A　 考向4　两次应用基本不等式求最值 例4．证明：因为x>0，y>0,2x＋y＝1， 所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号． 又－≥－＝－，当且仅当2x＝y＝时取等号， 所以＋－≥，当且仅当2x＝y＝时取等号． 变式1．　 变式2．4　 变式3．7＋4　 变式4．4　 考点2　利用基本不等式解决实际问题 例5．解：(1)由题意知，该产品售价为2×元/件，所以y＝2××t－10－2t－x， 代入t＝5－化简， 得y＝20－(0≤x≤k)． (2)y＝20－＝21－ ≤21－2＝17， 当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号． 当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当0<k<1时，y′＝>0， 故y＝21－在0≤x≤k上单调递增． 所以，在x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大． 综上，当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当0<k<1时，促销费用投入k万元时，厂家的利润最大． 变式：解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)． (2)因为8<x<450， 所以2x＋≥2＝240， 当且仅当x＝60时，等号成立，从而S≤676. 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2. 一题多解 4　 变式：16　 6. 1．B　 2．B　3．B　 4．D　5．B　 6．4　 7．2　8．8　 9．解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1， 所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)． 又每件产品的销售价格为1.5×， 所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m ＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝－＋29(m≥0)． (2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8， 所以y≤－8＋29＝21， 当且仅当＝m＋1⇒m＝3时， ymax＝21. 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 1．AD　 2．A 3. A　 4．C　 5．ACD　 6．　 7．解：(1)依题意，总利润为－x2＋500x－100x－40 000＝－x2＋400x－40 000， 所以P(x)＝＝－x－＋400 ≤－200＋400＝200.当且仅当x＝，即x＝400时取等号， 故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b＝a＋λ(c－a)得λ＝. 因为b－a是c－b，c－a的比例中项， 所以(b－a)2＝(c－b)(c－a)， 两边除以(b－a)2得，1＝·＝·， 所以1＝·，解得λ＝. (3)由(1)知，当x＝400时，厂家平均利润最大， 所以a＝＋100＋P(x)＝＋100＋200＝400(元)． 每件产品的利润为b－a＝λ(c－a)＝100(－1)， 所以b＝100(＋3)， 所以a＝400，b＝100(＋3)． $$