第12讲 三角恒等变换（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第12讲 三角恒等变换 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式，能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦． 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C(α－β)：cos(α﹣β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ． S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α﹣β)＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α﹣β)＝． 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin2α＝2sinαcosα； C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； T2α：tan2α＝． 变形公式： cos2α＝，sin2α＝． 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1﹣sin 2α＝(sinα﹣cosα)2． 3．三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 4．形如的化简： ，其中，． 5．常见的角的变换：，． 考点一：两角和与差三角函数公式的应用 例1．（1）化简： ． （2）化简： ． （3）已知α，β∈（0，π），cosα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ＝ ． （4）已知，，，，则 的值为 ． （5）计算：sin20°cos110°＋cos160°sin70°＝ ． （6）计算： ； ． （7）计算： ． （8）已知角，满足，若，则 ． 例2．在数学解题中，常会碰到形如“” 的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足，则 ． 例3．（1）在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C＝ ． （2）已知，且，，则 ． 例4．△ABC的三个内角A，B，C，若，则 ． 例5．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ． 考点二：二倍角公式的应用 例6．（1），且，则的值为 ． （2） ． （3）sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝ ． （4）由sin36°＝cos54°，可求得cos2016°的值为 ． （5）的化简结果是 ． 例7．（1）已知，则 ． （2）已知，若，则 ． 例8．计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧计算：． 考点三：三角恒等式的证明 例9．（1）求证：＝sin 2α． （2）求证：＝－2cos(α＋β)． （3）已知，，且，． 证明：． 考点四：运用三角函数公式解决实际问题 例10．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE＝OF，EC＝FD，∠ECD＝∠CDF＝90°．记∠COD＝2θ，五边形OECDF的面积为S． （1）试求S关于θ的函数关系式； （2）求S的最大值． 1．若α＋β＝，则(1﹣tanα)(1﹣tanβ)的值为 ． 2．已知α，β∈（0，），满足tan(α＋β)＝9tanβ，则tanα的最大值为 ． 3． ． 4．在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC＝ ． 5．在锐角三角形ABC中，若tanA＋tanC＝2tanB，则tanAtanC的值为 ． 6．若，则化简为 ． 7．设α为锐角，若，则的值为 ． 8．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝ ． 9．已知α为锐角，且，则sinα＝ ． 10．已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ＝ ． 11． ． 12．已知，，且，∈（0，π）． （1）求的值； （2）求的值． 13．某地拟在一个U形水面PABQ（∠A＝∠B＝90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB＝a，EM＝BM，∠MEN＝90°，设所拉分割线总长度为l． （1）设∠AME＝2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域； （2）求l的最小值． 1．已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ＝ ． 2．已知，sinβ＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝ ． 3．已知13sinα＋5cosβ＝9，13cosα＋5sinβ＝15，那么sin(α＋β)的值为 ． 4．若，且，则的值为 ． 5．若tanα＝2，则sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α＝ ． 6．设、，，，则 ． 7．已知，，则 ． 8．已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝ ． 9．已知，则 ． 10．已知，则的值为 ． 11．已知（，），且． （1）求的值； （2）求的值． 12．如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD＝6米，AE＝6米，AP＝2米，∠MPN＝，记∠EPM＝θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米． （1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan≈3） （2）求S的最小值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第12讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）﹣1； （6），；（7）；（8）． 例2． 例3．（1）30°；（2）． 例4．1 例5．8 例6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）﹣2sin4． 例7．（1）1；（2）． 例8．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦1；⑧2． 例9．略 例10．（1）；（2）． 1．2 2． 3． 4． 5．3 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．（1）；（2）． 13．（1），(0，)；（2）2a． 1． 2． 3． 4．1或 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11．（1）﹣7；（2） 12．（1），：（2）S的最小值为． $$