1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、直角三角形的性质 1.把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与BC边重合，则∠A的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.75° 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A. ∠A与∠1互余 B. ∠B与∠2互余 C. ∠A=∠2 D. ∠1=∠2 3.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　） A.∠1与∠2 B.∠2与∠3 C.∠1与∠3 D.三个角都相等 4.如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC，若∠1=50°，则∠C的度数为      . 5.直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为            ． 6.如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数． 7.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF． 二、勾股定理 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AD交BC于D，DE是AB的垂直平分线，CD＝2cm，则△EAD的周长是（　　） A.4cm B.（4+2）cm C.6cm D.（6+2）cm 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 3.如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（　　） A.15cm2 B.30cm2 C.60cm2 D.65cm2 4.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 5.如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 6.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 7.如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长． 三、最短路径问题 1.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 2.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 3.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 4.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 5.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 四、勾股定理的的逆定理 1.在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③AB∶BC∶AC＝3∶4∶5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 3.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（　　） A.AB＝2，BC＝3，AC= B.AB＝BC＝1，AC= C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 4.在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 　           　． 5.如图，每个小正方形的边长为1． （1）三角形ABC是否是直角三角形？　    　．（填“是”或“否”） （2）AC边上的高为 　   　． 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 7.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 五、勾股数 1.有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　） A. B.5 C.5或7 D.5或 3.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A.9，12，15 B.12，18，22 C.8，15，17 D.5，12，13 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 6.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 7.如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数． 六、勾股定理的应用 1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 2.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（　　） A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 3.如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　） A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70° 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 5.如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a=b,则a2=b2 B.对顶角相等 C.若a＞b,则a2＞b2 D.两直线平行，同位角相等 4.命题“若a=b,则-a=-b”的逆命题是                   ． 5.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 6.如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD=CA，②DE=AB，③DE∥AC，④∠ABC=∠E． （1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：_________，求证：______； （2）请对你写出的命题进行证明． 7.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 八、用HL判定三角形全等 1.如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A.SSS B.AAS C.SAS D.HL 3.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 5.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_________≌△_________． 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？ 7.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、直角三角形的性质 1.把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与BC边重合，则∠A的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.75° 【答案】B 【解析】∵∠ACB=90°，∠ABC=50°， ∴∠A=90°-∠ABC=40°． 故选：B． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A. ∠A与∠1互余 B. ∠B与∠2互余 C. ∠A=∠2 D. ∠1=∠2 【答案】D 【解析】A.在Rt△ACD中，∠ADC=90°，所以∠A与∠1互余，正确； B.在Rt△BCD中，∠BDC=90°，所以∠B与∠2互余，正确； C.∵∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，正确； D.当∠A=∠B时，AC=BC，所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1=∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误； 故选：D． 3.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　） A.∠1与∠2 B.∠2与∠3 C.∠1与∠3 D.三个角都相等 【答案】B 【解析】∵两张长方形卡片叠在一起， ∴∠C=∠D=∠A=∠B=∠AEF， ∵∠CEG+∠DEF=90°，∠CEG+∠CGE=90°， ∴∠CGE=∠DEF， ∵∠3+∠CGE=180°，∠1+∠DFE=180°， ∴∠1与∠3的大小无法判定； ∵∠AHG=∠BHK，∠AGH+∠AHG=90°，∠BHK+∠BKH=90°， ∴∠AGH=∠BKH， ∵∠3+∠AGH=180°，∠2+∠BKH=180°， ∴∠2=∠3． 故选：B． 4.如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC，若∠1=50°，则∠C的度数为      . 【答案】40° 【解析】∵EF∥BC，∠1=50°， ∴∠B=∠1=50°， ∵∠A=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠C=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 5.直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为            ． 【答案】40° 【解析】因为直角三角形中一个锐角是50°， 所以另一个锐角是90°-50°=40°． 故答案为：40°． 6.如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数． 【答案】解 ∵MN∥EF， ∴∠BCD=∠1=50°． 在△BCD中，∠BCD=50°，∠2=60°， ∴∠ABC=180°-∠BCD-∠2=70°． 在Rt△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC=20°． 7.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF． 【答案】解 ∵∠AFD=152°， ∴∠DFC=28°， ∵∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠EDB=∠DFC=28°， ∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-90°-28°=62°． 二、勾股定理 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AD交BC于D，DE是AB的垂直平分线，CD＝2cm，则△EAD的周长是（　　） A.4cm B.（4+2）cm C.6cm D.