19.2实数（第3课时实数与数轴）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

19.2 第3课时 实数与数轴 题型一、数轴与实数的概念 1．与数轴上的点具有一一对应关系的是（   ） A．实数 B．有理数 C．无理数 D．整数 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，解题关键在理解实数与数轴的关系． 根据数轴上的点都表示一个实数，一个实数都可以用数轴上的点来表示进行回答． 【详解】解∶因为数轴上的点都表示一个实数，一个实数都可以用数轴上的点来表示， 所以实数与数轴上的点具有一一对应关系． 故选∶A． 2．下列说法正确的是（　　） A．无理数与无理数的和为无理数 B．一个数的算术平方根不比这个数大 C．实数可分为有理数和无理数 D．数轴上的点和有理数一一对应 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； D．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．下列说法正确的是（    ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与这个点对应 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数都有相反数 D．是分数，所以是有理数 【答案】C 【分析】根据实数与数轴，倒数，相反数和实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A.实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； B.0没有倒数，原说法错误； C.任何有理数都有相反数，正确； D.是无理数，原说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，倒数，相反数和实数的分类，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4．下列说法正确的是（  ）． A．带根号的数都是无理数； B．绝对值最小的实数是0； C．数轴上的每一个点都表示一个有理数； D．两个无理数的和还是无理数． 【答案】B 【分析】直接利用无理数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、带根号的数不一定是无理数，如，故此选项错误； B、绝对值最小的实数是0，故此选项正确； C、数轴上的每一个点都表示一个实数，故此选项错误； D、两个无理数的和不一定是无理数，如，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数，正确掌握实数的相关性质是解题关键． 5．数轴上，实数对应的点在原点的 侧． 【答案】左 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴实数对应的点在原点的左侧， 故答案为：左． 题型二、数轴上实数的估算 6．如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵ ， ∴， ∴， ∴D点离得近一些， 故选D． 【点睛】本题考查实数在数轴上的位置及无理数的估算，解题的关键是根据根式的性质求出其取值范围． 7．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ．    【答案】 【分析】首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数． 【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是， 能被墨迹覆盖的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，关键在于得出无理数的取值范围． 题型三、数轴上对应的实数点的距离 8．在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，之间用较大的数减去较小的数即可得到答案． 【详解】解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是， 故答案为：． 9．点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为，那么A、B两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据两点间的距离计算方法求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．在数轴上表示的点与表示数的点之间的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式进行解答即可． 【详解】解：在数轴上表示的点与表示数的点之间的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． 题型一、已知数轴上点的距离条件求点表示的数 11．如果实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，那么 ． 【答案】 【分析】根据数轴的特点即可求解． 【详解】∵实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点． 12．如图所示，数轴上表示1，的点分别为，且两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数轴上两点间的距离公式，根据距离相等列方程，求解即可． 【详解】解：设C所表示的数是x， 点C与点B关于点A对称， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，实数与数轴，关键是理解距离的含义，就是用右边的数减去左边的数． 13．数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，以及两点间的距离，根据“点A表示的数是，点B在点A的左边，且，”列式计算，即可得出点B表示的数 【详解】解：∵点A表示的数是，点B在点A的左边，且， ∴点B表示的数：， 故答案为：． 14．已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点． 【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2， ∴点A对应的数是． 当点A对应的数是2时，则数轴上到点A的距离为的点是， 当点A对应的数是时，则数轴上到点A的距离为的点是， ∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个， 故答案为：4． 题型二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 15．已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 【答案】a 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，立方根定义，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号． 利用数轴得出，，，，进而化简各式得出答案． 【详解】解：由题中数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 16．数轴上，已知点A 表示的数是 点B 表示的数是b， 且实数b满足，那么点 B表示的正整数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，绝对值的知识，先求出a的绝对值，即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴点 B表示的正整数是1， 故答案为：1． 题型三、对称问题 17．数轴上点表示的数是，则点关于原点对称的点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数轴上表示互为相反的两个数的特征，解答时涉及相反数、去括号法则． 根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是， 点关于原点对称的点表示的数是． 故答案为：． 18．如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合思想，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据点B和点C关于点A对称，即可求得，再根据两点间距离计算即可． 【详解】解：∵点B和点C关于点A对称， ∴， ∴点C表示的数是：． 故答案为：． 19．如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【详解】解：设点C所对应的实数是x． 则有， 解得，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键． 20．将数轴沿着点P对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点P的“对称点”，如果表示的点和表示点是一组关于点P的“对称点”，那么表示的点关于点P的对称点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴．先根据表示的点和表示 点是一组关于点的“对称点”，计算出点表示的数为，然后设表示的点关于点的对称点所表示的数为，则：，求解即可． 【详解】解：表示的点和表示 点是一组关于点的“对称点”， 点表示为：， 设表示的点关于点的对称点所表示的数为， 则：， 解得：， 故答案为：． 21．在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键； 根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可． 