第08讲 直线的方程（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第08讲 直线的方程 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 直线的方程 直线的点斜式方程 斜率是否存在 直线的斜截式方程 斜率是否存在 直线的两点式方程 不能表示垂直坐标轴的直线 直线的截距式方程 截距的定义 中点坐标公式 公式运用 直线的一般式方程 方程互化 二.学法指导 1．求直线的点斜式方程的步骤 2.求直线的斜截式方程 (1)先求参数k和b，再写出斜截式方程． (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． (3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离． 3．已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直 设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)l1与l2重合⇔k1＝k2，且b1＝b2； (3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 4.当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式． 5．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零 6.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) y＝－x－(B≠0) ＋＝1(A、B、C≠0) 7.两个重要结论 结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示． 结论2：任何关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线． 8．根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2⇔ (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 三.知识点贯通 知识点1 直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 例题1.　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． 知识点二 直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 例题2：根据条件写出下列直线的斜截式方程： (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 知识点三 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 直线在y轴上的截距 定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b. 符号：可正，可负，也可为零． 例题3 .当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 知识点四 直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2 示意图 直线方程 ＝ 适用范围 斜率存在且不为零 例题4．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 知识点五 直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0. 示意图 直线方程 ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点 例5.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 知识点六 直线的一般式方程与其他形式的互化 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 例6.已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． 知识点七 直线的平行与垂直 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 例7.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直． 五 易错点分析 易错一 由两条直线平行求系数的值 例题8.当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 误区警示 两条直线平行，要考虑两直线的斜率和在y轴上的截距。 易错二 两点式、点斜式都不能表示所有直线 例9.求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程． 误区警示 两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。 一、核心素养聚焦 考点一 数学运算-求直线的方程 例题10.已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 考点二 直观想象-求直线方程 例题11.已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 练习： 一、选择题 1．过点且倾斜角的直线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为（ ） A．1 B． C．或2 D．2 3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，6)，B(1，-6)，C(5，2)，M为BC的中点，则中线AM所在直线的方程为（ ） A．10x+y-26＝0 B．8x+y-22＝0 C．8x+y-26＝0 D．10x-y-34＝0 4．直线在轴上的截距是（ ） A．1 B． C． D． 5．下列说法错误的是（ ） A．若直线与直线互相垂直，则 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 6．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条？ A． B． C． D． 7.（多选题）下列说法错误的是（ ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 8．（多选题）已知直线过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可以是下列（ ）选项. A．2x-y=0 B．x+y=3 C．x-2y=0 D．x-y+1=0 二、填空题 9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________. 10．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________． 11．若光线由点射到x轴上，反射后过点，则反射光线所在直线方程是______. 12．已知直线经过点，且直线的方向向量为，则直线的斜率为_________.直线的方程为_________. 三、解答题 13．已知点，，． （1）求的斜率； （2）求中边上的高所在直线的方程． 14．已知三角形的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程． 第八讲 例题1.　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． 【解析】(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5. 例题2：根据条件写出下列直线的斜截式方程： (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】（1）因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 例题3 .当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 【解析】由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1， 解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 例题4．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 【解析】由直线方程的两点式得＝，即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. 例5.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 【解析】　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 例6.已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． 【解析】由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2. 截距式方程为：＋＝1. 由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2. 例7.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直． 【解析】　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，要使l1∥l2，需＝≠. 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－. 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即·＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 法二：(1)令2×3＝m(m＋1)， 解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3. (2)由题意知直线l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1， 将a＝±1代入方程，均满足题意． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 例题8.当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 【解析】由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2， ∴解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 例9.求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程． 【解析】当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3， 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2. 当m≠3且n≠2时，由两点式得 直线方程为＝. 例题10.已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【解析】　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1. 例题11.已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【解析】(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 练习： 一、选择题 1．过点且倾斜角的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即. 故选：B. 2．已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为（ ） A．1 B． C．或2 D．2 【答案】C 【详解】 由题意得：，由直线：， 令，得 令，得 因为直线：的横截距与纵截距相等， 所以，即， 解得或， 故选：C 3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，6)，B(1，-6)，C(5，2)，M为BC的中点，则中线AM所在直线的方程为（ ） A．10x+y-26＝0 B．8x+y-22＝0 C．8x+y-26＝0 D．10x-y-34＝0 【答案】B 【详解】 由中点坐标公式得M(3，-2)，所以kAM＝-8，所以AM的方程为y+2＝-8(x-3)，即8x+y-22＝0. 故选B 4．直线在轴上的截距是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为当时，， 所以直线在轴上的截距是. 故选：C. 5．下列说法错误的是（ ） A．若直线与直线互相垂直，则 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【详解】 解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误， ．直线的斜率，则，即，则，故正确， ．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误， ．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误， 故选：． 6．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条？ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，直线交轴于点，交轴于点. 由题意可得，即. ①当时，可得，即，； ②当时，可得，即，. 综上所述，符合条件的直线有条. 故选：B. 7.（多选题）下列说法错误的是（ ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 【答案】ABD 【详解】 因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确； C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确； 故选：ABD. 8．（多选题）已知直线过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可以是下列（ ）选项. A．2x-y=0 B．x+y=3 C．x-2y=0 D．x-y+1=0 【答案】ABD 【详解】 解：由题意设所求直线的横截距为， （1）当时，由题意可设直线的方程为，将代入可得， ∴直线的方程为； （2）当时，由截距式方程可得直线的方程为（截距相等）或（截距相反），将代入可得或， ∴直线的方程为或； 故选：ABD． 二、填空题 9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________. 【答案】2x＋y－14＝0 【详解】 由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2， 故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0. 故答案为：2x＋y－14＝0. 10．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________． 【答案】x＋y－2－＝0 【详解】 设AB的中点为M，则M(1，2)， 又斜率k＝－，直线的方程为y－2＝－ (x－1)．即x＋y－2－＝0. 故答案为：x＋y－2－＝0 11．若光线由点射到x轴上，反射后过点，则反射光线所在直线方程是______. 【答案】 【详解】 解：关于x轴的对称点在反射光线上，所以， 整理得，， 故答案为: . 12．已知直线经过点，且直线的方向向量为，则直线的斜率为_________.直线的方程为_________. 【答案】 【详解】 设在直线上，且， 即， 即，所以. 故. 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. 故答案为：； 三、解答题 13．已知点，，． （1）求的斜率； （2）求中边上的高所在直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1），， ； （2）， 边上的高所在直线的斜率为， 在高所在直线上， 边上的高所在直线的方程为，即. 14．已知三角形的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 （1）设线段的中点为． 因为，， 所以的中点， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即． （2）因为，， 所以边所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$