第03讲 不等式的性质与一元二次不等式（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第03讲 不等式的性质与一元二次不等式 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解不等式的性质，会用作差法或作商法比较大小． 2．会解一元二次不等式（包括分式不等式），能够根据不等式的整数解的情况确定参数． 3．掌握与一元二次不等式相关的全称量词命题，会解决一元二次不等式中的恒成立问题． 1．两个实数比较大小的方法 （1）作差法． （2）作商法． 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 对乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 3．一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax2＋bx ＋c＝0(a>0) 的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c >0(a>0) 的解集 {x|x>x2或x<x1} R ax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式解法 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a) (x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x>a或x<b} (x－a) (x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 常用结论 1．两个恒成立的充要条件 （1）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ 2．四类分式不等式 （2）>0⇔f(x)g(x)>0. （2）<0⇔f(x)g(x)<0. （3）≥0⇔ （4）≤0⇔ 一、不等式的性质 例1．下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2．（多选）下列不等式成立的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 例3．（多选）已知实数，满足，，则 A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 二、比较大小的方法 例4．已知，，，则 A． B． C． D． 例5．已知，，，则 A． B． C． D． 三、简单不等式的解法 例6．（多选）设不等式的解集为，若，，则实数的可能取值是 A． B．0 C．1 D．2 例7．一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 例8．已知不等式的解集为，或， （1）求，； （2）解不等式． 四、一元二次不等式的有（整数）解问题 例9．若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为 A．， B． C．， D．， 例10．已知关于x的不等式的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围是 ． 例11．已知函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，函数在，有解，求实数的取值范围． 五、一元二次不等式恒成立问题 例12．已知函数，若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 例13．已知函数．若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围． 1．若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．若，则下列不等式：①；②；③中，正确的不等式的有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为 A． B． C． D．，， 4．（多选）已知，，，均为实数，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 5．已知不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 6．已知函数，则 ；若实数满足，则 的取值范围是 ． 7．若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ． 8．设关于的不等式，，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 ． 9．设二次函数，函数的两个零点为，． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，且，比较与的大小． 10．已知函数，且的解集为，． （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式，； （3）设，若对于任意的，，都有，求 的最小值． 1．若关于的不等式在区间，上有解，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．（多选）关于的不等式的解集中恰有3个整数，则的值可以为 A．2 B．1 C． D． 3．（多选）下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 5．若，，那么的取值范围是 ． 6．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 7．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则实数 的取值范围是 ． 9．已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当，时，恒成立，求的取值范围． 10．已知关于的不等式的解集为． （1）写出集合； （2）若集合中恰有9个整数，求实数的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第03讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．C 例2．AD 例3．ABD 例4．D ，由，即有，即； ，由，即，则，即． 例5．A ，，，， ，，，， ，． 例6．BCD 例7． 例8．解：（1）因为不等式的解集为，或， 所以1和是方程的两个实数根，且； 由根与系数的关系，得， 解得，； （2）所求不等式化为， 即； ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为． 例9．D 例10． 由题意可得，判别式△，解得，或． 设， ①当时，由于，且对称轴在轴的左侧，故中的两个整数为 和0， 故有，且，解得． ②当时，对称轴，设，由于集合中恰有两个整数则有， 即，即，解得． 故有对称轴，而（2），（3）， 故中的两个整数为4和5，故（4），（5），（6）． 即，且， 解得． 综合可得，，或．故实数的取值范围是． 例11．解：（1）由可得， 当时，解得， 当时，不存在， 当时，解得， 综上，当时，不等式的解集， 当时，不等式的解集， 当时，不等式的解集； （2）时，在，有解， 即在，有解，因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值即，， ②即时，当取得最小值，此时，解得， ③当即时，当时取得最小值，此时，解得， 综上，或． 例12．解：为在区间上，恒成立， 等价于恒成立，即，恒成立， 函数，的最大值为，． 例13．解：设， 则， 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ，当时，单调递减，其值域为，， 由于，成立． 当，时，由，知，在处取得最小值， 令，解得，又，．综上，，． 1．C 2．C 3．ABCD 4．BD 5．， 6．2；， 7．，， 8． 9．解：（1）由题意知， 当，时，不等式 即为． 当时，不等式的解集为，或； 当时，不等式的解集为． （2） ，且，即； ，， ， 即． 10．解：（1）因为的解集为，，所以的根为，2， 所以，，即，；所以； （2），即， 所以当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，，， 当时，不等式的解集为，，， 当时，不等式的解集为，，， （3）因为，时，， 所以，当时，，所以的最小值为． 1．D 2．CD 3．CD 4．(﹣1，2) 5．(﹣3，3) 6．，， 7．， 8． 9．解：（1）函数， 当时，恒成立，即恒成立； △，即，化简得，解得， 实数的取值范围是； （2）当，时，恒成立，化为恒成立， 令， 则在，上大于或等于0恒成立； 即△，或，或； 即，或，或； 解得，或，或，解得，的取值范围为，； （3）当，时，恒成立， 可设（a），则（a）在，时，恒有（a）， ，即，解得； 即或， 的取值范围是或． 10．解：（1）当时，不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为； 当时，方程的两根分别为4和， 当时，，不等式的解集为，，； 当时，，不等式的解集为，． （2）若集合中恰有9个整数，则， 即， 解得，或； 所以实数的取值范围是，，． $$