第07讲 直线的倾斜角与斜率（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第07讲 直线的倾斜角与斜率 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 倾斜角的范围 直线的斜率 斜率的求解 直线的方向向量 坐标表示 二.学法指导 1．求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 2．解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解． 3．直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 三.知识点贯通 知识点1 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. (2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 例题1.求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　(2)　　　　　　　(3) 知识点二 直线的斜率 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k＝tan α. (3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝. 例题2：　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)(如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 知识点三 直线的倾斜角和斜率的综合 斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 例题3 .已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 知识点四 直线的方向向量 1.若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)． 2.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 例4. 经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________. 五 易错点分析 易错一 求斜率的范围 例题5..已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围； 误区警示 求斜率的范围，要考虑倾斜角。 四、核心素养聚焦 考点一 直观想象-倾斜角 例题6.一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 考点二 数学运算-斜率有关运算 例题7设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 考点三 逻辑推理-斜率的范围 例题8.已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围． 练习： 一、选择题 1．已知直线经过点，，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ） A． B． C．或 D．或 3．若，，三点共线，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（ ） A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 B．直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 5．过点)与点)的直线的倾斜角为（ ） A． B． C．或 D． 6．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7（多选题）．下列说法正确的是（ ） A．坐标平面内的任何直线均有倾斜角与斜率 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 8（多选题）．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若直线的倾斜角为，则的弧度数是________. 10．若经过两点的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是_______． 11．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是______________ . 12．已知，，直线过点，若直线与线段总有公共点，则直线的斜率取值范围是___________，倾斜角的取值范围是___________. 三、解答题 13．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角． ①，； ②，； ③，． 14．已知，，三点． （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值． （2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值． 2 学科网（北京）股份有限公司 第七讲 例题1.求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　(2)　　　　　　　(3) 【解析】　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. ①　　　　　　②　　　　　　　　③ 例题2：　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)(如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 【解析】(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°， ∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. (2)直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴k＝tan 30°＝，k＝tan 120°＝－. 知识点三 直线的倾斜角和斜率的综合 例题3 .已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【解析】如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 例4. 经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________. 【解析】由条件可知，直线的方向向量为(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2. 例题5..已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围； 【解析】如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. 例题6.一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【答案】D　 【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D. 例题7设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 【答案】4　 【解析】依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1. kAC＝＝＝－1， kBC＝＝， 由题意得kAC＝3kBC， ∵－1＝3×，解得m＝4 例题8.已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围． 【解析】如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 练习： 一、选择题 1．已知直线经过点，，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为直线经过点，，所以直线的斜率为. 故选：A． 2．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】 斜率，因为，且， 故或，即或， 故选：C. 3．若，，三点共线，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，，三点共线， 所以方向向量与共线， 所以，解得. 故选：C 4．下列说法中，正确的是（ ） A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 B．直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 【答案】D 【详解】 对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确； 对于B，虽然直线的斜率为， 但只有时，才是此直线的倾斜角，故B不正确； 对于C，当直线与轴平行或重合时，，，故C不正确； 根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义，可判断D正确； 故选：D. 5．过点)与点)的直线的倾斜角为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】 ， 故直线的倾斜角为. 故选：A. 6．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】 解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”， 若“”，则“”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定， 若“”，则“与”的大小也不能确定， 故则“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 7（多选题）．下列说法正确的是（ ） A．坐标平面内的任何直线均有倾斜角与斜率 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】B 【详解】 A. 当直线的倾斜角是时,斜率不存在,故错误; B. 直线的倾斜角的取值范围为，故正确； C.若一直线的斜率为，则，如，不是此直线的倾斜角，故错误； D.当直线的倾斜角为，则直线的斜率不存在，故错误. 故选：B 8（多选题）．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，， 则，， 故，且为钝角， 故选：AD. 二、填空题 9．若直线的倾斜角为，则的弧度数是________. 【答案】 【详解】 解：因为直线垂直x轴， 所以其倾斜角弧度数为. 故答案为：. 10．若经过两点的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【详解】 因为直线l的倾斜角为锐角，所以其斜率，故． 故答案为：. 11．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是______________ . 【答案】 【详解】 如下图，直线的斜率为，直线的斜率为. 由图可知直线的斜率的取值范围是. 12．已知，，直线过点，若直线与线段总有公共点，则直线的斜率取值范围是___________，倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【详解】 如图，若直线与线段总有公共点，则， ，， ， ,, ，即， ，. 故答案为：；. 三、解答题 13．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角． ①，； ②，； ③，． 【答案】（1）①钝角，②直角，③锐角；（2）证明见解析 【详解】 （1）①，倾斜角为钝角； ②k不存在，倾斜角为直角； ③，倾斜角为锐角． 14．已知，，三点． （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值． （2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值． 【答案】（1）；（2）能共线，. 【详解】 （1）过A，C两点的直线的斜率为 ， 又直线AC的倾斜角为，所以，得. （2），， 若，，三点共线，则有，即，解得， 所以A，B，C三点能共线，且. $$