第一章 勾股定理（单元测试·提升卷）数学北师大版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 3．已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 5．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 9．如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 12．已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状为 ． 13．如图，圆柱体的底面直径为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点处觅食，则爬行的最短路程为 ． 14．如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 15．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    16．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 18．在中，，，． (1)求边和的长； (2)求的面积． 19．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 20．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 21．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 23．如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 24．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 25．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 3．已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 5．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 9．如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 12．已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状为 ． 13．如图，圆柱体的底面直径为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点处觅食，则爬行的最短路程为 ． 14．如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 15．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    16．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 18．在中，，，． (1)求边和的长； (2)求的面积． 19．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 20．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 21．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 23．如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 24．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 25．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 勾股定理·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C D C B A C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4 12．等腰直角三角形 13．13 14．/135度 15．5 16．10或13 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12；....................................3分 （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，．....................................6分 18． 【详解】（1）解：如图所示，     ∵， ∴设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，；....................................3分 （2）解：∵， ∴的面积．....................................6分 19． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；．....................................2分 （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米．....................................4分 20． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路．....................................3分 （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少....................................6分 21． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是；....................................3分 （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13．....................................8分 22． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；....................................4分 （2）解：在中， ， 由（1）得， ∴．....................................8分 23． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， ， ；....................................4分 （2）解：过点作于点， ， 平分， ， 在与中， ， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， .....................................8分 24． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1；....................................3分 （2）解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴；....................................8分 （3）解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或．....................................12分 25． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴．....................................4分 （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D....................................6分 （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米．....................................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、0.1，0.2，0.3不是正整数， 0.1，0.2，0.3不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 3．已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 4．如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴ ， ∴的值为25． 故选：C． 5．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 6．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用．设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：C． 7．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 8．如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用；由勾股定理可得．根据翻折可得；设，根据图形翻折可得，在直角三角形中，根据勾股定理可得，求解再进一步解答即可． 【详解】解：， ∴． 根据翻折可得：， 设， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得： ． 故选A． 9．如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为． ∴ 又∵， ∴， 故选：C． 10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 12．已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】由非负数的性质得出，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义（至少有两边相等的三角形），直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键． 13．如图，圆柱体的底面直径为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点处觅食，则爬行的最短路程为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题，解题的关键是将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】如图所示，将圆柱展开， ∵圆柱体的底面直径为， ∴ ∵高为 ∴ ∴爬行的最短路程为． 故答案为：13． 14．如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 15．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：5 ． 16．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 【答案】10或13 【分析】本题主要考查了勾股定理，设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边，则可得方程组，进而可得，再由， 得到，即 为正整数)，据此讨论求解即可． 【详解】解：设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边， 由题意得， 由②得③， 把③代入代入①得 ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴ 为正整数) ∴ ， 当时，， 当，则 当，则， 当，则； 综上所述，“完美直角三角形”的斜边长为10或13； 故答案为：10或13． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 【答案】(1)12 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 18．在中，，，． (1)求边和的长； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的面积，掌握勾股定理，求三角形的面积是解本题的关键． （1）设，，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，     ∵， ∴设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，； （2）解：∵， ∴的面积． 19．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【答案】(1)； (2)17米 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米． 20．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析 (2)新路比原路少 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少 21．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【答案】(1)不是； (2)5或13 【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键． （1）结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得出答案； （2）点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是； （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13． 22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理． （1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中， ， 由（1）得， ∴． 23．如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等； （1）先求解，设，则，再利用勾股定理列方程计算即可； （2）过点作于点，证明，可得，，设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， ， ； （2）解：过点作于点， ， 平分， ， 在与中， ， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， . 24．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． （1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果； （2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可； （3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴； （3）解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或． 25．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$