（6+2）cm 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵AD是∠CAB的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°， ∵CD＝2cm， ∴AD＝2CD＝4cm， ∵∠EAD＝30°， ∴DE＝AD＝2cm， ∴AE＝＝＝2（cm）， ∴△EAD的周长＝AD+DE+AE＝（6+2）cm， 故选：D． 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】∵△PBC与△PAC是直角三角形，AC＝2，BC＝4， ∴PB2＝PC2+BC2，PA2＝PC2+AC2， ∴PB2﹣PA2＝PC2+BC2﹣PC2﹣AC2＝BC2﹣AC2＝42﹣22＝16﹣4＝12． 故选：D． 3.如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（　　） A.15cm2 B.30cm2 C.60cm2 D.65cm2 【答案】A 【解析】由勾股定理得，AC＝＝12， ∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD＝6， ∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2）， 故选：A． 4.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【答案】 【解析】∵点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3）， ∴AM=， ∵以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，∴AN=AM=， ∴则点N的坐标为． 故答案为：． 5.如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 【答案】7 【解析】由勾股定理可知OB＝，OC＝，OD＝ ∴OD2＝7． 6.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 【答案】解 （1）∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE＝5， ∴AB＝10， 又∵AC＝8，BC＝6， ∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵CD是△ABC的高， ∴S△ABC=， ∴CD＝=4.8； （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD＝＝3.6， ∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4． 7.如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长． 【答案】解 ∵DC⊥BC，AE⊥DE， ∴∠C＝∠AED＝90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD＝＝＝13， 即AD的长为13． 三、最短路径问题 1.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 【答案】C 【解析】将长方体展开，连接AB′， 则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm． 故选：C． 2.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 【答案】C 【解析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，过点B作BC⊥CD于点C， ∵圆柱形容器高为18cm，点A处离杯上沿2cm，点B处离杯底4cm， ∴AD＝A'D＝2cm，CD＝18﹣4＝14（cm）， ∴A'C＝AD+CD＝2+14＝16（cm）， ∵底面周长为24cm， ∴BC=， 根据勾股定理可得A'B=， 故选：C． 3.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 【答案】C 【解析】如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，AB=， 故选：C． 4.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】13 【解析】如图所示， ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为13． 5.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 【答案】解 把圆柱体展开如图， ∵点B应为展开图长方形一边的中点， ∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10（cm）， ∴红线的长为10×2＝20（cm）， ∴至少需红线20cm． 7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】解 （1）由题意得，该长方体中能放入木棒的最大长度是（cm）． （2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm， 所以最短路程为cm； （3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝13（cm）． 四、勾股定理的的逆定理 1.在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③AB∶BC∶AC＝3∶4∶5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①∵∠A+∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180， 解得，x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5， 设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形； ④∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180°， 解得：∠A＝60°， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC不是直角三角形； ∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个， 故选：C． 2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， ∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2， ∴以3m，4m，5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 3.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（　　） A.AB＝2，BC＝3，AC= B.AB＝BC＝1，AC= C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 【答案】C 【解析】A.∵， ∴AB2+BC2＝AC2，故A选项是直角三角形，不符合题意； B.∵， ∴AB2+BC2＝AC2，故B选项是直角三角形，不符合题意； C.∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5， ∴设∠A＝3m，∠B＝4m，∠C＝5m， ∵∠A+∠B+∠C＝180° ∴3m+4m+5m＝180°，解得m＝15° ∴3m＝45°，4m＝60°，5m＝75°， ∴各角分别为45°，60°，75°，故C选项不是直角三角形，符合题意； D.∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5， ∴设AB＝3x，BC＝4x，AC＝5x， ∴AB2+BC2＝（3x）2+（4x）2＝25x2＝AC2，故D选项是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4.在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 　           　． 【答案】直角三角形 【解析】∵（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0， ∴a2﹣52﹣b2＝0， 即a2＝52+b2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 5.如图，每个小正方形的边长为1． （1）三角形ABC是否是直角三角形？　    　．（填“是”或“否”） （2）AC边上的高为 　   　． 【答案】（1）是 （2）2 【解析】（1）由勾股定理可得，AB＝，BC＝，AC＝， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴三角形ABC是直角三角形． （2）∵△ABC的面积＝， ∴AC边上的高h＝． 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 【答案】解 （1）AB＝＝5． （2）如图所示． 7.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明 ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解 设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 五、勾股数 1.有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】A 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②因勾股数必须都是整数，故②说法错误； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误． 故选：A． 2.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　） A. B.5 C.5或7 D.5或 【答案】B 【解析】∵3,4,a为勾股数， ∴当a最大时，此时a＝＝5， 当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数， 故选：B． 3.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A.9，12，15 B.12，18，22 C.8，15，17 D.5，12，13 【答案】B 【解析】A.92+122＝152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B.122+182≠222，不能构成直角三角形，故不是勾股数； C.82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； D.52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数． 故选：B． 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 【答案】3，4，5（答案不唯一）． 【解析】一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）． 故答案为3，4，5（答案不唯一）． 