1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、直角三角形的性质 1.如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（　　） A.30° B.45° C.56° D.60° 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN=120°，则∠ABF的度数为（　　）​ A.10° B.20° C.30° D.40° 3.将两把相同的直尺如图放置．若∠1=164°，则∠2的度数等于（　　） A.103° B.104° C.105° D.106° 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB=50°，则∠DBE=     ____. 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1=         . 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF. 7.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=35°． 求：（1）∠EBC的度数； （2）∠BCD的度数． 二、勾股定理 1.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A.22023 B.22024 C.2023 D.2024 2.如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2m，则木板AC的长为（　　） A.2m B.2.2m C.3m D.2.5m 3.如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13） 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为　     　． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　    　． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．求AE的长． 三、最短路径问题 1.如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12 B.20 C.24 D.28 2.如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 3.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 4.如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm． 5.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 7.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．” 任务： （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　  　定理； （2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 四、勾股定理的的逆定理 1.有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知三角形的三边长a.b.c满足（a﹣）2++|c﹣|＝0，则三角形的形状是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定 3.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　） A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形 4.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上． （1）判断∠BCD是否为直角：　   　.（填写“是”或“不是”） （2）直接写出四边形ABCD的面积为 　     　． （3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等． 5.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） 6.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 7.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝26cm，DC＝24cm，求四边形ABCD的面积． 五、勾股数 1.有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A.9，12，15 B.12，18，22 C.8，15，17 D.5，12，13 3.给出下列四个说法： ①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形； ②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝　   　． 5.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　    　． 6.如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数． 7.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 六、勾股定理的应用 1.如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（　　） A.2m B.3m C.3.5m D.4m 2.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 3.如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（　　） A.（10﹣5）cm B.3cm C.（10﹣4）cm D.5cm 4.某会展中心在会展期间准备将高5米、长13米、宽2米的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 6.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A.对顶角相等 B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数 C.两直线平行，内错角相等 D.如果a=b,那么a2=b2 3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a=b,则a2=b2 B.对顶角相等 C.若a＞b,则a2＞b2 D.两直线平行，同位角相等 4.命题：“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是                ，该命题是     命题（填真或假）． 5.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 6.如图，点F，D在△ABC的边BC上，点E，G分别在AB，AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 7.在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C=180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C=180°”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C=180°（                         ）， ∵AC∥BD， ∴∠A=           （                         ）， ∴∠DBE+∠C=180° （等量代换）． （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 八、用HL判定三角形全等 1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 3.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 4.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 5.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 6.如图，∠D，∠C为直角，AE=EB，试在图中找出2对全等的三角形，并说出你的理由． 7.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、直角三角形的性质 1.如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（　　） A.30° B.45° C.56° D.60° 【答案】C 【解析】∵CD⊥AB，AC⊥BC， ∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°， ∵∠A=56°， ∴∠ACD=90°-56°=34°， ∴∠DCB=90°-34°=56°， 故选：C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN=120°，则∠ABF的度数为（　　）​ A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】C 【解析】∵∠ACN=120°， ∴∠ACM=180°-∠ACN=60°， ∵EF∥MN， ∴∠AHB=∠ACM=60°， 在Rt△ABC中，∠A=90°， 则∠ABF=90°-∠AHB=30°， 故选：C． 3.将两把相同的直尺如图放置．若∠1=164°，则∠2的度数等于（　　） A.103° B.104° C.105° D.106° 【答案】D 【解析】如图， ∵∠3=180°-∠1=16°， ∴∠4=90°-∠3=74°， ∴∠2=180°-∠4=106°； 故选：D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB=50°，则∠DBE=     ____. 【答案】25° 【解析】∵∠C=∠E=90°，∠ADC=∠BDE， ∴∠DBE=∠DAC， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠CAB=25°， 故答案为25°． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1=         . 【答案】76° 【解析】∵△ADE沿DE折叠得△FDE， ∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE， ∵EF∥AB， ∴∠F=∠BDF， ∴∠A=∠BDF， ∵∠C=90°，∠B=62°， ∴∠A=90°-∠B=28°， ∴∠BDF=28°， ∴∠ADF=180°-∠BDF=152°， ∴∠ADE=∠ADF=76°， ∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°． 故答案为：76°． 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF. 