19.2实数（第1课时有理数的小数形式）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

19.2 第1课时 有理数的小数形式 题型一、有理数的小数形式 1．下列说法正确的是（　　） A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限不循环小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】利用有理数，无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、有理数为有限小数或无限循环小数，故A错误，不符合题意； B、无理数为无限不循环小数，故B正确，符合题意； C、无限不循环小数为无理数，故C错误，不符合题意； D、为无理数，故D错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了实数，实数分为有理数与无理数，熟练掌握有理数及无理数的概念是解答本题的关键． 2．有理数和无理数的区别在于（　　） A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能 C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数 【答案】B 【分析】本题考查有理数与无理数定义的应用，无理数是无限不循环小数，且无限不循环小数不能写成分数的形式，而有理数包括整数和分数，有限小数，无限循环小数，据此对各选项逐一分析即可．掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：A．有理数可以是无限循环小数，故此选项不符合题意； B．有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意； C．有理数和无理数都可以是正数和负数，故此选项不符合题意； D．有理数可以是分数，无理数不能写成分数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．给出的这8个数中：，，，0，，6，，，其中下列说法正确的是（    ） A．有理数有7个 B．和都不能化为分数 C．非正整数有 D．（精确到百分位） 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，近似数．根据有理数的分类，近似数的精确度，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、有理数有，，，0，6，，，共7个，故本选项正确，符合题意； B、和都能化为分数，故本选项错误，不符合题意； C、非正整数有0，，共2个，故本选项错误，不符合题意； D、（精确到千分位），故本选项错误，不符合题意； 故选：A 4．下列语句：①无限小数不能转化为分数；②无理数分为正无理数、零、负无理数；③有限小数是有理数；④无限小数是无理数正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义、有理数的定义及分类逐一判断即可． 【详解】无限循环小数可以转化成分数；0是有理数；无限循环小数是有理数，故①②④均错． 有限小数是有理数，故③对．正确的有1个， 故选B． 【点睛】此题考查的是有理数和无理数的判断，掌握无理数的定义、有理数的定义及分类是解决此题的关键． 题型二、分数化为小数 5．下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用有理数的除法法则计算可知． 【详解】解：A、=0.3…，故本选项错误； B、=0.2，故本选项正确； C、=0．42857…，故本选项错误； D、=0．1…，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的概念理解，在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关键． 6．下列分数，不能化成有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出相应的小数进行判断即可得到答案． 【详解】解：，故A选项能化成有限小数； ，故B选项能化成有限小数； ，故C选项为无限循环小数； ，故D选项能化成有限小数； 故选C． 【点睛】本题考查分数与小数的互化，正确理解有限小数的概念是解题的关键． 7．将分数化成小数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的除法．根据分数化小数的方法，把分数化成小数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数． ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了分数和小数的互化，掌握分数与除法的关系是解题关键． 直接利用有理数的除法运算法则计算的，进而得出答案． 【详解】解：； ； ； ； ； ． 题型三、循环小数 9．把循环小数写成分数形式为： ． 【答案】 【分析】利用换元的方法即可求解，具体过程见详解． 【详解】解：设，① ∴，② 用②①得，， ∴，即， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查无限循环小数化分数的方法，掌握换元法求无限循环小数化分数的方法是解题的关键． 10．循环小数简记为 ，它的小数部分第 2019 位是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，循环小数的表示，根据题意找到循环节即可得到简记的答案，再根据的小数部分每5个数为一个循环，即可得到第2019位的数字． 【详解】解：循环小数简记为， 因为的小数部分每5个数为一个循环，且， 所以小数部分第2019位是4， 故答案为：；4． 11．是 循环小数，用简便方法记作 ，把它保留两位小数是 ． 【答案】 无限 【分析】根据循环小数的概念，记法和四舍五入即可求解． 【详解】解：是无限循环小数，用简便方法记作，把它保留两位小数是， 故答案为：无限，，． 【点睛】本题考查了循环小数的概念，记法和四舍五入，掌握相关知识是解题的关键． 12．是一个（    ） A．有限小数 B．无限循环小数 C．无限不循环小数 D．混合循环小数 【答案】C 【分析】根据无理数的概念选择即可． 【详解】圆周率是一个无限不循环小数． 故选：C． 【点睛】考查圆周率基的概念，解题的关键是无理数的概念． 13．循环小数的小数部分第十六位数字是（　　） A．6 B．8 C．9 【答案】A 【分析】本题考查循环小数循环节的应用，解题关键是确定循环节位数，通过除法运算的商和余数判断对应位置数字． 先确定循环节的位数，再用16除以循环节位数，根据余数判断第十六位数字． 【详解】解：循环小数的循环节是689，循环节的位数是3． ，其中商表示循环节完整出现5次，余数1表示第16位是下一个循环节的第1位数字． ∵循环节689的第1位数字是6， ∴小数部分第十六位数字是6， 故选：A． 题型一、无限小数化成分数 14．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）将代入中计算即可； （2）设，则，两式相减求出的值即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 解得， 即化成分数形式为； （3）解：， ． 故答案为：． 15．小学已经学习了分数化成小数，无限循环小数如何化成分数呢？