1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、互逆命题与互逆定理 1.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A.有两个角相等的三角形是等腰三角形 B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D.不是等腰三角形的两个角不相等 2.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 3.下列定理中，其逆命题是假命题的是（　　） A.两直线平行，内错角相等 B.对顶角相等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等边三角形的三个内角都是60° 4.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 5.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． （1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （2）内错角相等； （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 二、用HL判定三角形全等 1.能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A.SSS B.AAS C.SAS D.HL 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 6.在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 7.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 三、勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，2， B.，， C.1，1，2 D.9，12，15 2.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论： ①7不是广义勾股数； ②13是广义勾股数； ③两个广义勾股数的和是广义勾股数； ④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A.①② B.①②④ C.②④ D.①④ 3.下列说法正确的是（　　） A.在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度一定是4 B.三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数 C.三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形 D.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 4.下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c＞b，c＞a，则必有a2+b2＝c2； ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数． 其中正确的是 　    　．（填序号） 5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 6.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8，15，17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 7.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 四、勾股定理的的逆定理 1.如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法∶先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A.勾股定理 B.三角形内角和定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形的两锐角互余 2.有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 3.在△ABC中，BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，点D是BC的中点，则AD等于（　　）cm． A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 4.如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，BC=，AD=，则DE＝　     　． 5.一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　   　． 6.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 7.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 五、直角三角形的性质 1.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　） A.∠1与∠2 B.∠2与∠3 C.∠1与∠3 D.三个角都相等 2.在ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，如图，则图中与∠B（∠B除外）相等的角的个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图所示，直线a∥b,直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1=33°，则∠2的度数为（　　） A.57° B.47° C.67° D.33° 4.直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为            ． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1=         . 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF=50°，求∠A的度数； （2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 7.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF． 六、最短路径问题 1.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A.20cm B.24cm C.12cm D.14cm 2.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 3.如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12 B.20 C.24 D.28 4.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 5.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 7.如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 七、勾股定理 1.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为6，10，7，则正方形D的面积为（　　） A.11 B.16 C.17 D.23 2.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 3.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（　　） A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，则线段CD的长度为 　     　． 6.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 7.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 八、勾股定理的应用 1.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A.4m B.5m C.6m D.8m 2.如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　） A.5米 B.6米 C.7米 D.8米 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20元 D.40元 4.某会展中心在会展期间准备将高5米、长13米、宽2米的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 5.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　    　尺． 6.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 7.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、互逆命题与互逆定理 1.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A.有两个角相等的三角形是等腰三角形 B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D.不是等腰三角形的两个角不相等 【答案】A 【解析】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形， 故选：A． 2.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 【答案】B 【解析】A．逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，是假命题，如：对顶角相等，但不是同位角； B．逆命题为“如果三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，因为三角形的内角和为180°，当两个角的和为90°时，另一个角是直角； C．逆命题为“若|a|=|b|，则a=b”，是假命题，如：a=2，b=-2时便不成立； D．逆命题为“如果一个整数能被5整除，那么这个数的末位数是零”，是假命题，如：25便不成立． 故选：B． 3.下列定理中，其逆命题是假命题的是（　　） A.两直线平行，内错角相等 B.对顶角相等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等边三角形的三个内角都是60° 【答案】B 【解析】A.逆命题为内错角相等，两直线平行，是真命题； B.逆命题为相等的角为对顶角，是假命题； C.逆命题两个底角相等的三角形为等腰三角形，是真命题； D.逆命题为三个内角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题； 故选：B． 4.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b, 是假命题， 故答案为：假． 5.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果3a=3b,那么a=b 真 6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F， 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC， ∵EF∥AD， ∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC， ∴∠AGF=∠F． 