专题01 丰富的图形世界（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 丰富的图形世界 目录 A题型建模・专项突破 题型一、从不同方向看几何体 1 题型二、正方体的展开图的识别 3 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 4 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 7 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 10 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 13 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 15 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、从不同方向看几何体 1．如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，得到从上面看的图形，进而得出答案． 【详解】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为3个小正方形，第二行是1个小正方形，选项C中的图形符合题意， 故选：C． 2．从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图还原几何体，根据几何体与从不同角度看到的几何图形的关系解答即可． 【详解】解：根据从不同方向看某个立体图形得到的平面图形可知符合的立体图形为D选项， 故选：D． 3．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的立体图形，从前面看该立体图形得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据圆锥和长方体从上面看得到的图形作答是解答本题的关键．由一个长方体和圆锥组合而成的立体图形，圆锥从前面看是三角形，长方体从前面看是长方形，故组合图形包含长方形以及三角形，选出答案． 【详解】解：依题意，由一个长方体和圆锥组合而成的立体图形，得圆锥从前面看是三角形，长方体从前面看是长方形， 故组合图形包含长方形以及三角形， 故选C 4．六角井是我国常见的竖井祥式，其结构示意图如图所示，则从上面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从上面看得到的图形是关键．画出从几何体的上面看到的图形，即可获得答案． 【详解】 解：从上面看到的图形是． 故选A． 题型二、正方体的展开图的识别 5．下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．根据正方体的平面展开图的特点逐项判断即可得． 【详解】解：A、是正方体展开图，则此项不符合题意； B、是正方体展开图，则此项不符合题意； C、是正方体展开图，则此项不符合题意； D、还原为正方体时，有两个面会重合，则此项不是正方体展开图，符合题意； 故选：D． 6．图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（　　）号面． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据展开图中隔一相对的原理解答即可． 本题考查了展开图问题，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】解：根据展开图中隔一相对的原理，得６和２相对， 故选：B． 7．下图表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由正方体的展开图还原问题，折叠前后直线的位置关系，图形的特征，结合实物可以帮助理解掌握．由题意可知，变成正方体后相邻的平面中三条线段是平行线，相邻平面只有两个是空白面，同时注意三角形和线段的位置，不难推出结论． 【详解】解：将图形折叠起来，变成正方体后的图形中，三角形和线段的位置不对，排除A； 相邻的平面中三条线段是平行线，排除C； 相邻平面只有两个是空白面，排除D． 故选B． 8．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 9．将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识，掌握常见几何体的形成是解题的关键．根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可． 【详解】解：A、平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体，故本选项符合题意； B、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； C、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； D、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； 故选：A 10．如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥， 故选：C． 11．如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是把旋转的图形分为上下两个部分，根据面动成体分别求出上下两部分旋转后的图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的几何体是一个圆台， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 12．如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体，是基础考点，难度较易，考查学生的空间学习能力，掌握相关知识是解题关键． 根据平面图形旋转轴的定义及题目中的立体图形解题． 【详解】据所给的几何体，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是： 故选：B． 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 13．用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块搭成； (2)画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体． （1）分别计算每一层的小立方块的个数即可； （2）根据简单组合体画出相应的图形即可． 【详解】（1）解：∵第一层个小立方块，第二层1个小立方块，第三层1个小立方块， ∴这个几何体由个小立方块搭成； 故答案为：； （2）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示． 14．如图，是由若干个大小相同的小正方体搭成的一个几何体． (1)在下面相应的网格中，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)已知小正方体的棱长为，求该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】本题考查从不同方向看正方体，从不同方向看到图形的表面积： （1）根据从正面看得到的图形，从左面看得到的图形，从上面看得到的图形，画出图形，即可； （2）该几何体的表面积公式，结合题干和从不同方向看到的图形即可求解． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图： （2）解：该几何体的表面积为：． 15．如图是由7个大小相同的小立方块搭成的一个几何体，根据要求完成下列题目： (1)请在指定位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若给该几何体添加几个小立方块，所得新几何体与原几何体相比，从上面、左面看到的形状图保持不变，这样最多可以添加__________个小立方块， 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）观察图形可知， 从左面看到的图形是2列， 从左往右正方形个数依次是3，1； 从上面看到的图形是3列2层，从左往右正方形个数依次是1（上面一层）， 2， 1（上面一层），从正面看到的图形分为3列3层，从左往右正方形个数依次是1（最下面一层）， 3， 2（最下面一层和中间一层），据此即可画图； （2）根据从该几何体中添加一个小立方块， 所得新几何体与原几何体相比， 从左面、 上面看到的形状图保持不变，可在从上面看到的图形中从左往右的第1列添加2个，第3列添加1个，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，添加最多小立方块后（从上面、左面看到的形状图保持不变）从上面看到的图形如下： ∴这样最多可以添加个小立方块． 16．