请看下面例子：将、化成分数的方法如下：；；；；；；根据上面过程，将化成分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先仿照材料求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 【答案】（1），；（2）无限循环小数；（3）无限循环小数如何将其化成分数的形式；（4）；（5）①1；②；③；（6）整数部分为0的无限循环小数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式． （1）根据进行计算即可， （2）根据（1）可得出还有无限循环小数， （3）根据（1）（2）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， （4）根据例题可直接得出， （5）根据（4）的计算方法，设出未知数，进行计算即可， （6）根据（5）的计算过程即可得出归纳结论． 【详解】解：（1）①②， 故答案为：，； （2）我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是无限循环小数， 故答案为：无限循环小数； （3）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， 故答案为：无限循环小数如何将其化成分数的形式； （4）， 故答案为：； （5）①假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ②假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ③假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， 故答案为：1，，； （6）归纳结论：整数部分为0的无限循环小数， 故答案为：整数部分为0的无限循环小数． 17．阅读理解题：无限循环小数与分数． 如果一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.666…的循环节是“6，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数；又如，0.1333…的循环节是“3”，它可以写作，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数． 请将下列分数化成小数：______；______； (2)无限循环小数化成分数，有两种方法： 方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数． 例如：． 请将纯循环小数化为分数：______； 如果小数是混循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯循环小数，然后再化为分数． 例如：． 请将混循环小数化为分数：______． 方法二：应用一元一次方程来解． 例如：将纯循环小数化成分数． 设，则， ， ． 所以． (3)试一试，请你用方法二将化成分数（要求写出过程）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了无理数的相关知识点，正确读懂材料内容是解题关键． （1）将分数化成小数即可； （2）根据材料中给出的两种方法即可求解； （3）设，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， 故答案为：， （2）解：由材料可知：； ； 故答案为：， （3）解：设，则， ， ． 所以． 1．任何一个循环小数都可以化为分数，例如：，，，．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了循环小数化为分数，正确理解题意是解题关键．根据题意，找到循环小数化分数的规律：循环小数化分数，循环节是几位，分母就是几个9，循环节前面有几位，分母后面就有几个0；分子是循环节减去循环节前面的数．据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， ∴，． 故选：B． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 第1课时 有理数的小数形式 题型一、有理数的小数形式 1．下列说法正确的是（　　） A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限不循环小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 2．有理数和无理数的区别在于（　　） A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能 C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数 3．给出的这8个数中：，，，0，，6，，，其中下列说法正确的是（    ） A．有理数有7个 B．和都不能化为分数 C．非正整数有 D．（精确到百分位） 4．下列语句：①无限小数不能转化为分数；②无理数分为正无理数、零、负无理数；③有限小数是有理数；④无限小数是无理数正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二、分数化为小数 5．下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ） A． B． C． D． 6．下列分数，不能化成有限小数的是（    ） A． B． C． D． 7．将分数化成小数为 ． 8．把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数． ，，，，，． 题型三、循环小数 9．把循环小数写成分数形式为： ． 10．循环小数简记为 ，它的小数部分第 2019 位是 ． 11．是 循环小数，用简便方法记作 ，把它保留两位小数是 ． 12．是一个（    ） A．有限小数 B．无限循环小数 C．无限不循环小数 D．混合循环小数 13．循环小数的小数部分第十六位数字是（　　） A．6 B．8 C．9 题型一、无限小数化成分数 14．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 15．小学已经学习了分数化成小数，无限循环小数如何化成分数呢？请看下面例子：将、化成分数的方法如下：；；；；；；根据上面过程，将化成分数为 ． 16．探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 17．阅读理解题：无限循环小数与分数． 如果一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.666…的循环节是“6，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数；又如，0.1333…的循环节是“3”，它可以写作，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数． 请将下列分数化成小数：______；______； (2)无限循环小数化成分数，有两种方法： 方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数． 例如：． 请将纯循环小数化为分数：______； 如果小数是混循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯循环小数，然后再化为分数． 例如：． 请将混循环小数化为分数：______． 方法二：应用一元一次方程来解． 例如：将纯循环小数化成分数． 设，则， ， ． 所以． (3)试一试，请你用方法二将化成分数（要求写出过程）． 1．任何一个循环小数都可以化为分数，例如：，，，．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$