7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． （1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （2）内错角相等； （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【答案】解 （1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题； （2）题设：如果两个角是内错角，结论：那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1； （3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题． 二、用HL判定三角形全等 1.能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 【答案】D 【解析】A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误． B，C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B，C选项错误． D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定． 故选D． 2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A.SSS B.AAS C.SAS D.HL 【答案】C 【解析】两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS”． 故选C． 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 【答案】HL 【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL． 5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 6.在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【答案】证明 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC=BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 7.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【答案】证明 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． 三、勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，2， B.，， C.1，1，2 D.9，12，15 【答案】D 【解析】A.，2，中，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B.，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C.∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意； D.∵92+122＝152，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论： ①7不是广义勾股数； ②13是广义勾股数； ③两个广义勾股数的和是广义勾股数； ④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A.①② B.①②④ C.②④ D.①④ 【答案】A 【解析】①∵7不能表示为两个正整数的平方和， ∴7不是广义勾股数，故①结论正确； ②∵13＝22+32， ∴13是广义勾股数，故②结论正确； ③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误； 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数， 如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误， ∴依次正确的是①②． 故选：A． 3.下列说法正确的是（　　） A.在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度一定是4 B.三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数 C.三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形 D.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】A.在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或，原命题错误，不符合题意； B.因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意； C.∵122+352≠362， ∴三边长度分别是12，35，36的三角形不是直角三角形，错误，不符合题意； D.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意． 故选：D． 4.下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c＞b，c＞a，则必有a2+b2＝c2； ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数． 其中正确的是 　    　．（填序号） 【答案】②④ 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且c＞b，c＞a，则必有a2+b2＝c2，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c一定是勾股数，故④说法正确． 故答案为：②④． 5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 【答案】17 【解析】145=， 所以a＝17． 故答案为17． 6.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8，15，17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【答案】解 （1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数， 故8，15，17是为勾股数． （2）∵72+242＝252， ∴该三角形是直角三角形， ∴其面积＝×7×24＝84． （3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24； 当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2． 故其周长为24或14+2． 7.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 四、勾股定理的的逆定理 1.如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法∶先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A.勾股定理 B.三角形内角和定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形的两锐角互余 【答案】C 【解析】若AB2+BC2＝AC2， 则△ABC是直角三角形，且∠B＝90°， 故选：C． 2.有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；正确； （2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5或；错误； （3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理，正确． 其中，正确的个数是2个， 故选：B． 3.在△ABC中，BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，点D是BC的中点，则AD等于（　　）cm． A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 【答案】A 【解析】∵BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠BAC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴AD＝BC＝cm， 故选：A． 4.如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，BC=，AD=，则DE＝　     　． 【答案】2 【解析】∵BD＝1，DC＝3，BC＝， 又∵12+32＝（）2， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝4， 又∵E点为AC的中点， ∴DE＝AC＝2． 故答案为：2． 5.一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　   　． 【答案】 【解析】∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132， ∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边， ∵三角形斜边上的中线是斜边的一半， ∴三角形最长边上的中线为． 故答案为：． 6.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15， ∴AB2+AD2＝BD2， BD2+BC2＝DC2． ∴△ABD，△BDC是直角三角形． ∴∠A＝90°，∠DBC＝90°． 故这个零件符合要求． 7.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明 ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解 设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 五、直角三角形的性质 1.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　） A.∠1与∠2 B.∠2与∠3 C.∠1与∠3 D.三个角都相等 【答案】B 【解析】∵两张长方形卡片叠在一起， ∴∠C=∠D=∠A=∠B=∠AEF， ∵∠CEG+∠DEF=90°，∠CEG+∠CGE=90°， ∴∠CGE=∠DEF， ∵∠3+∠CGE=180°，∠1+∠DFE=180°， ∴∠1与∠3的大小无法判定； ∵∠AHG=∠BHK，∠AGH+∠AHG=90°，∠BHK+∠BKH=90°， ∴∠AGH=∠BKH， ∵∠3+∠AGH=180°，∠2+∠BKH=180°， ∴∠2=∠3． 故选：B． 2.在ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，如图，则图中与∠B（∠B除外）相等的角的个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， ∴∠B+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠B=∠FDA． ∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠B=∠DAC． ∵∠DAC+∠C=∠C+∠CDE=90°， ∴∠DAC=∠CDE． ∴图中与∠B（∠B除外）相等的角有∠FDA，∠DAC，∠CDE共三个． 故选：A． 3.如图所示，直线a∥b,直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1=33°，则∠2的度数为（　　） A.57° B.47° C.67° D.33° 【答案】A 【解析】在直角△ABC中，∠ACB=90°， ∵∠1=33°， ∴∠3=180°-90°-33°=57°， ∵a∥b, ∴∠2=∠3=57°， 故选：A． 4.直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为            ． 【答案】40° 【解析】因为直角三角形中一个锐角是50°， 所以另一个锐角是90°-50°=40°． 