第01讲 集合的概念-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第01讲 集合的概念 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 3．掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征 一．元素与集合的概念 1．元素:一般地,把   统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示． 2．集合:把一些元素组成的     叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示． 3．集合相等:构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性:     、 和    ． 二．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a   A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A A    A a不属于集合A 三．常用数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 四．集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 (1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有  P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法． (2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的    ． 五．集合的分类 根据集合中元素个数的多少可将集合分为有限集和无限集． 有限集:集合中元素的个数是有限的． 无限集:集合中元素的个数是无限的． 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．2021年高考卷中所有的难题可以组成一个集合． (     　) 2．元素a,b,c与元素c,b,a组成的集合相等．  (　 　) 3．0∈N,但0∉N*． (　 　) 4．数1,0,5,5,6组成的集合中有5个元素． (     　) 5．{(a,b)}={a,b}． (     　) 6．{x∈R|x>0}={x∈Q|x>0}． (     　) 类型一　集合的概念与元素的特征 例1．下列各组对象:①接近于0的数的全体;②比较小的自然数的全体;③平面上到点A的距离等于2的点的全体;④方程x2-4=0在实数范围内的解;⑤ 的近似值的全体．其中能构成集合的组数是(     　) A．2 B．3 C．4 D．5 例２．若1∈{x,x2},则x= (     　) A．1 B．-1 C．0或1 D．0或1或-1 例3．用适当的方法表示下列集合: (1)被3除余2的整数; (2)方程(x+1)(x2-2)=0的解集; (3)直线y=x-1,y=-x+1的交点组成的集合; (4)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合． 1．现有以下说法,其中正确的是(　　) ①接近于0的数的全体构成一个集合; ②正方体的全体构成一个集合; ③未来世界的高科技产品构成一个集合; ④不大于3的所有自然数构成一个集合．　　　　　 　　　　　 　　　　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．集合{2a,a2-a}中实数a的取值范围是(　　) A．{a|a=0,或a=3} B．{a|a=0,且a=3} C．{a|a≠0,或a≠3} D．{a|a≠0,且a≠3} 4．(多选)下面四个说法错误的是(　　) A．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2} C．方程x2-2x+1=0的解集是{1,1} D．0与{0}表示同一个集合 5．由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含(　　　) A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素 6．定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B}．若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为 (　　) A．9 B．14 C．18 D．21 集合中参数问题的解法 引例1．已知集合A={x|2x+a=0},若2∈A,如何确定参数a的值? 2．已知集合A={x|2x+a>0},若1∉A,2∈A,如何确定参数a的取值范围? 3．已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z},如何判断3是不是集合A中的元素? 例4．已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R}． (1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值,并写出该元素; (2)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围． 类型二　元素与集合的关系 例5．已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a的值为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．6 例6．给出下列4个关系式:∈R,0．3∉Q,0∈N*,0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 例7．已知3∈{2,a,a-1},则实数a的值为(　　) A．3 B．4 C．3或4 D．无解 例8．用适当的符号填空: 已知集合A={x|x=3k+2,k∈Z},集合B={x|x=6m-1,m∈Z},则17　　　A,-5　　　A,17　　　B．  例9．已知集合与集合{a2,a+b,0}是两个相等的集合,求a2020+b2020的值． 例10．集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的所有数组成的,试分别判断a=-,b=,c=(1-2)2与集合A的关系． 1．已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则(　　) A．a+b∈P B．a+b∈Q C．a+b∈M D．a+b不属于P,Q,M中的任意一个 2．(多选)已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,则满足条件的实数x可能为(　　) A．2 B．-2 C．-3 D．1 3．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素(　　) A．整数集Z B．{x|x=|x|} C．{x∈N|-1<x<1} D．   类型三　集合的表示方法 例11．集合{x∈N|x<5}用列举法表示正确的是(　　) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 例12．已知集合A=,那么集合A用列举法可表示为　　　　　　．  例13．(1)用列举法表示方程组 的解组成的集合; (2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集． 例14．用适当的方法表示下列集合: (1)所有能被3整除的数组成的集合; (2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合; (3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B． 1．已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}． (1)若1∈A,用列举法表示A; (2)当集合A中有且只有一个元素时,求a的值组成的集合B． 