第17讲 正弦定理与余弦定理（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第17讲 正弦定理和余弦定理 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够利用正弦、余弦定理解三角形，并能解答与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇问题，形成数形结合思想的应用意识． 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式 a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝， sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3．三角形中常用的面积公式 （1）S＝ah(h表示边a上的高)． （2）S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C． （3）S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：＝－． 2．三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin ． 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB． 一、与三角形的解的个数有关的问题 例1．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则这个三角形解的情况是( ) A．有两组解 B．有一组解 C．无解 D．不能确定 例2．△ABC中，a＝6，B＝60°，若解此三角形时有两解，则b的取值范围为 ． 例3．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？ 二、边角互换与三角形形状的判断 例1．已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S＝a2﹣(b﹣c)2，bc＝4，则S＝( ) A．2 B．4 C． D． 例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角B＝ ． 例3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角C＝ ． 例4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋＝，则角A的大小为 ． 例5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且b＝2，则cosA＝ ． 例6．在△ABC中，，则△ABC的最小角的余弦值为 ． 例7．在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则的值为 ． 三、与三角形的中线、角平分线有关的问题 例1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，求角C的大小； （2）若BM是AC边上的中线，求证：BM＝． 例2．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC＝ ． 例3．已知在锐角△ABC中，2asinB＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝ ． 例4．在△ABC中，已知b＝1，c＝2，AD是∠A的平分线，AD＝，则∠C＝ ． 1．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则cosA＝( ) A． B． C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．在中，角，均在边上，且为中线，为平分线，，若，则的面积等于( ) A． B． C． D． 5．（多选）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sinA＝2sinC，则以下四个结论正确的有( ) A．△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC有可能是等边三角形 C．当A＝B时，△ABC的周长为15 D．当B＝时，△ABC的面积为 6．△ABC的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝，A＝30°，则边长b＝ ． 7．平面凸四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝，AD＝3，CD＝t(t为常数)，若满足上述条件的平面凸四边形ABCD有且只有2个，则t的取值范围是 ． 8．已知△ABC的面积为，则sinB＝ ． 9．在△ABC中，已知AB＝，cosB＝，AC边上的中线BD＝，求边长BC的值． 10．在中，，，分别是角，，的对应边，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为( ) A． B． C．3 D． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣c＝bcosC﹣bcosA，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（多选）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( ) A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形 B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA＞cosB恒成立 C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形 D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或 4．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是( ) A．，，cosC＝ B．，，cosC＝ C．，，sinB＝ D．，sinB＝，C＝ 5．（多选）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是( ) A．若，则△ABC一定是等边三角形 B．若，则△ABC一定是等腰三角形 C．若，则△ABC一定是等腰三角形 D．若，则△ABC一定是锐角三角形 6．在△ABC中，c＝，acosC＝csinA，若当a＝时的△ABC有两解，则的取值范围是 ． 7．△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝ ． 8．在△ABC中，已知tanA＝2，tanB＝3． （1）若△ABC最小边的长为5，求△ABC最大边的长； （2）若AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积． 9．在△ABC中，若A＝，a2﹣c2＝b2． （1）求sinC的值； （2）若△ABC的面积为3，求边长a． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第17讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 一、与三角形的解的个数有关的问题 例1．B 例2．， 例3．解：①当时，，此时三角形形状唯一； ②当时，三角形无解． ③当时，即时，三角形有两解； ④当，即时，三角形一解． 二、边角互换与三角形形状的判断 例1．A 例2． 例3． 例4． 例5． 例6． 例7． 三、与三角形的中线、角平分线有关的问题 例1．解：（1）， ，可得：， ，，． （2）设，，则， 在中，由余弦定理可得：， 在中，同理可得：， ，可得：， ，， ，，． 例2． 例3． 例4．90° 1．D 2．A 3．C 4．D 5．CD 6．2或4 7．， 8． 9．解：延长至，使得，连接，则，，，中，由余弦定理可得， ，（负数舍去）． 10．解：（1）， 由正弦定理可得：， 又， ， ， ， 又，，．，． （2），即， ，可得， ， ， 又， 在中，由正弦定理可知：， ，（其中为外接圆半径）， ． 1．B 2．C 3．BCD 4．BD 5．AC 6．(，2) 7． 8．解：（1）， ，， ，， ，，， ，， 最大边为，最小边为，由正弦定理，得，，即最大边长为． （2）由正弦定理得：，设，则，， 由余弦定理中线长定理：， 得，解得， 得，， ． 9．解：（1），由余弦定理可得：， ，又，可得． ，可得． ． ，． ，解得，． $$