故答案为：40°． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1=         . 【答案】76° 【解析】∵△ADE沿DE折叠得△FDE， ∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE， ∵EF∥AB， ∴∠F=∠BDF， ∴∠A=∠BDF， ∵∠C=90°，∠B=62°， ∴∠A=90°-∠B=28°， ∴∠BDF=28°， ∴∠ADF=180°-∠BDF=152°， ∴∠ADE=∠ADF=76°， ∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°． 故答案为：76°． 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF=50°，求∠A的度数； （2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 【答案】解 （1）∵∠ACB=90°，∠CEF=50°， ∴∠CBE=40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=80°， ∴∠A=90°-80°=10°； （2）∠CFE=∠CEF，理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠EBA+∠BFD=90° 又∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠EBA， ∴∠CEB=∠BFD， ∵∠BFD=∠CFE， ∴∠CEB=∠CFE， 即∠CFE=∠CEF． 7.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF． 【答案】解 ∵∠AFD=152°， ∴∠DFC=28°， ∵∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠EDB=∠DFC=28°， ∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-90°-28°=62°． 六、最短路径问题 1.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A.20cm B.24cm C.12cm D.14cm 【答案】B 【解析】如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得A'D＝＝12（cm）， ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：B． 2.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 【答案】C 【解析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，过点B作BC⊥CD于点C， ∵圆柱形容器高为18cm，点A处离杯上沿2cm，点B处离杯底4cm， ∴AD＝A'D＝2cm，CD＝18﹣4＝14（cm）， ∴A'C＝AD+CD＝2+14＝16（cm）， ∵底面周长为24cm， ∴BC=， 根据勾股定理可得A'B=， 故选：C． 3.如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12 B.20 C.24 D.28 【答案】B 【解析】如图所示，作点F关于AB的对称点F′，连接SF′，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度＝SF′的长度， 过S作SE⊥F′F于E， 在Rt△SEF′中，∵SE＝×24＝12（cm），EF＝16﹣2+2＝16（cm）， ∴SF'＝＝20（cm）． 故选：B． 4.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】13 【解析】如图所示， ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为13． 5.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 【答案】解 把圆柱体展开如图， ∵点B应为展开图长方形一边的中点， ∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10（cm）， ∴红线的长为10×2＝20（cm）， ∴至少需红线20cm． 7.如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 【答案】解 （1）如图， 将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C，D，E，取AB的四等分点C′，D′，E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC， 则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短彩带长， ∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝＝13， ∴4AC＝52， 答：彩带的长度是52cm． （2）如图， 将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程， 在直角△AMC′中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm， 由勾股定理得AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520， 则AC′＝2cm， 答：蚂蚁走的最短路程是2cm． 七、勾股定理 1.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为6，10，7，则正方形D的面积为（　　） A.11 B.16 C.17 D.23 【答案】D 【解析】如图， 由勾股定理可得，S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D＝S正方形E+S正方形C， ∵正方形A，B，C的面积依次为6，10，7， ∴S正方形E＝S正方形A+S正方形B＝6+10＝16， ∴S正方形D＝S正方形E+S正方形C＝16+7＝23． 故选：D． 2.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示： S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC， ∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4 即×4×4＝×5×BD， 解得：BD＝． 故选：C． 3.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵S△ABC＝4， ∵BC＝， ∴BC边上的高＝， 故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【答案】 【解析】∵点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3）， ∴AM=， ∵以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，∴AN=AM=， ∴则点N的坐标为． 故答案为：． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，则线段CD的长度为 　     　． 【答案】 【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝＝6， ∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵S△ABC＝＝， ∴＝，解得CD＝， 故答案为：． 6.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 【答案】解 （1）∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE＝5， ∴AB＝10， 又∵AC＝8，BC＝6， ∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵CD是△ABC的高， ∴S△ABC=， ∴CD＝=4.8； （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD＝＝3.6， ∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4． 7.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 【答案】解 （1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE， ∴AE＝AB＝EC， ∴∠CAE＝∠C， ∵∠BAE＝44°， ∴∠AED= (180°-44°)=68°， ∴∠C=∠AED=34°． （2）由（1）知：EC＝AE＝AB， ∵DE＝BD． ∴AB+BD＝EC+DE＝DC， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）． 答：△ABC的周长为17cm． 八、勾股定理的应用 1.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A.4m B.5m C.6m D.8m 【答案】B 【解析】由题意可知，CF＝3m，BE＝1m， ∴BD＝2m． 设AC的长为xm，则AB＝AC＝x （m）， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2， 解得：x＝5． 故选：B． 2.如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　） A.5米 B.6米 C.7米 D.8米 【答案】C 【解析】∵△ABC是直角三角形，BC＝3米，AB＝5米， ∴AC＝＝4（米）， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米， 故选：C． 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20元 D.40元 【答案】C 【解析】∵∠DAC＝∠C＝45°， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝a米， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝2a（米）， ∴BD＝＝a（米）， ∴BC＝BD+CD＝（+1）a米， ∴S△ABC＝＝（+1）a2（平方米）， ∵绿色植被每平方米造价40元， ∴铺满这块空地需要20（+1）a2元． 故选：C． 4.某会展中心在会展期间准备将高5米、长13米、宽2米的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】680 【解析】由勾股定理得AB＝＝＝12（米）， 则地毯总长为12+5＝17（米）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 5.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　    　尺． 【答案】4.55 【解析】设折断处离地面x尺，根据题意可得， x2+32＝（10﹣x）2， 解得，x＝4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 6.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 7.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 【答案】解 设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得， 在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2， ∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92， ∴x＝13． 答：旗杆AB的高度为13米． 学科网（北京）股份有限公司 $$