【答案】证明 ∵AE平分∠CAB（已知）， ∴∠CAE=∠FAB（角平分线的定义）， ∵∠ACE=90°（已知）， ∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∵CD是△ABC的高（已知）， ∴∠FDA=90°（三角形高的定义）， ∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）， ∵∠CFE=∠AFD（对顶角相等）， ∴∠CFE=∠CEF（等量代换）， 7.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=35°． 求：（1）∠EBC的度数； （2）∠BCD的度数． 【答案】解 （1）∵∠ACB=90°，∠A=35°（已知）， 又∵∠EBC=∠ACB+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴∠EBC=90°+35°=125°（等量代换）． （2）∵∠EBC=∠BDC+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴∠BCD=∠EBC-∠BDC（等式的性质）． ∵CD⊥AB（已知）， ∴∠BDC=90°（垂直定义）， ∴∠BCD=125°-90°=35°（等量代换）． 二、勾股定理 1.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A.22023 B.22024 C.2023 D.2024 【答案】D 【解析】由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选：D． 2.如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2m，则木板AC的长为（　　） A.2m B.2.2m C.3m D.2.5m 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中根据勾股定理得，AC==2.5(m)，故D正确． 故选：D． 3.如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13） 【答案】A 【解析】过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（7，0）， ∴OB＝3，BC＝10， ∵AC＝AB＝13， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∴AD=＝＝12． ∴OD＝BD﹣OB＝2， ∴A（2，12）． 故选：A． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为　     　． 【答案】 【解析】∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10， ∴BD＝CD＝BC＝5，∠ADB＝90°， ∴AD＝＝＝12， ∵BE是AC边上的中线， ∴点G为△ABC的重心， ∴DG＝AD＝4，GE＝BG， ∴BG＝＝＝， ∴GE＝BG＝， 故答案为：． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　    　． 【答案】 【解析】∵分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2， ∴＝= S1，＝=S2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC2+BC2＝AB2＝25， ∴S1+S2＝＝， 故答案为：． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 【答案】解 由图可知，B的坐标为（2，﹣1），C的坐标为（4，3）， 又∵A的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴AC=，AB＝4， S△ABC=×AB×|yC-yB|=×4×4=8， 设△ABC中AC边上的高为h， 则有S△ABC=×AC×h=×2×h=h=8， ∴△ABC中AC边上的高为h=． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．求AE的长． 【答案】解 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC＝＝＝6， 连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝， ∴AE＝． 三、最短路径问题 1.如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12 B.20 C.24 D.28 【答案】B 【解析】如图所示，作点F关于AB的对称点F′，连接SF′，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度＝SF′的长度， 过S作SE⊥F′F于E， 在Rt△SEF′中，∵SE＝×24＝12（cm），EF＝16﹣2+2＝16（cm）， ∴SF'＝＝20（cm）． 故选：B． 2.如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 【答案】C 【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm）， BC＝＝10（cm）， 由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm）， ∴所用细线最短为26cm， 故选：C． 3.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 【答案】C 【解析】如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，AB=， 故选：C． 4.如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm． 【答案】15 【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ∵AC＝9cm，BC＝12cm， ∴AB＝＝15cm， 故答案为：15． 5.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 【答案】解 把圆柱体展开如图， ∵点B应为展开图长方形一边的中点， ∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10（cm）， ∴红线的长为10×2＝20（cm）， ∴至少需红线20cm． 7.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．” 任务： （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　  　定理； （2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】解 （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理．故答案为：勾股． （2）如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3＝15（尺）， 因此葛藤长为＝25（尺）． 答：问题中葛藤的最短长度是25尺． 四、勾股定理的的逆定理 1.有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；正确； （2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5或；错误； （3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理，正确． 其中，正确的个数是2个， 故选：B． 2.已知三角形的三边长a.b.c满足（a﹣）2++|c﹣|＝0，则三角形的形状是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【答案】C 【解析】∵（a﹣）2++|c﹣|＝0， ∴a﹣＝0，b﹣3＝0，c﹣＝0， 解得a＝，b＝3，c＝， ∵（）2+（）2＝32， ∴三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 3.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　） A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形 【答案】A 【解析】∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A为直角， 故选：A． 4.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上． （1）判断∠BCD是否为直角：　   　.（填写“是”或“不是”） （2）直接写出四边形ABCD的面积为 　     　． （3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等． 【答案】解 （1）∵CD＝=， BC＝＝， BD＝＝4， ∴BD2≠BC2+CD2， ∴∠BCD≠90°， ∴∠BCD不是直角． （2）四边形ABCD的面积＝5×5﹣×1×5﹣×2×5﹣×1×3﹣1×1﹣×1×2＝14． （3）如图，四边形ABED即为所求（答案不唯一）． 5.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） 【答案】①④ 【解析】①∵AB2＝22+42＝20， ∴AB＝2，故正确； ②∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，故错误； ③S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故错误； ④设点A到直线BC的距离为h， ∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5， 则×5×h＝5， 解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，故正确； 故答案为：①④． 6.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明 ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解 设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 7.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝26cm，DC＝24cm，求四边形ABCD的面积． 【答案】解 连接BD， ∵AB⊥AD， ∴∠A＝90°， ∴△ABD为直角三角形， ∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102， ∴BD＝10cm， 在△BCD中，BC＝26cm，CD＝24cm， ∵DC2+BD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）． 五、勾股数 1.有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】A 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②因勾股数必须都是整数，故②说法错误； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误． 故选：A． 2.