14.2 三角形全等的判定（进阶篇）（题型专练）数学沪科版2024八年级上册

14.2 三角形全等的判定（进阶篇） 题型一 添加条件使三角形全等 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）根据下列条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，根据全等三角形的判定条件可确定三角形的形状和大小，从而可得答案． 【详解】解：A、，的大小不能确定，不符合题意； B、， 根据可得的形状和大小能确定，符合题意； C、，的形状和大小不能确定，不符合题意； D、，的形状和大小不能确定，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，下列各组条件中，不能判定的是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可求解． 【详解】解：点B、E、C、F在同一直线上，， ∴， A、添加、，不能判定与全等，符合题意； B、添加、，能用“角边角”判定三角形全等，不符合题意； C、添加、，能用“角角边”判定三角形全等，不符合题意； D、添加、，可以运用“边角边”的方法判定与全等，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在和中，，，再添加一个条件就能使，下列条件：①；②；③；④，则可以添加的条件是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法对四个选项分别证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ①，，，∴， ②，，，利用不能证得三角形全等， ③，可得到，，，∴， ④，，，∴ 故能证明的条件可以为：①③④ 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理证明三角形全等即可． 【详解】解：由题意得，又， 若选择①， 在与中， ， ； 若选择②， 由不能判定和全等； 若选择③， 在与中， ， ； 若选择④， 在与中 ； 综上，①③④符合题意， 故选：B． 5．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加①，可以用判定； 添加③，可以用判定； 添加④，可以用判定； 添加②不能判定三角形全等． 故选C． 题型二 确定全等三角形的对数 6．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 7．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在四边形中，连接、，直线经过和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】可以先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质逐个排查即可，熟练掌握平行四边形的判定和性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴①正确；， ②的周长的周长，正确； ③，正确； ④∵， ∴， ∵，， ∴， 同理图中全等的三角形有：，，； 共计10对全等的三角形，④错误． 综上所述，正确的结论是：①②③． 故选：B． 8．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD、CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第200个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】20100 【分析】根据题意易得第一个图形中全等三角形有×2×1＝1对全等三角形；第二个图形中全等三角形有×3×2＝3对全等三角形；第三个图形中全等三角形有×4×3＝6对全等三角形，依次规律进行求解即可． 【详解】解：第一个图形中全等三角形有×2×1＝1对全等三角形； 第二个图形中全等三角形有×3×2＝3对全等三角形； 第三个图形中全等三角形有×4×3＝6对全等三角形； … 第200个图形有×201×200＝20100对全等三角形． 故答案为：20100． 【点睛】本题主要考查全等三角形的规律问题，关键是根据题意得到每个图形中全等三角形的个数，进而总结规律进行求解即可． 9．（20-21八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，为的角平分线上面一点，连接，； 如图，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，； 如图，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；…，依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】 【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可． 【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 10．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 【答案】（1）SAS；（2）3；（3）6；（4） 【分析】（1）利用SAS判定△ABD≌△ACD即可； （2）由（1）知△ABD≌△ACD，利用SAS证△ABE≌△ACE，从而得到BD=CD，BE=CE，则可利用SSS证△BDE≌△CDE，即可得出答案； （3）由（2）知△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，再利用SAS证△ABF≌△ACF，利用SSS证△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，即可得出答案； （4）由（1）（2）（3）总结出规律即可求解． 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：SAS； （2）由（1）知△ABD≌△ACD， ∴BD=CD， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE， ∴BE=CE， 在△BDE和△CDE中， ， ∴△BDE≌△CDE， ∴全等三角形共有3个， 故答案为：3； （3）同理可得△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，共有6对全等三角形， 故答案为：6； （4）第1个图有1对全等三角形， 第2个图有3=对全等三角形， 第3个图有6=对全等三角形， … 第x个图有对全等三角形， 故答案为：． 【点睛】本题词考查全等三角形的判定，图形找规律，熟练掌握全等三角形的判定理是解题的关键． 题型三 网格中确定全等三角形 11．（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 12．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有 个（不包括）． 【答案】13 【分析】以C点为唯一公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有13个， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点， (1)图中格点的面积是_______； (2)按要求画图： ①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形； ③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段． 【答案】(1) (2)①见解析②见解析③见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形面积公式求解即可． （2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可． ②利用轴对称法画出图形即可． ③画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：的面积， 故答案为：； （2）解：①如图，即为所画（答案不唯一） ②如图，即为所画（答案不唯一） ③如图，即为所画（答案不唯一） 14．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），请画出与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形．    【答案】见解析． 【分析】根据全等三角形的判定作图即可． 【详解】解：如图，即为所求．    【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 15．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中为格点三角形．请仅用无刻度直尺按要求作图，不需证明． (1)在图1中画出的一条中线． (2)在图2中，作出与全等的格点三角形，要求所作格点三角形与有一条公共边，且不与重叠； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查格点作图，三角形中线，全等三角形，解题关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用格点的特征及三角形中线的性质即可作图； （2）利用全等三角形的性质即可作图． 【详解】（1）解：如图所示，、、都是中线，任意一条即可． （2）解：如图所示，都与全等，任意一个即可． 题型四 灵活选用判定方法证明全等 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 【答案】(1)①；③；②（或①；②；③） (2)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可； （2）根据选择的条件进行证明． 【详解】（1）解：解法一：选的条件是：①，③，结论是②； 解法二：选的条件是：①，②，结论是③； （2）解：解法一证明： ， ， 在和中， ， ， ． 解法二证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 17．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点E，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若是的中点，试说明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）可证，从而可得，即可求证； （2）可证，，即可求证． 【详解】（1）证明：是中点， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 18．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 【详解】情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 19．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离， 故答案为：； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得，这时只要测出的长即为，的距离， 故答案为：； （2）解：答案不唯一， 选择甲：∵，，， ∴， ∴； 选择乙：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴； 选择丙：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（20-21八年级下·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型一全等三角形与尺规作图 21．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知四边形，，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图——角平分线，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．