2．已知U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U中的两个元素所组成的集合,且同时满足下列三个条件:①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A．求集合A． 1．已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实数m的值为　　　　． 2．已知集合A中有且仅有2个元素,并且实数a满足a∈A,4-a∈A,且a∈N,4-a∈N,则A=　　　　． 3．已知a,b∈N*,现规定:a*b=集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*}． (1)用列举法表示a与b一个为奇数,一个为偶数时的集合M; (2)当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中共有多少个元素? 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 适用学科 数学 适用年级 新高一 一．元素与集合的概念 1．元素:一般地,把①　研究对象    统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示． 2．集合:把一些元素组成的②　总体    叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示． 3．集合相等:构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性:③　确定性    、④　互异性    和⑤　无序性    ． 二．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素, 就说a属于集合A a⑥　∈    A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的 元素,就说a不属于集合 A a⑦    ∉    A a不属于集合A 三．常用数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 四．集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 (1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有⑧　共同特征    P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法． (2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的⑨　共同特征    ． 五．集合的分类 根据集合中元素个数的多少可将集合分为有限集和无限集． 有限集:集合中元素的个数是有限的． 无限集:集合中元素的个数是无限的． 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．  (    ✕　) 2．  (　√　) 3．  (　√　) 4．  (    ✕　) 5．  (    ✕　) 6．  (    ✕　) 类型一　集合的概念与元素的特征 例1．    B　 例２．    B　 例3．解析    (1)被3除余2的整数表示为3k+2,k∈Z,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈Z}． (2)解方程(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=± ,故其解集用集合表示为{-1,- , }． (3)由 解得  故两直线的交点为(1,0),用集合表示为{(1,0)}． (4)代表元素是有序实数对(x,y),用描述法表示集合为{(x,y)|x<0,且y>0}． 1．D　 2．D　 3．D　 4．CD　 ５．A　 ６．B 引例1．由2∈A得2满足限制条件2x+a=0,因此2×2+a=0,解得a=-4,故a的值为-4． 　　2．提示:∵1∉A,∴2×1+a≤0,解得a≤-2．又∵2∈A,∴2×2+a>0,解得a>-4,∴-4<a≤-2． 　　3．提示:可以取特殊值验证,令m=2∈Z,n=1∈Z,得x=m2-n2=4-1=3,所以3∈A． 　 例4．解析    (1)若a=0,则方程为一元一次方程,它有唯一解x= ,符合题意; 若a≠0,因为A中只有一个元素,所以方程有两个相等的实数根． 由Δ=(-3)2-8a=0,得a= , 此时集合A中只有一个元素 ． 综上所述,当a=0时,集合A中只有一个元素 ;当a= 时,集合A中只有一个元素 ． (2)A中至多有一个元素,则A中只有一个元素,或A中没有元素． 当 即a> 时,方程ax2-3x+2=0无解． 结合(1)可知,实数a的取值范围是 ． 类型二　元素与集合的关系 例5．B 例6．B 例7．B 例8．∈;∉;∈ 例9．解析　由a,,1组成一个集合,可知a≠0且a≠1,又集合与集合{a2,a+b,0}相等,所以=0,即b=0,此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2,a,0,因此a2=1,解得a=-1或a=1(不满足集合中元素的互异性,舍去),因此a=-1,所以a2 020+b2 020=(-1)2 020+0=1． 例10．解析　∵a=-=0+(-1)×,而0,-1∈Z,∴a∈A． ∵b===+,而,∉Z,∴b∉A． ∵c=(1-2)2=13+(-4)×,而13,-4∈Z,∴c∈A． 1．B 2．AC 3．ABD 类型三　集合的表示方法 例11．A 例12．{4,3,2,1} 例13．解析　(1)由解得或所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}． (2)因为-1<2x+3<9, 所以-2<x<3, 所以不等式的解集为{x|-2<x<3}． 例14．解析　(1){x|x=3n,n∈Z}． (2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0． (3)因为x=|x|,所以x≥0．又因为x∈Z,所以B={x|x∈N}． 1．解析　(1)若1∈A,则1是方程ax2+2x+1=0的实数根, ∴a+2+1=0,解得a=-3, ∴方程为-3x2+2x+1=0, 解得x=1或x=-, ∴A=． (2)当a=0时,方程ax2+2x+1=0,即2x+1=0, 解得x=-,此时A=; 当a≠0时,若集合A中有且只有一个元素, 则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,∴解得a=1,此时A={-1}． 综上,当a=0或a=1时,集合A中有且只有一个元素,∴a的值组成的集合B={0,1}． 2．解析　假设a1∈A,则a2∈A．又若a3∉A,则a2∉A,∴a3∈A,与集合A中有且仅有两个元素不符,∴假设不成立,∴a1∉A． 假设a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,且a1∉A,与集合A中有且仅有两个元素不符,∴假设不成立,∴a4∉A． 故集合A={a2,a3},经检验知符合题意． 1．　3 2．　{1,3}或{0,4} 10．解析　(1)当a与b一个为奇数,一个为偶数时,集合M中的元素(a,b)满足a×b=36,a,b∈N*． ∵1×36=36,3×12=36,4×9=36,9×4=36,12×3=36,36×1=36, ∴当a与b一个为奇数,一个为偶数时,集合M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}． (2)当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中的元素(a,b)满足a+b=36,a,b∈N*． ∵1+35=36,2+34=36,3+33=36,……,34+2=36,35+1=36, ∴当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中共有35个元素． $$