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)补全成一个正方体至少需要添加 个小方块； (3)小正方体棱长为3，则该几何体的表面积是 ； (4)不改变左面看到的形状最多可添加 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）正方体的个数减去原有个数即可求解； （3）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积； （2）根据从左面看到的图形不变求解即可． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， （2）解：， 补全成一个正方体至少需要添加个小方块； 故答案为：； （3）解：该几何体的表面积是， 故答案为：； （4）解：如图， ． 不改变左面看到的形状最多可添加个小立方块． 故答案为：． 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 17．宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， 先求出，即可知折叠为长方体的长、宽、高分别为，再根据长方体的表面积和体积公式得出答案． 【详解】解：由，，可得， 长方体的表面积：， 体积：． 18．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 19．如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 【答案】(1)六棱柱； (2)；． 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟悉平面图形的折叠及立体图形的展开图． 根据展开图是由两个全等的正六边形和六个全等的矩形组成的，可知包装盒是一个六棱柱； 侧面积为个长方形的面积之和，底面积为两个正六边形的面积之和，两者相加即可得出全面积. 【详解】（1）解：这个包装盒是一个六棱柱； （2）解：这个包装盒的侧面是个长为，宽为的长方形， 这个包装盒的侧面积是； 这个包装盒的两个底面是两个全等的正六边形， 如下图所示， 一个正六边形可以被分成个全等的等边三角形， 六棱柱底面正六边形的边长为， 且正六边形可看作是六个全等的正三角形组成，正三角形的边长为六边形的边长， 每一个正等边三角形的面积为， 六棱柱的两个底面的面积之和为， ． 20．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 21．如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)这个图形的侧面积是． 【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系． （1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱； （2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可． 【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：这个立体图形的侧面积为； 答：这个图形的侧面积是． 22．已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【答案】(1)，，，b (2)这两个圆柱的侧面积相等 【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． （1）根据图作答即可； （2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可． 【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是，高是；圆柱②的底面直径是，高是b． 故答案为：，，，b． （2）解：圆柱①的侧面积是；圆柱②的侧面积是， ∴这两个圆柱的侧面积相等． 23．小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体， （1）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． （2）根据（1）直接求解即可． 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． 故答案为：小红 （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 24．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【分析】（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 25．如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】(1)，，，，，； (2) 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：    根据上表总结出这个关系为． 26．观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 27．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)5，9，6 (2)6，12，8 (3)7，15，10 (4)，， 【分析】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． （1）结合图形及四棱柱的特点即可求解； （2）结合图形及五棱柱的特点即可求解； （3）结合图形及六棱柱的特点即可求解； （4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，总结即可． 【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； 故答案为：5，9，6； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； 故答案为：6，12，8； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； 故答案为：7，15，10； （4）n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，． 28．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 29．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 【答案】（1）12，864  （2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： 3cm； ∴长方体纸盒的表面积为． 30．【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 一、单选题 1．如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体之间的关系，理解面动成体是解题的关键． 根据题意可得图形绕虚线旋转一周得到上小下大的圆台，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是 ． 故选：B 2．笑笑在桌面上用小正方体搭了一个立体图形，从正面看是，从上面看是，从右面看是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，先由从正面看、从上面看得到的图形得出这个立体图形，从而即可得解． 【详解】解：由题意可得：这个立体图形为： 故从右面看是 故选：B． 3．如图所示的正方体的展开图是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何体展开图．根据题意利用空间想象能力及几何体展开图样式即可得到本题答案． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题即可． 【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征， 是该正方体的展开图的是D选项， 故选：D． 4．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 二、填空题 5．如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“数”字相对的面上的字是 ． 【答案】美 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “数”与“美”是对面， 故答案为：美． 6．一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有 面，它是 棱柱． 【答案】 10/十 八/8 【分析】本题主要考查立体几何的认识，掌握立体几何中点、棱、面的关系是解题的关键． n棱柱底面边数为n，顶点有个，侧面有n个，面有个，棱有个，根据棱柱的棱数与底面多边形边数的关系即可求出答案． 【详解】解：该棱柱共有24条棱，根据棱柱的性质，底面多边形的边数为， ∴它是八棱柱，有面， 故答案为：10，八． 7．