作的角平分线，交于点于点，则点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 方法：作的角平分线，交于点于点．连接，． 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴． 22．（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． （）根据角平分线的作法作出图形即可； （）由（）知，是的角平分线，，然后证明，所以，则有，从而求证． 【详解】（1）解：如图所示，角平分线即为所求； （2）证明：由（）知，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形． 23．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． (1)在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质． （1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于； （2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证． 【详解】（1）解：如图，点G为所求． （2）解：连接， 由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是中点． 24．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 先作射线，然后作，在射线上作，再作，即可． 【详解】解：如图，即为所求． 25．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】(1)根据尺规作图的要求，作一个角平分线的是先以角的顶点为圆心适当长度为半径画弧，分别交两边于两点，再分别以两点为圆心，适当长度（大于这两点之间线段长度的一半）为半径画弧交于一点，作出射线，即为角平分线； (2)先要根据经验和题意判断线段与的关系，关系有两种一是数量关系，二是位置关系，根据题意不难判断相等且垂直，根据题意易证，易得，再根据角度的换算易得，即可解决此题． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）（2）， 理由如下：延长交于点 平分， ∴， ， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键． 26．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知：在中，，平分交于点． (1)用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】该题主要考查了尺规作角平分线，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）以点C为圆心任意长为半径画弧交于，再以为圆心，大于的长为半径分别画弧交于点K，连接交于点，即为所求． （2）在中，根据，平分交于点，得出，再根据即可解答． （3）在上截取，连接，证明，得出，根据三角形外角的性质得出，再证明，证出，即可得，即可证明． 【详解】（1）解：如图，点，点即为所求． （2）解：在中， ∵，平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二 多次证全等求解或证明结论 27．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，试猜想线段，和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）通过证明，即可解得； （2）在上截取，先证明，得出，进而推出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：线段，和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 28．（19-20八年级上·四川遂宁·期中）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论； （3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交于F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 29．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和中全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 30．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，根据 ，得出，根据 求出结果即可； （2）先证明 ，得出，再根据证明即可． 【详解】（1）解： 分别是 和 的平分线， ， 又 ， ， ． （2）证明： ， ， 由 （1）知 ， ， 平分 ， 在 和 中， ∴ ， ∴， 又 平分， ， 在 和中， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型三 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 31．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．与垂直，由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，证明，得，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】解：，，理由为： ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； ∴， 又， ∴， 则． 32．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 33．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、解决本题的关键是根据直角三角形的两个锐角互余找到角之间的相等关系从而证明三角形全等． （1）根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； （2）仿照（1）可证，根据全等三角形对应边相等可证； （3）由（2）可知，利用梯形的面积公式可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）解： 当 ，时，， 四边形的面积为． 34．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，． 探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请直接写出． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系． ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 题型四 全等三角形的动态问题 35．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则 C．当时，则D为中点 D．当为等腰三角形时， 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角性质，计算各角的度数是解题的关键． A．根据三角形外角的性质即可得到； B．当时，； C．根据，得，根据等腰三角形的性质得到为中点； D．根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴由三角形内角和定理知：，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， 由A知：， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D为中点，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或， 当时，， ∵， ∴， 当时，， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：D． 36．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示：   平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 38．（23-24八年级上·北京丰台·期中）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 39．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线上截取，利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线上截取，用同样的方法证明，再根据，证出为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴与之间的数量关系是． （3）如图，在射线上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 题型五 全等三角形的应用 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 （理想状态：地面水平，垂直于地面，点B、C、D在水平地面上） 测量步骤 （1）在教学楼外水平地面上，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与水平地面所成的角； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B、C、D三点共线）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】教学楼高度为 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：教学楼高度为． 41．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为米． 请你根据以上方案求出两点间的距离（要写出证明过程）． 【答案】两点间的距离为30米 【分析】根据证明得出，即可推出结果．本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ∴， 即米， 答：、两点间的距离为30米． 42．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； (2)猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】(1)和的长相等，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2）解：． 理由：延长交于点，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度是． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据三角形的内角和定理易得，进而得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：由题意知，，，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ，即． 答：旗杆的高度是． 44．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作，，使得，，，连接，．