【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x， 又点C和点B关于点A成中心对称， ， 解得：， 故答案为： ． 22．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可． 【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：． 与C重合的点表示的数：． 第二次折叠，折叠点表示的数为：或． 此时与数轴上的点C重合的点表示的数为： 或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 题型四、旋转问题 23．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 24．如图，将正方形置于数轴上，点A表示的数为3，点B表示的数为4，将正方形绕点A旋转，使得点C落在数轴上的点处，则点所表示的实数为 ； 【答案】或 【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为3，点B表示的数为4， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图： 此时表示的数为：； 当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图： 此时表示的数为：； 综上：表示的数为：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，实数与数轴．解题的关键是熟练掌握旋转的性质，用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 25．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴AB＝AE＝， ∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 26．如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，根据题意求出两个正方形的边长，利用两点间的距离，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴表示的数分别为， ∴； 故答案为：． 27．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可． 【详解】正方形的面积为3， ． ． 的坐标为，E在点A的右侧， 的坐标为． 故答案为：． 28．如图，圆的半径为1个单位长度，该圆上仅有点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴的特点．先求出圆的周长为，从沿数轴负方向滚动，运动的路程为圆的周长． 【详解】解：圆的半径为1个单位长度， 此圆的周长， 当圆沿数轴负方向滚动时点表示的数是． 故答案为：． 29．已知边长为的正方形对角线长为．如图，用数轴的单位长度为边做一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点、点，则点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】根据数轴上点的比较的性质即可解题． 【详解】解：边长为的正方形对角线长为． 以的点为圆心，对角线长为半径所画半圆的半径长为， 点与点的距离为， 点为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题关键是得出点与点的距离为． 30．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB=AE=，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为3，且AB=AE， ∴AD=AE=， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键． 1．[新情境]如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据互为相反数的和为0列式，再根据非负数的意义求出c、d的值，然后分情况求平方根即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴； 答：的值为2； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 即且， 解得：，，或，， ①当，时， 所以，无平方根． ②当，，时， ∴， ∴的平方根为， 答：的平方根为． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． 2．[实践探究]阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键． （1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可； （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】（1）解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 第3课时 实数与数轴 题型一、数轴与实数的概念 1．与数轴上的点具有一一对应关系的是（   ） A．实数 B．有理数 C．无理数 D．整数 2．下列说法正确的是（　　） A．无理数与无理数的和为无理数 B．一个数的算术平方根不比这个数大 C．实数可分为有理数和无理数 D．数轴上的点和有理数一一对应 3．下列说法正确的是（    ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与这个点对应 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数都有相反数 D．是分数，所以是有理数 4．下列说法正确的是（  ）． A．带根号的数都是无理数； B．绝对值最小的实数是0； C．数轴上的每一个点都表示一个有理数； D．两个无理数的和还是无理数． 5．数轴上，实数对应的点在原点的 侧． 题型二、数轴上实数的估算 6．如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ．    题型三、数轴上对应的实数点的距离 8．在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 9．点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为，那么A、B两点间的距离为 ． 10．在数轴上表示的点与表示数的点之间的距离是 ． 题型一、已知数轴上点的距离条件求点表示的数 11．如果实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，那么 ． 12．如图所示，数轴上表示1，的点分别为，且两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 13．数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 14．已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有 个． 题型二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 15．已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 16．数轴上，已知点A 表示的数是 点B 表示的数是b， 且实数b满足，那么点 B表示的正整数是 ． 题型三、对称问题 17．数轴上点表示的数是，则点关于原点对称的点表示的数是 ． 18．如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 19．如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 20．将数轴沿着点P对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点P的“对称点”，如果表示的点和表示点是一组关于点P的“对称点”，那么表示的点关于点P的对称点所表示的数是 ． 21．在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 ． 22．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是 ． 题型四、旋转问题 23．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 24．如图，将正方形置于数轴上，点A表示的数为3，点B表示的数为4，将正方形绕点A旋转，使得点C落在数轴上的点处，则点所表示的实数为 ； 25．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．    27．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 28．如图，圆的半径为1个单位长度，该圆上仅有点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 29．已知边长为的正方形对角线长为．如图，用数轴的单位长度为边做一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点、点，则点所表示的数是 ． 30．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为 ． 1．[新情境]如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 2．[实践探究]阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$