第13讲 集合单元复习-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第13讲 集合复习 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征 2．理解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念;能用符号和Venn图表示集合间的关系 3．理解两个集合的并集与交集的含义,理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 能求两个集合的并集、交集以及一个集合在给定集合中的补集 考点1 集合及其相关概念 【知识要点】 1．元素与集合的概念及表示 2．集合中元素的特性： 、 、 ． 3．集合的相等:只要构成两个集合的元素一样 4．元素与集合的关系：______、_______. 5．常用数集及符号表示 数集 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 考点2 集合的表示方法 【知识要点】 1．列举法 把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 （1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 . 1．（多选）下面四个说法中错误的是（　　） A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 2．下列元素与集合的关系表示不正确的是（　　） A．0∈N B．0∈Z C． D．π∈Q 3．已知集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣7）≤0，x∈Z}，则集合A中元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．10的所有正因数组成的集合用列举法表示为 ． 5．（多选）已知x∈{1，2，x2}，则有（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝0 D． 6．已知集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为 ． 考点3 集合间的基本关系 【知识要点】 符号 数轴 Venn图 子集 集合相等 真子集 类型一 集合之间的关系 1．（多选）下面给出的几个关系中正确的是（　　） A．{∅}⊆{a，b} B．{（a，b）}⊆{a，b} C．{b，a}⊆{a，b} D．∅⊆{0} 2．设集合M＝{x|x2﹣x＞0}，N，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∪N＝R 3．已知集合Q＝{x|x2﹣2x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数（　　） A．8 B．9 C．15 D．16 4．已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，以下可为A的子集的是（　　） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，1，2} 5．已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 6．已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或0 7．（多选）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{a，2}，若B⊆A，则a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 类型二 根据集合关系求参数的范围 8．已知集合A＝{﹣1，2m﹣1}，B＝{m2}，若B⊆A，则实数m＝ ． 9．已知集合M＝{x|1﹣a＜x＜2a}，N＝（1，4），且M⊆N，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，0] C． D． 10．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围是 ． 11．已知集合A＝{x|ax＝1，a∈R}，B＝{﹣1，1}，若A⊆B，则所有a的取值构成的集合为（　　） A．{﹣1} B．{﹣1，1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 12．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|a≤x≤a+2}． （1）求∁RA； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 13．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝1时，求（∁UA）∩B； （2）若A⊆B，求实数a的取值范围． 14．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣5）＞0}，B＝{x|m≤x＜m+1}． （1）求∁RA； （2）若B⊆（∁RA），求实数m的取值范围． 考点4 集合间的基本运算 【知识要点】 符号 数轴 venn图 交集 并集 补集 1．设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝（　　） A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9} 2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（　　） A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 3．设集合A＝{x|x2+mx﹣2＜0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，且A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x≤﹣1} D．{x|1＜x≤3} 4．已知集合A＝{x|0≤x＜1}，，则A∩B＝（　　） A． B． C． D．{x|﹣1≤x＜1} 5．若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题： ①A∩B＝A；②A∪B＝A；③A∩（∁IB）＝∅；④A∩B＝I；中与命题A⊆B等价的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．已知集合A＝{0，1}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．[1，3] B．（1，3] C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，2，3} 7．（多选）设全集为U，如图所示的阴影部分用集合可表示为（　　） A．A∩B B．∁UA∩B C．∁U（A∩B）∩B D．∁UA∪B 8．（多选）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＝0}，B＝{x|mx﹣1＝0}，A∩B＝B，则实数m取值为（　　） A． B． C． D．