5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 【答案】19，180，181． 【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1， ②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1， ③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…， ∴第n组勾股数为： a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， ∴第⑨组勾股数为a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181． 故答案为：19，180，181． 6.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】解 （1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴3k，4k，5k都是正整数， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数． （2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck是三个正整数， ∵a2+b2＝c2， ∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2， ∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数． 7.如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数． 【答案】证明 a，b，c为勾股数，理由如下： ∵a2+b2 ＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝m4+2m2+1． 又c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1， ∴a2+b2＝c2． 即a，b，c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． ∴a，b，c为勾股数． 六、勾股定理的应用 1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 【答案】B 【解析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm）， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm）， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm， 故选：B． 2.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（　　） A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 【答案】C 【解析】Rt△ACP中，AP＝AB＝4cm，CP＝3cm； 根据勾股定理，得AC＝＝5（cm）； ∴AC+BC﹣AB＝2AC﹣AB＝10﹣8＝2（cm）； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故选：C． 3.如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　） A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70° 【答案】B 【解析】∵OA＝6，OB＝8，AB＝10， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOB＝90°， 由题意得，90°﹣40°＝50°， ∴点B在点O的北偏东50°方向， 故选：B． 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 【答案】10 【解析】如图，设大树高为AB＝10米， 小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）， 故答案为：10． 5.如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 【答案】15 【解析】设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得： ∵DE＝CE， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故102+x2＝（25﹣x）2+152， 解得；x＝15． 故答案为：15． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】解 （1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程． （2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2， ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是114m2． 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确； 原命题：若a=b,则|a|=|b|，其逆命题为：若|a|=|b|，则a=b,它是假命题，所以②错误； 原命题：若am＞bm,则a＞b,其逆命题：若a＞b,则am＞bm,它是假命题，所以③错误； 定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误； 每个定理一定有逆命题，所以⑤正确； 命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b3，则a=b”，它是真命题，所以⑥错误． 故选：B． 2.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 【答案】B 【解析】A．逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，是假命题，如：对顶角相等，但不是同位角； B．逆命题为“如果三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，因为三角形的内角和为180°，当两个角的和为90°时，另一个角是直角； C．逆命题为“若|a|=|b|，则a=b”，是假命题，如：a=2，b=-2时便不成立； D．逆命题为“如果一个整数能被5整除，那么这个数的末位数是零”，是假命题，如：25便不成立． 故选：B． 3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a=b,则a2=b2 B.对顶角相等 C.若a＞b,则a2＞b2 D.两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】A，若a=b,则a2=b2的逆命题是若a2=b2，则a=b,逆命题是假命题，不符合题意； B，对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； C，若a＞b,则a2＞b2的逆命题是若a2＞b2，则a＞b,逆命题是假命题，不符合题意； D，两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 4.命题“若a=b,则-a=-b”的逆命题是                   ． 【答案】若-a=-b,则a=b 5.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b, 是假命题， 故答案为：假． 6.如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD=CA，②DE=AB，③DE∥AC，④∠ABC=∠E． （1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：_________，求证：______； （2）请对你写出的命题进行证明． 【答案】（1）解 已知：①③④， 求证：②． （2）证明 ∵DE∥AC， ∴∠A=∠EDB， 在△ABC和△DEB中， ∴△ABC≌△DEB（AAS）， ∴DE=AB． 7.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F， 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC， ∵EF∥AD， ∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC， ∴∠AGF=∠F． 八、用HL判定三角形全等 1.如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 【答案】C 【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB ∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB； ②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE； ③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE． ∴图中的全等三角形共有3对． 2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A.SSS B.AAS C.SAS D.HL 【答案】C 【解析】两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS”． 故选C． 3.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 【答案】A 【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A． 4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 【答案】HL 【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL． 5.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_________≌△_________． 【答案】AB DCF 【解析】∵在△ABE和△DCF中，AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，符合直角三角形全等条件HL，所以△ABE≌△DCF，故填ABE；DCF． 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？ 【答案】解 根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°， 在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC，点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． 7.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【答案】证明 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． 学科网（北京）股份有限公司 $$