第13讲 圆的标准方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第13讲 圆的标准方程 目录 题型归纳 1 题型01 圆的标准方程 3 题型02 点与圆的位置关系 6 题型03 圆的标准方程的实际应用 8 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 19 创新拓展 26 一、圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)圆的标准方程是关于x，y的二元二次方程． (2)确定圆的标准方程需三个独立条件以确定方程中的a，b，r. (3)当圆心在原点即C(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 题型01圆的标准方程 【解题策略】 求圆的标准方程的方法 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． (2)待定系数法： 【典例分析】 课本例1　求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程． 【例1】　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． (2)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程为____________________． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【变式3】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)求圆的标准方程. 题型02 点与圆的位置关系 【解题策略】 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断　 【典例分析】 【例2】已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【变式2】．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心为，半径为3，是过点的直线． (1)求圆的方程，并判断点是否在圆上，证明你的结论； (2)若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程． 题型03 圆的标准方程的实际应用 【解题策略】 解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 【典例分析】 课本例2　已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ 【例3】已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 【变式演练】 【变式1】（21-22高二上·福建宁德·期中）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（    ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【变式2】某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【变式3】（22-23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·广东深圳·期中）若过点的直线与圆相切，则点坐标应满足的关系为： ． 8．（2023高二上·全国·专题练习）经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的标准方程 . 9．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切． 求圆的标准方程； 11．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）（1）已知直线l的方向向量与直线的方向向量共线且过点，求直线l的方程； （2）求经过点，且圆心在y轴上的圆的标准方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·河南开封·期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 4．（22-23高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 5．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 6．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知圆，则（    ） A．点在圆的内部 B．圆的直径为2 C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离 三、填空题 7．（22-23高二·江苏·假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为 ，圆的面积为 ． 8．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是 9．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 11．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆C经过两点，圆心C在直线上.求圆C的标准方程； 12．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 13．已知圆M过A(1，－1)，B(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)若圆M上存在点P，使OP＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 二、填空题 2．（23-24高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 3．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 三、解答题 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上. 求圆的标准方程； 5.如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0,1)在BC边所在直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆的标准方程 目录 题型归纳 1 题型01 圆的标准方程 3 题型02 点与圆的位置关系 6 题型03 圆的标准方程的实际应用 8 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 19 创新拓展 26 一、圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)圆的标准方程是关于x，y的二元二次方程． (2)确定圆的标准方程需三个独立条件以确定方程中的a，b，r. (3)当圆心在原点即C(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 题型01圆的标准方程 【解题策略】 求圆的标准方程的方法 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． (2)待定系数法： 【典例分析】 课本例1　求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程． 解　因为圆C经过坐标原点，所以圆C的半径是r＝＝. 因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 【例1】　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程为____________________． 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝25 解析　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. 又弦的垂直平分线过圆心， 则由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径r＝＝5. 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C 【变式2】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)求圆的标准方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由于直线在两个坐标轴的截距相同，则分两种情况处理，直线过原点和直线截距相等不为零设直线方程求解即可； （2）根据圆的几何性质设圆心坐标，列式求解即可得圆的方程. 【详解】（1）解：经过点，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入解得，即直线的方程为，所以所求直线的方程为或. （2）解：因圆心在直线上，则设圆心， 又圆经过，两点，于是得圆的半径， 即有，解得，圆心，圆的半径， 所以圆的标准方程为. 题型02 点与圆的位置关系 【解题策略】 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断　 【典例分析】 【例2】已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解　解方程组得 ∴圆心M的坐标为(0,1)， 半径r＝MP＝＝5. ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. ∵AM＝＝<r， ∴点A在圆内． ∵BM＝＝5＝r， ∴点B在圆上． ∵CM＝＝2>r， ∴点C在圆外． ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外. 【详解】因为，所以点在圆外， 故选：C 【变式2】．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意，即，可得或. 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心为，半径为3，是过点的直线． (1)求圆的方程，并判断点是否在圆上，证明你的结论； (2)若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1)，点P不在圆上．证明见解析 (2)或． 【分析】（1）圆心到点的距离与半径比较即可； （2）分直线l的斜率不存在与存在两种情形讨论即可. 【详解】（1）圆C的方程为：                      点P不在圆上．证明如下： ∵，                                 ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上； （2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l为，即， 又∵，解得，此时直线l为， 综上所述：直线l的方程为或 题型03 圆的标准方程的实际应用 【解题策略】 解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 【典例分析】 课本例2　已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ 解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得 y＝＝<3， 即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度． 因此，货车不能驶入这个隧道． 【例3】已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 解　以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则O(0,0)，A(6，－2)． 设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)． 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)． 将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，解得x0＝， ∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米)． 【变式演练】 【变式1】（21-22高二上·福建宁德·期中）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（    ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【答案】A 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），利用待定系数法求出圆的方程，将x=-30代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0). 可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得： 解得： . 