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A.9，12，15 B.12，18，22 C.8，15，17 D.5，12，13 【答案】B 【解析】A.92+122＝152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B.122+182≠222，不能构成直角三角形，故不是勾股数； C.82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； D.52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数． 故选：B． 3.给出下列四个说法： ①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形； ②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【答案】C 【解析】①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误； ②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误； ③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2，故③说法正确； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确． 故选：C． 4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝　   　． 【答案】5 【解析】∵52+122＝132， ∴a＝5， 故答案为：5． 5.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　    　． 【答案】25 【解析】设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得x＝（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得x＝25， 故答案为：25． 6.如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数． 【答案】证明 a，b，c为勾股数，理由如下： ∵a2+b2 ＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝m4+2m2+1． 又c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1， ∴a2+b2＝c2． 即a，b，c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． ∴a，b，c为勾股数． 7.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 六、勾股定理的应用 1.如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（　　） A.2m B.3m C.3.5m D.4m 【答案】D 【解析】根据勾股定理求得，AB＝＝10（m）， ∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 2.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】D 【解析】∵AB＝2.5米，AC＝0.7米， ∴BC＝＝2.4（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴BE＝0.4米， ∴EC＝BC﹣0.4＝2（米）， ∴DC＝＝1.5（米）． ∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）． 故选：D． 3.如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（　　） A.（10﹣5）cm B.3cm C.（10﹣4）cm D.5cm 【答案】A 【解析】当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm， 而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25， ∴GI＝＝＝5（cm）， ∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm． 故选：A． 4.某会展中心在会展期间准备将高5米、长13米、宽2米的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】680 【解析】由勾股定理得AB＝＝＝12（米）， 则地毯总长为12+5＝17（米）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 【答案】10 【解析】如图，设大树高为AB＝10米， 小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）， 故答案为：10． 6.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确； 原命题：若a=b,则|a|=|b|，其逆命题为：若|a|=|b|，则a=b,它是假命题，所以②错误； 原命题：若am＞bm,则a＞b,其逆命题：若a＞b,则am＞bm,它是假命题，所以③错误； 定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误； 每个定理一定有逆命题，所以⑤正确； 命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b3，则a=b”，它是真命题，所以⑥错误． 故选：B． 2.下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A.对顶角相等 B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数 C.两直线平行，内错角相等 D.如果a=b,那么a2=b2 【答案】C 【解析】A.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数的逆命题是如果两个数的和是偶数，那么这两个数是偶数，是假命题，不符合题意； C.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； D.如果a=b,那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b,是假命题，不符合题意． 故选：C． 3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a=b,则a2=b2 B.对顶角相等 C.若a＞b,则a2＞b2 D.两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】A，若a=b,则a2=b2的逆命题是若a2=b2，则a=b,逆命题是假命题，不符合题意； B，对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； C，若a＞b,则a2＞b2的逆命题是若a2＞b2，则a＞b,逆命题是假命题，不符合题意； D，两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 4.命题：“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是                ，该命题是     命题（填真或假）． 【答案】如果a2=b2，那么a=b 假 5.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果3a=3b,那么a=b 真 6.如图，点F，D在△ABC的边BC上，点E，G分别在AB，AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 【答案】解 条件是：①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC；结论是③EF∥AD， 证明：∵∠DGC=∠BAC， ∴DG∥AB， ∴∠BAD=∠1， ∵∠1+∠2=180°， ∴∠2+∠BAD=180°， ∴EF∥AD， 7.在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C=180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C=180°”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C=180°（                         ）， ∵AC∥BD， ∴∠A=           （                         ）， ∴∠DBE+∠C=180° （等量代换）． （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 【答案】解 （1）补全证明过程及推理依据如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AC∥BD， ∴∠A=∠DBE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DBE+∠C=180° （等量代换）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等． （2）选取①③作为题设，②作为结论．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C=180°，那么AC∥BD”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DBE+∠C=180°， ∴∠A=∠DBE（等量代换）， ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）． 八、用HL判定三角形全等 1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 【答案】A 【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A． 2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 3.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 【答案】D 【解析】条件是AB=CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD=∠AEB=90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选D． 4.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 5.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 【答案】HL 【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL． 6.如图，∠D，∠C为直角，AE=EB，试在图中找出2对全等的三角形，并说出你的理由． 【答案】解 Rt△ADE≌Rt△BCE，Rt△ADB≌Rt△BCA． 理由如下：∵∠D，∠C为直角，∠AED=∠CEB，AE=EB， ∴△ADE≌△BCE； ∴AD=BC，又AB为公共边， ∴Rt△ADB≌Rt△BCA． 7.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 【答案】解 不正确，因为AC不是△ABC和△ACD的对应边， 故不能判定△ABC≌△ACD． 学科网（北京）股份有限公司 $$