与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，则______度（直接写结果）； (3)如果的面积为10，则的面积是______（直接写结果）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，结合已知条件，即可证明； （2）连接，过点作垂足分别为， 根据全等三角形的性质，设，根据三角形内角和定理得出，证明得出，可得平分，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，证明，，，根据全等三角形的性质得出，即为的中线，，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作垂足分别为， ∵ ∴， 设 ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴, ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴平分 ∴， 故答案为：． （3）如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是边上的高，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中线， ∴ ， 即． 又为的中线 ∴的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质与判定，三角形的中线的性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题意画出辅助线，构建全等三角形． 45．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．    (1)当点在线段上（不与点，点重合），求证：； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值； (3)如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题； （2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题； （3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题． 【详解】（1）证明：，是等腰直角三角形，于． ，， ， ， 在和中， ， ； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）或理由如下： 如图所示：当P在线段上时，过点作交于点，   ，，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 当P在线段的延长线上时，如图，过点作交于点，    同理可得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定（进阶篇） 题型一 添加条件使三角形全等 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）根据下列条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，下列各组条件中，不能判定的是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在和中，，，再添加一个条件就能使，下列条件：①；②；③；④，则可以添加的条件是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 5．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 确定全等三角形的对数 6．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 7．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在四边形中，连接、，直线经过和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 8．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD、CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第200个图形中有全等三角形的对数是 ． 9．（20-21八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，为的角平分线上面一点，连接，； 如图，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，； 如图，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；…，依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 ． 10．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 题型三 网格中确定全等三角形 11．（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 12．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有 个（不包括）． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点， (1)图中格点的面积是_______； (2)按要求画图： ①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形； ③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段． 14．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），请画出与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形．      15．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中为格点三角形．请仅用无刻度直尺按要求作图，不需证明． (1)在图1中画出的一条中线． (2)在图2中，作出与全等的格点三角形，要求所作格点三角形与有一条公共边，且不与重叠； 题型四 灵活选用判定方法证明全等 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 17．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点E，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若是的中点，试说明． 18．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 19．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 20．（20-21八年级下·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 题型一全等三角形与尺规作图 21．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知四边形，，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 22．（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 23．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． (1)在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 24．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 25．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 26．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知：在中，，平分交于点． (1)用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求的度数； (3)求证：． 题型二 多次证全等求解或证明结论 27．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，试猜想线段，和之间存在的数量关系，并说明理由． 28．（19-20八年级上·四川遂宁·期中）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 29．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 30．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 题型三 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 31．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论． 32．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 33．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 34．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，． 探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请直接写出． 题型四 全等三角形的动态问题 35．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则 C．当时，则D为中点 D．当为等腰三角形时， 36．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 38．（23-24八年级上·北京丰台·期中）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    39．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 题型五 全等三角形的应用 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 （理想状态：地面水平，垂直于地面，点B、C、D在水平地面上） 测量步骤 （1）在教学楼外水平地面上，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与水平地面所成的角； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B、C、D三点共线）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 41．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为米． 请你根据以上方案求出两点间的距离（要写出证明过程）． 42．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； (2)猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 43．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度． 44．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作，，使得，，，连接，．与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，则______度（直接写结果）； (3)如果的面积为10，则的面积是______（直接写结果）． 45．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．    (1)当点在线段上（不与点，点重合），求证：； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值； (3)如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$