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 8．欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 三、解答题 9．如图是长方体的展开图，将其折叠成一个长方体．那么： (1)与点重合的点是哪几个？ (2)若，，则该长方体的表面积和体积分别是多少？ 【答案】(1)， (2)表面积是，体积是 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握表面积等于2个底面的面积加上4个侧面的面积是解题的关键． （1）把展开图折叠即可得出答案； （2）表面积等于2个底面的面积加上4个侧面的面积，体积等于底面积乘高即可得出答案． 【详解】（1）解：与点重合的点有两个，分别是，． （2）解：由，， 可得， ， ∴， ∴长方体的表面积是， 体积是． 10．如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少个面？它们的形状分别是什么？图形哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同 (2)共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长都为底面边长5厘米 (3)240平方厘米 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解决本题的关键是应理解棱柱的构造特点． （1）根据正八棱柱的特征答题； （2）n棱柱有个面，条棱，据此求解； （3）侧面展开图为长方形，求出长为厘米，宽是6厘米，即可求出面积． 【详解】（1）解：这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同； （2）解：这个八棱柱一共有条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长都为底面边长5厘米； （3）解：将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为厘米，宽是6厘米，因而面积是（平方厘米）． 11．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 12．学习了“展开与折叠”之后，我们发现：很多几何体都能展开成平面图形．小丽利用周末在家做了如下实验：用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的和．请你根据所学的知识，回答下列问题： (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，求该长方体纸盒的表面积？ (2)小丽一共剪开了多少条棱？ (3)现在小丽想将剪掉的重新粘贴到上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪掉的粘贴到中的什么位置？请你帮她在上补全． 【答案】(1)； (2)条棱； (3)见解析． 【分析】（）利用表面积公式计算即可； （）由总的棱数减去没剪开的棱数即可得到答案； （）根据长方体的平面展开图来画即可； 本题考查了长方体表面积，将长方形裁成两图需剪开的棱数，画长方体所有展开图问题，掌握长方体表面积公式，剪开棱数的方法，会画长方体平面展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：该长方体纸盒的表面积是； （2）解：把纸盒剪成了两部分，即图（）中的和，共有条棱，条没剪开，小丽一共剪开条棱； （3）解：如图，就是所画的图形（答案不唯一，画出一种即可）． 13．用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 【答案】(1)10，图见详解 (2)7，6 (3)①图见详解；②30 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3）①根据题意判断即可；②由①及题意可进行求解． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：（个），左视图如图所示． 故答案为：10； （2）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要7个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7，6； （3）解：①由题意可得从左面看的视图为： 或； ②当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列都有2个小正方形组成，第二列分别有2个和1个小正方形，则表面积为； 当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列分别为2、2、1个小正方形，竖的第二列分别为2、2个小正方形，则表面积为； 所以最大表面积为； 故答案为30 14．【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【答案】(1)①③④ (2)作图见解析：（答案不唯一） (3)3，7，8，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形，掌握正方体的表面展开图的模型以空间想象力是解题的关键． （1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解； （2）根据正方体的展开图每个面都有对面即可解答； （3）根据从正面看和上面看得到的图形，分析第2列小正方体的个数解答，根据左视图的定义即可画出最少和最多的情况即可． 【详解】（1）解：图①有5个面，可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，图②经折叠后有两个面重复，因此折叠不能围成无盖正方体形纸盒；图③④有5个面，均可以折叠为无盖的正方体纸盒， ∴经过折叠能围成无盖正方体纸盒的有：①③④； 故答案为：①③④． （2）解：如图所示：（答案不唯一） （3）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个； 故这样的几何体有3种； 它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； 如图所示∶ ， 故答案为：3，7，8． 15．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 (1)如图①、图②、图③、图④中，不是正方体的表面展开图的为 ． 【制作纸盒】 (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，则制作成的无盖长方体盒子的体积为 ． 如图⑥，在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积为 ． 【拓展探究】 (3)若无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为4、3、5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形． ①需要剪开 条棱． ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大时，直接写出该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大值． 【答案】(1)图④ (2) 588 294 (3)①4；②周长最大值为54． 【分析】本题考查了几何体（正方体、长方体）的展开图、长方体的体积，熟练掌握正方体的展开图特点以及长方体的体积公式，学会根据长方体的展开图计算长方体的体积是解题的关键． （1）根据正方体的展开图特点，逐一判断即可得出结论； （2）结合图形分别求出无盖长方体盒子和有盖长方体盒子的长、宽、高，再利用长方体的体积公式：长方体体积长宽高，即可解答； （3）①只需要沿着一条侧棱，再剪开另外三条棱，即可解答；②根据题意，可知高长宽，要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，画出符合要求的长方体形盒子的表面展开图，即可解答． 【详解】（1）解：根据表面展开图，图①、图②、图③可折成正方体，图④不可折成正方体， 故图④不是正方体的表面展开图， 故答案为：图④． （2）由图⑤得，无盖长方体盒子的长和宽相等，均为，高为， 则无盖长方体盒子的体积为：； 由图⑥得，有盖长方体盒子的长为，宽为，高为， 则有盖长方体盒子的体积为：； 故答案为：588；294． （3）①要沿表面某些棱剪开，展成一个平面图形，只需要剪一条侧棱，再剪开另外三条棱即可， 即需要剪开条棱， 故答案为：4； ②， 高长宽， 要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大，则它的表面应尽量多沿“高”剪开， 则符合要求的长方体形盒子的表面展开图如图所示： 此时周长为：， 该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大值为54． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 丰富的图形世界 目录 A题型建模・专项突破 题型一、从不同方向看几何体 1 题型二、正方体的展开图的识别 3 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 4 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 7 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 10 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 13 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 15 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、从不同方向看几何体 1．如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（   ） A． B． C． D． 3．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的立体图形，从前面看该立体图形得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 4．六角井是我国常见的竖井祥式，其结构示意图如图所示，则从上面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 题型二、正方体的展开图的识别 5．下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A．B． C． D． 6．图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（　　）号面． A．1 B．2 C．4 D．5 7．下图表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是（） A． B． C． D． 8．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 9．将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A．B． C． D． 11．如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 12．如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 13．用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块搭成； (2)画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 14．如图，是由若干个大小相同的小正方体搭成的一个几何体． (1)在下面相应的网格中，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)已知小正方体的棱长为，求该几何体的表面积（包含底面）． 15．如图是由7个大小相同的小立方块搭成的一个几何体，根据要求完成下列题目： (1)请在指定位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若给该几何体添加几个小立方块，所得新几何体与原几何体相比，从上面、左面看到的形状图保持不变，这样最多可以添加__________个小立方块， 16．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)补全成一个正方体至少需要添加 个小方块； (3)小正方体棱长为3，则该几何体的表面积是 ； (4)不改变左面看到的形状最多可添加 个小立方块． 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 17．宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 18．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 19．如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 20．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 21．如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 22．已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 23．小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 24．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 25．如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 26．观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 27．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 28．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 29．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 30．【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 一、单选题 1．如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（   ） A．B．C．D． 2．笑笑在桌面上用小正方体搭了一个立体图形，从正面看是，从上面看是，从右面看是（    ）． A． B． C． D． 3．如图所示的正方体的展开图是（     ） A．B．C． D． 4．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“数”字相对的面上的字是 ． 6．一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有 面，它是 棱柱． 7．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 8．欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 三、解答题 9．如图是长方体的展开图，将其折叠成一个长方体．那么： (1)与点重合的点是哪几个？ (2)若，，则该长方体的表面积和体积分别是多少？ 10．如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少个面？它们的形状分别是什么？图形哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 11．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 12．学习了“展开与折叠”之后，我们发现：很多几何体都能展开成平面图形．小丽利用周末在家做了如下实验：用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的和．请你根据所学的知识，回答下列问题： (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，求该长方体纸盒的表面积？ (2)小丽一共剪开了多少条棱？ (3)现在小丽想将剪掉的重新粘贴到上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪掉的粘贴到中的什么位置？请你帮她在上补全． 13．用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 14．【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 15．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 (1)如图①、图②、图③、图④中，不是正方体的表面展开图的为 ． 【制作纸盒】 (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，则制作成的无盖长方体盒子的体积为 ． 如图⑥，在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积为 ． 【拓展探究】 (3)若无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为4、3、5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形． ①需要剪开 条棱． ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大时，直接写出该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$