所以所求圆的方程为. 将x=-30代入圆方程,得: , 因为y>0,所以. 故选：A. 【变式2】某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 答案　1.22 解析　以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(0≤y≤4)， ∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)， ∴解得 ∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)， 令x＝4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞． 【变式3】（22-23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 【答案】(1)建系见解析，圆拱方程为，. (2)桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 【分析】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可； （2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可. 【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向， 中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.    设与轴交于点，与轴交于点，连接 设圆的半径为， 则，，， 在直角中，， 所以，解得， 所以， 所以圆拱方程为，. （2）由题意得，， 令，得， 所以， 所以，所以. 所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为， 半径为， 圆的标准方程为. 故选：B. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角换元法即可结合三角函数的性质求解. 【详解】设,则， 故选：A 3．（22-23高二上·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设圆C的方程为，将点的坐标代入方程列出方程组，解出即可得结果. 【详解】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为， 由点和点在圆C上， 可得①，②， 由①②可得， 故圆C的标准方程为. 故选：A. 4．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解. 【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称， 得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为， 所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得， 所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】利用轴对称的性质，算出点关于直线的对称点的坐标，然后根据点在圆内建立关于的不等式，解出的取值范围，即可得到本题的答案． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，得，即， 若点在圆内，则，解得：． 对照各个选项，可知B、C两项符合题意． 故选：BC． 6．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 三、填空题 7．（23-24高二上·广东深圳·期中）若过点的直线与圆相切，则点坐标应满足的关系为： ． 【答案】 【分析】过点的直线与圆相切，只能点在圆外或者圆上，从而确定坐标应满足的关系. 【详解】若过点的直线与圆相切，则点应该在圆外或者圆上， 则有. 故答案为：. 8．（2023高二上·全国·专题练习）经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的标准方程 . 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据条件列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， ∴圆的标准方程是. 故答案为： 9．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设圆M的一般式方程为：，将点代入即可求解. 【详解】解：设圆M的一般式方程为：， 因为圆M经过点，，， 所以，解得， 得圆M的一般式方程为：， 故圆M的标准方程为：. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切． 求圆的标准方程； 【答案】 【分析】利用直线方程、圆的标准方程运算即可得解. 【详解】解：由题意，圆心在直线上，故设圆心， 由于圆与轴相切，∴半径， 则圆的方程为：， 又∵圆过点， ∴，解得：， ∴圆的标准方程为． 11．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）（1）已知直线l的方向向量与直线的方向向量共线且过点，求直线l的方程； （2）求经过点，且圆心在y轴上的圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出直线的方程，代入点的坐标，由此可求出的方程； （2）根据条件设出圆的标准方程，然后代入求解出参数值，由此圆的标准方程可知. 【详解】（1）因为不经过点，所以与平行， 设直线的方程为，代入， 所以，所以， 所以直线的方程为； （2）由条件可设圆的标准方程为， 代入坐标可得，解得， 所以圆的标准方程为. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故选：A 2．（22-23高二下·河南开封·期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 3．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 【答案】B 【分析】设圆心，由得出圆心和半径，进而得出方程. 【详解】设圆心，因为，所以， 解得，则半径为，圆心. 即圆C的标准方程为. 故选：B 4．（22-23高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线 相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题. 【详解】由题设所求圆的圆心为 ，半径为，标准方程为 因为圆与直线 相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即   ① 又圆截直线的弦长 为 ，设圆的圆心为到直线的距离为 ， 所以，由 有      ② 联立①②可得： ，所以所求得圆的标准方程为 故选：C. 二、多选题 5．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 【答案】ABC 【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC 6．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知圆，则（    ） A．点在圆的内部 B．圆的直径为2 C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离 【答案】ACD 【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可. 【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确； B:圆的半径为，所以直径为，故B错误； C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确； D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（22-23高二·江苏·假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为 ，圆的面积为 ． 【答案】 【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积. 【详解】圆C的标准方程为, 则圆心，半径，故圆的面积． 故答案为：，． 8．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为点在圆的内部， 所以，解得， 故答案为： 9．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可. 【详解】设圆的标准方程为， 将坐标代入得，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得. （2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3； ②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 11．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆C经过两点，圆心C在直线上.求圆C的标准方程； 【答案】 【分析】设出圆的圆心坐标，利用圆心到圆上点的距离都等于半径，列出方程求解即可． 【详解】圆心在直线上， 设圆心，由点和在圆上，可得 ，解得， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为. 12．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 【解析】解　(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即线段AB的中点(0,1)为圆心，半径r＝AB＝. 则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)方法一　直线AB的斜率为k＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， 由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，联立两直线方程得圆心坐标是C(3,2)． r＝AC＝＝2. 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 方法二　(待定系数法) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则解得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 13．已知圆M过A(1，－1)，B(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)若圆M上存在点P，使OP＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围． 【解析】解　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得 解得 所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由(1)知M(1,1)，r＝2，故OM＝， 如图，得m＝OP∈[2－，2＋]． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 二、填空题 2．（23-24高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求圆的标准方程为，代入各点坐标求出的值即可. 【详解】由题意设所求圆的标准方程为，代入各点坐标得， ，解得， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程的形式，将圆心和半径代入整理即得. 【详解】因圆的圆心坐标为，圆的半径为，故圆的标准方程为：. 故答案为：. 三、解答题 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上. 求圆的标准方程； 【答案】; 【分析】由题设，令，圆的方程为，根据点在圆上列方程求参数，即可得圆的方程； 【详解】由题设，令，圆的方程为， 则，可得，故， 所以圆的标准方程. 5.如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0,1)在BC边所在直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程． 解　(1)因为AB⊥AD，所以kAD＝－＝－＝－3，E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6，－1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)， 即3x＋y－17＝0. (2)联立 解得A(5.8，－0.4)， 则r2＝AM2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8. 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2)【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$