0 9．已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是　 　． 10．设全集U＝R，集合A＝{x||x﹣a|＜1}，B＝{x|2} （1）若a＝2，求A∪B； （2）若A∩（∁UB）＝∅，求实数a的取值范围． 11．已知全集U＝R，A＝{x|x≤a﹣2或x≥a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}． （1）当a＝1时，求A∩B，A∪B，（∁UA）∩B； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 1．下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 2．若2∈{1，a2+1，a+1}，则a＝（　　） A．2 B．1或﹣1 C．1 D．﹣1 3．下面四个关系中正确的是（　　） A．∅∈{0} B．a∉{a} C．0⊆{0} D．{a，b}⊆{b，a} 4．已知集合A＝{x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则集合A子集的个数为（　　） A．4个 B．8个 C．16个 D．64个 5．已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{1，2}，若A⊆B，则实数a的取值集合是　 　． 6．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣5）＞0}，B＝{x|m≤x＜m+1}． （1）求∁RA； （2）若B⊆（∁RA），求实数m的取值范围． 1．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，其中错误写法的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设集合A⊆{1，2，3，4}，若A至少有3个元素，则这样的A共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 3．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|k+1＜x＜3﹣k}． （Ⅰ）当k＝﹣1时，求A∩B； （Ⅱ）若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣1≤x≤m+1}． （1）若m＝2，求（∁UB）∩A； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第13讲 适用学科 数学 适用年级 新高一 1．【解答】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确； 由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确； 方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误； 由集合的表示方法知0不是集合，故D错误， 故选：CD． 2．【解答】解：根据元素与集合的关系知，0∈N，选项A正确； 0∈Z，选项B正确； ∈Q，选项C正确； π∉Q，选项D错误． 故选：D． 3．【解答】解：已知集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣7）≤0，x∈Z}＝{3，4，5，6，7}， 则集合A中元素个数为5个， 故选：C． 4．【解答】解：10的所有正因数组成的集合用列举法表示为{1，2，5，10}． 故答案为：{1，2，5，10}． 5．【解答】解：因为x∈{1，2，x2}， 所以x＝2或x＝x2，解得x＝2或x＝1或x＝0， 当x＝2时，x∈{1，2，4}，符合题意； 当x＝1时，x∈{1，2，1}，不满足集合的互异性； 当x＝0时，x∈{1，2，0}，符合题意．， 故x＝2或x＝0． 故选：BC． 6．【解答】解：根据题意，集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A， 则（a+1）2＝1或a2+3a+3＝1， 若（a+1）2＝1，解得a＝0，此时A＝{2，1，3}，符合题意， 若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或﹣2， 当a＝﹣1时，A＝{2，0，1}，符合题意， 当a＝﹣2时，A＝{2，1，1}，不符合题意， 故a＝﹣1或0， 故答案为：﹣1或0． 1．【解答】解：A选项，{∅}中有元素∅，{a，b}中有元素a、b，{∅}不包含于{a，b}，A错， B选项，{（a，b）}中有元素（a，b），{a，b}中有元素a、b，{（a，b）}不包含于{a，b}，B错， C选项，∵{b，a}＝{a，b}，∴{b，a}⊆{a，b}，C对， D选项，∅是任意集合的子集，D对， 故选：CD． 2．【解答】解：∵集合M＝{x|x2﹣x＞0}， ∴M＝{x|x＜0或x＞1}， ∵N＝{x|1}， ∴N＝{x|x＞1或x＜0}， ∴M＝N． 故选：C． 3．【解答】解：由x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2， 又x∈N，∴x＝0，1，2． ∴Q＝{0，1，2}， ∵P⊆Q，则满足条件的集合P的个数为23＝8， 故选：A． 4．【解答】解：A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}， ∵{0，1，2}⊆{0，1，2}， 故选：C． 5．【解答】解：∵A＝B， ①当时，解得a＝b，∴a+2b＝1， ②当时，解得，此时A＝{0，1，0}，与互异性矛盾， 综上，a+2b＝1． 故选：D． 6．【解答】解：∵{a，，1}＝{a2，a+b，0}，∴b＝0， ∴{a，0，1}＝{a2，a，0}，则1＝a2， 解得a＝﹣1或a＝1（舍去）． 则a2021+b2021＝﹣1． 故选：A． 7．【解答】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{a，2}，且B⊆A， 则a＝0或a＝1， 故选：AB． 8．【解答】∵B⊆A，且m2≠﹣1， ∴m2＝2m﹣1， ∴m＝1． 9．【解答】解：已知集合M＝{x|1﹣a＜x＜2a}，N＝（1，4），且M⊆N， 所以，解得a≤0．故实数a的取值范围为：（﹣∞，0]， 故选：B． 10．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}， 若A⊆B， 则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1． 11．【解答】解：①当a＝0时，集合A＝{x|ax＝1}＝∅，满足A⊆B， ②当a≠0时，集合A＝{x|ax＝1}＝{}， 由A⊆B，B＝{﹣1，1}得， 1，或1， 解得a＝﹣1或a＝1， 综上由a的取值构成的集合为{0，﹣1，1}， 故选：D． 12．【解答】解：（1）由题意知：A＝{x|x≥2或x≤1}，则∁RA＝{x|1＜x＜2}． （2）∵B⊆A，∴a+2≤1或a≥2，∴a≤﹣1或a≥2． 13．