第06讲 不等式的性质与一元二次不等式-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第06讲 不等式的性质与一元二次不等式 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握不等式的性质 2．一元二次不等式与恒成立的解法 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ①a－b>0⇔a>b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b<0⇔a<b. (2)作商法 ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)． 2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． 3．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 4．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 5．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 6．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} {x|b<x<a} (1)解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形． (2)不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 考点1　比较大小与不等式的性质 例1．若a，b是任意实数，且a>b，则(　　) A．a2＞b2 B．＜1 C．lg(a－b)＞0 D．＜ 例2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．若a＝，b＝，则a b(填“＞”或“＜”)． 例4．已知实数b>a>0，m<0，则m ma， (填“>”或“<”)． 考点2　一元二次不等式的解法 考向1　不含参数的一元二次不等式的解法 例1． (1)函数y＝的定义域是 ． (2)解不等式：0＜x2－x－2≤4． 考向2　含参数的一元二次不等式的解法 例2．解不等式x2－(a＋1)x＋a<0． 变式：将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集． 变式1．设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为 ． 变式2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为 ． 变式3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2． 考点3　一元二次不等式的恒成立问题 考向1　在实数集R上的恒成立问题 例3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 考向2　在给定区间上的恒成立问题 例4．若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 变式1．函数f (x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围． 变式：若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 练习：若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋>b＋ B．> C．a－>b－ D．> 1．已知集合A＝(－1,3]，B＝，则A∩B＝(　　) A．[－2,1) B．(－1,1] C．(－1,1) D．[－2,3] 2．已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∪B＝(　　) A．(－∞，3] B．(－∞，2] C．(－∞，1) D．[－2，1) 3．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a>b，则ac<bc B．若ac2>bc2，则a>b C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a>0>b，则|a|<|b| 4．(多选题)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b B．－c＞－c C．＞ D．ac2＜bc2 5．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＞0的解集为(　　) A． B． C．{x 　 D．{x 6．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是 ． 7．已知函数f (x)＝则不等式f (x)≥x2的解集为 ． 8．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 ． 1．(多选题)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0 C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ 2．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　) A．－>0 B．sin x－sin y>0 C．－ <0 D．ln x＋ln y>0 3．(多选题)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．＜ B．＞ C．a＞b2 D．a2＞b2 4．设命题p：＜0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 5．设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f (x)－x的两个零点为m，n(m<n)． (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集； (2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f (x)与m的大小． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第06讲 不等式的性质与一元二次不等式 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　比较大小与不等式的性质 例1．D　 例2．A　 例3．＜　例4．＜　＜　 考点2　一元二次不等式的解法 考向1　不含参数的一元二次不等式的解法 例1． [－1,7]　 (2)解：原不等式等价于⇔⇔ ⇔ 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}． 考向2　含参数的一元二次不等式的解法 例2．解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． 变式：解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 因为a>0，所以a(x－1)<0. 所以，当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为；当a>1时，不等式的解集为. 变式1．　变式2．(2,3) 变式3．解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. ①当a>0时，－<， 不等式的解集为； ②当a＝0时，x2>0， 不等式的解集为{x|x≠0}； ③当a<0时，－>， 不等式的解集为. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为. 考点3　一元二次不等式的恒成立问题 考向1　在实数集R上的恒成立问题 例3．C　 考向2　在给定区间上的恒成立问题 例4．A　 变式1．解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立． 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2. 所以实数a的取值范围是[－6,2]． (2)对于任意x∈[－2,2]，f (x)≥0恒成立， 即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立． 令g(x)＝x2＋ax＋3－a， 则有①Δ≤0或② 或③ 解①得－6≤a≤2， 解②得a∈， 解③得－7≤a<－6. 综上可知，实数a的取值范围为[－7,2]. 变式：解法1： 思路参考：直接利用作差法比较． B　 练习：A　 1．C　 2．A　 3．BC　4．ABC　 5．A　6．　7．[－1,1]　8．(－3,0]　 1．BC　2．C　3．CD　4．　 5．解：(1)由题意知，F(x)＝f (x)－x＝a(x－m)·(x－n)． 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0. 即a(x＋1)(x－2)>0. 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}； 当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}． (2)由题意F(x)＝f (x)－x＝a(x－m)·(x－n)， 所以f (x)＝a(x－m)(x－n)＋x，所以f (x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)． 因为a>0，且0<x<m<n<， 所以x－m<0,1－an＋ax>0. 所以f (x)－m<0，即f (x)<m. $$