第16讲 平面向量数量积及其应用（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第16讲 平面向量数量积及其应用 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． （2）范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°． （3）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 3．向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a． （2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 常用结论 1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 （1）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． （2）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． （3）(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 一、平面向量的数量积的运算 例1．（1）已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　) A．6 B．3 C．2 D．3 （2）已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　) A．1 B． C． D． （3）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB＝，AD＝1，且· ＝－，则·＝ ． 变式训练： 1．已知向量满足， ，，则 ． 2．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为 ． 方法总结： 1．求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量的几何意义． 2．求向量模的最值(范围)的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 二、平面向量的夹角问题 例2．（1）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． （2）（多选）中，，，，在下列命题中，是真命题的有　　 A．若，则为锐角三角形 B．若．则为直角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 变式训练： 1．已知平面向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 2．（1）已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝ ． （2）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是 ． 3．若则向量与向量夹角的大小是 ． 4．若非零向量、,满足,,则与的夹角为 ． 方法总结：求向量的夹角，有两种方法： （1）定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． （2）公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 三、平面向量中的垂直 例3．（1）已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 （2）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥， 则实数λ的值为 ． 变式训练： 1．（多选）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是(　　) A． B． C． D． 2．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　) A． B． C．6 D．4 3．已知向量a＝(1，2sinθ)，b＝(sin(θ＋)，1)，θ∈R． （1）若a⊥b，求tanθ的值； （2）若a∥b，且θ∈ (0，)，求θ的值． 方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型： （1）利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． （2）已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值． 四、向量的平行与垂直 例4．（1）已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 （2）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则 实数λ的值为 ． 变式训练： 1．平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD的形状是( ) A．矩形　　 B．菱形　　 C．正方形　 D．梯形 2．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．内心　 B．外心　 C．重心　 D．垂心 3．如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，连结BE，则·的值为 ． 方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 1．若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 五、平面向量与三角综合 例5．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 ． 例6．如图，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB、AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则的最大值为 ． 例7．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosα－sinα，cosα＋sinα)． （1）求向量a与b的夹角； （2）若(λb－a)⊥a，求实数λ的值． 变式训练： 1．在平面直角坐标系中，设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(sin(α＋)，cos(α＋))，其中0<α<． （1）若a∥b，求α的值； （2）若tan2α＝－，求a·b的值． 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0． （1）求∠C的大小； （2）若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积． 方法总结： （1）以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法． （2）向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解． （3）注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误． 1．已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为( ) A． B． C． D． 2．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=( ) A．−3 B．−2 C．2 D．3 3．已知向量，满足，，则( ) A．4 B．3 C．2 D．0 4．已知向量a，b满足，，，则( ) A． B． C． D． 5．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是( ) A．−1 B．+1 C．2 D．2− 6．如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是( ) A．若且，则 B． C．若，且，则 D．· 8．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= ． 9．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则 ． 10．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O．若，则的值是 ． 1．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为( ) A． B． C． D． 2．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好到达处时，( ) A． B． C． D． 3．如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为( ) A． B． C． D． 4．已知非零向量，，设，则( ) A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最小值 5．设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则( ) A． B． C． D．1 6．（多选）向量，，若与的夹角为钝角，则的值可以是( ) A． B． C． D． 7．（多选）已知为坐标原点，点，，，，，则( ) A． B． C． D． 8．（多选）已知点为所在平面内一点，，则下列选项正确的是( ) A． B．直线必过边的中点 C． D．若，则 9．（多选）已知向量，，则( ) A． B．向量在向量上的投影为 C．与的夹角余弦值为 D．若，则 10．已知．若，且与夹角为，则 ． 11．已知在矩形中，，，为的中点，，则 ． 12．若，满足，，则与夹角的大小等于 ． 13．已知，其中． （1）若与平行，求实数的值． （2）若，证明：对任意实数，与垂直． 14．已知中，过重心的直线交边于，交边于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，，． （1）求； （2）求证：； （3）求的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）D；（2）D；（3） 变式训练：1． 2．1或－ 例2．（1）C；（2）BCD 变式训练：1．C 2．（1），（2） 3． 4．120° 例3．（1）B；（2） 变式训练：1．BCD 2．A 3．（1）－；（2）． 例4．（1）B；（2）． 变式训练：1．B 2．C 3．－ 例5．(0，] 例6． 例7．（1）设向量a与b的夹角为θ， 因为|a|＝2，|b|＝＝， 所以cosθ＝＝＝＝． 考虑到0≤θ≤π，得向量a与b的夹角为． （2）若(λb－a)⊥a，则(λb－a)·a＝0，即λb·a－a2＝0， 因为b·a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2． 变式训练： 1．（1）因为a∥b，所以cosαcos－sinαsin＝0，(2分) 所以cos＝0. 因为0<α<，所以<2α＋<.于是2α＋＝，解得α＝. （2）因为0<α<，所以0<2α<π，又tan2α＝－<0，故<2α<π. 因为tan2α＝＝－，所以cos2α＝－7sin2α<0， 又sin22α＋cos22α＝1， 解得sin2α＝，cos2α＝－. 因此，a·b＝cosαsin＋sinαcos＝sin＝sin2αcos＋cos2αsin ＝·＋·＝． 2．（1）∵m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)， m·n＝0，∴ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，sinA＝2sin Acos C，又sin A≠0，∴cos C＝，而C∈(0，π)， ∴∠C＝. （2）由＝知，－＝－， ∴2＝＋， 两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.① 又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB， ∴a2＋b2－ab＝12.② 由①②得ab＝8，∴S△ABC＝absin∠ACB＝2. 1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．ACD 8． 9．﹣1 10． 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．BD 7．AC 8．ACD 9．BCD 10．﹣2 11．﹣5 12． 13．解：（1），其中，与不共线， 若与平行，则，． （2）证明：，，即，， ， ． 14．（1）解：，是重心，， ． （2）证明：设， ，，，， ，，三点共线，则存在，使得，即， 即， ，整理得， 即，即，即； （3）解：由（2），， ， ，，可知， ， ，， 则当时，取得最小值，当时，取得最大值， ，则的取值范围为． $$