【解答】解：（1）当a＝1时，合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，（∁uA）∩B＝{x|﹣1≤x＜0}； （2）若A⊆B，则 ①A＝∅，a﹣1＞2a+3，∴a＜﹣4 ②A≠∅，则a≥﹣4且a﹣1≥﹣1，2a+3≤4，∴0≤a． 综上所述，a＜﹣4或0≤a． 14．【解答】解：（1）集合A＝{x|（x+2）（x﹣5）＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞5}， ∴∁RA＝{x|﹣2≤x≤5}， （2）∵集合B＝{x|m≤x＜m+1}，且B⊆（∁RA）， ∴， 解得﹣2≤m≤4， ∴实数m的取值范围是[﹣2，4]． 1．【解答】解：因为N＝{x|2x＞7}＝{x|x}，M＝{1，3，5，7，9}， 所以M∩N＝{5，7，9}． 故选：B． 2．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}， ∴M∪N＝{1，2，3，4}， ∴∁U（M∪N）＝{5}． 故选：A． 3．【解答】解：∵集合A＝{x|x2+mx﹣2＜0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，且A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}， ∴﹣2是方程x2+mx﹣2＝0的根，解得m＝1， ∴A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}， ∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}． 故选：A． 4．【解答】解：集合A＝{x|0≤x＜1}，{x|﹣1≤x}， 则A∩B＝{x|0}． 故选：A． 5．【解答】解：由A、B是全集I的真子集，得： 对于①，A∩B＝A⇔A⊆B，故①正确； 对于②，A∪B＝A⇔B⊆A，故②错误； 对于③，A∩（∁IB）＝∅⇔A⊆B，故③正确； 对于④，∵A、B是全集I的真子集，∴A∩B＝I不成立，故④错误． 故选：AC． 6．【解答】解：阴影部分表示的集合是∁BA＝{﹣1，2，3}． 故选：C． 7．【解答】解：设全集为U，如图所示的阴影部分用集合可表示为： ∁UA∩B或∁U（A∩B）∩B， 故A，D均错误，B，C均正确． 故选：BC． 8．【解答】解：A＝{﹣2，3}，B＝{x|mx＝1}， ∵A∩B＝B，∴B⊆A， ①m＝0时，B＝∅，满足B⊆A； ②m≠0时，，则或3，解得或， ∴m的取值为：0，，． 故选：ABD． 9．【解答】解：因为A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜2a}， 若A∪B＝A，则B⊆A，则，解得1≤a≤2， 所以a的取值范围为[1，2]． 故答案为：[1，2]． 10．【解答】解：（1），a＝2时，A＝{x||x﹣2|＜1}＝{x|1＜x＜3}， ∴A∪B＝（1，5]； （2）A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}，∁UB＝{x|x≤2或x＞5}，且A∩（∁UB）＝∅， ∴，解得3≤a≤4， ∴a的取值范围为：[3，4]． 11．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，A＝{x|x≤﹣1或x≥1}，B＝{x|x2﹣5x＜0}＝{x|0＜x＜5}， 则∁UA＝{x|﹣1＜x＜1}， 所以A∩B＝{x|1≤x＜5}，A∪B＝{x|x≤﹣1或x＞0}，（∁UA）∩B＝{x|0＜x＜1}； （Ⅱ）若A∩B＝B，则B⊆A， 因为B＝{x|x2﹣5x＜0}＝{x|0＜x＜5}， 所以a﹣2≥5或a≤0， 解得a≥7或a≤0， 故实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[7，+∞）． 1．【解答】解：对于A，“上课迟到的学生”属于确定的概念，故能构成集合； 对于B，“2020年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合； 对于C，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合； 对于D，小于π的正整数分别为1，2，3，能够组成集合． 故选：B． 2．【解答】解：若2∈{1，a2+1，a+1}， 则a+1＝2或a2+1＝2， 所以a＝1或﹣1， 当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去； 当a＝﹣1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意， 故a＝﹣1． 故选：D． 3．【解答】解：∅⊂{0}；a∈{a}，0∈{0}，所以A、B、C都不正确； {a，b}⊆{b，a}，正确； 故选：D． 4．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣7x＜0，x∈N*} ＝{x|0＜x＜7，x∈N*} ＝{1，2，3，4，5，6}， ∴集合A子集的个数为：26＝64． 故选：D． 5．【解答】解：若a＝0，A＝∅，满足A⊆B； 若a≠0，则A＝{x|x} ∵A⊆B ∴1，或2； ∴a＝1，或 ； ∴实数a所有取值构成的集合为{0，1，}． 故答案为：{0，1，}． 6．【解答】解：（1）集合A＝{x|（x+2）（x﹣5）＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞5}， ∴∁RA＝{x|﹣2≤x≤5}， （2）∵集合B＝{x|m≤x＜m+1}，且B⊆（∁RA）， ∴， 解得﹣2≤m≤4， ∴实数m的取值范围是[﹣2，4]． 1．【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错； 对于②，∅是任意集合的子集，故②对； 对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性， 所以{0，1，2}＝{1，2，0}，所以{0，1，2}⊆{1，2，0}，故③对； 对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错； 对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系，故⑤错； 故选：C． 2．【解答】解：∵集合A⊆{1，2，3，4}，A至少有3个元素， ∴满足条件的集合A有： {1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}， ∴这样的A共有5个． 故选：C． 3．【解答】解：（Ⅰ）当k＝﹣1时，B＝{x|0＜x＜4}，A∩B＝{x|0＜x＜3}． （Ⅱ）由A∪B＝A，则B⊆A． 当B＝∅时，k+1≥3﹣k，解得k≥1； 当B≠∅时，由B⊆A，得， 解得0≤k＜1． 综上，k的取值范围是[0，+∞）． 4．【解答】解：（1）m＝2，全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x﹣8≤0}＝{x|﹣4≤x≤2}， B＝{x|1≤x≤3}． ∁UB＝{x|x＜1或x＞3}， ∴（∁UB）∩A＝{x|﹣4≤x＜1}． （2）∵集合A＝{x|﹣4≤x≤2}，B＝{x|m﹣1≤x≤m+1}≠∅，B⊆A， ∴，解得﹣3≤m≤1． ∴实数m的取值范围[﹣3，1]． $$