专题1.6 平面向量的线性运算（举一反三讲义）数学沪教版九年级上册

专题1.6 平面向量的线性运算（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 向量的数乘的理解】 2 【题型2 向量的数乘及其运算律】 6 【题型3 平行向量定理】 7 【题型4 单位向量】 8 【题型5 平面向量的线性运算】 10 【题型6 用已知向量的线性组合表示向量】 11 【题型7 重心性质在平面向量中的应用】 16 【题型8 平行线分线段成比例在在平面向量中的应用】 22 【题型9 求作平面向量】 26 【题型10 画出平面向量的分向量】 30 知识点1 实数与向量相乘 1. 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向． 如果或，那么． 2. 根据实数与向量相乘的意义，可知∥． 3. 实数与向量相乘满足下列运算律 设m、n为实数，则 （1）； （2）； （3）． 4. 平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 知识点2 向量的线性运算 1. 向量加法、减法、实数与向量相乘以及他们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、等，都是向量的线性运算． 2. 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 3. 如果、是两个不平行的向量，，那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 4. 长度为１的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指他们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积，可知，=． 【题型1 向量的数乘的理解】 【例1】（22-23九年级·上海·假期作业）如图，在平行四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，与相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．    【答案】，与相等的向量有 【分析】根据平行四边形的性质得到相应条件，从而判定四边形，，，是平行四边形，从而得到相等和平行线段，再根据向量的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵E、F、G、H分别是各边中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，同理，， ∴四边形是平行四边形，同理：四边形，，是平行四边形， ∴、、互相平行且相等，、、互相平行且相等，与互相平分于点O， ∴，， 与相等的向量有五个． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定和性质、平面向量等知识，掌握其性质及概念是解决此题的关键． 【变式1-1】已知非零向量，求作、、． 【答案】见解析 【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的倍，据此作图即可. 【详解】解：（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键. 【变式1-2】（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知平行四边形，，点E在边上，平分． (1)写出与相等的向量是 ； (2)求作：（要求保留作图痕迹）； (3)连接，如果，那么＝ ． 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3)8． 【分析】（1）根据向量相等的概念：大小相等，方向相同的两个向量是相等向量，即可得解； （2）根据向量的减法的三角形法则作图即可； （3）由于=，取中点F，根据等腰三角形性质可知，然后证明，则，最后用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 平分， ， ， ， ， ， ， 故与相等的向量是：； 故答案为：． （2）解： =， 如图1所示，向量为所作． （3）解：如图2，取中点F，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 又 ， ， ． 故==8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了向量相等的概念、向量减法三角形法则的作图、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关概念、运算法则、判定与性质是解题的关键． 【题型2 向量的数乘及其运算律】 【例2】如果或者，那么 ． 【答案】 【分析】根据实数与向量的积的定义进行计算求解即可. 【详解】解：∵0与任何向量相乘得零向量；零向量与任何数相乘得零向量， ∴或者，那么 . 故答案是：. 【点睛】本题考查了零向量的运算性质，掌握性质是关键. 【变式2-1】实数与向量相乘满足下列运算律：设、为实数，非零向量、，则 （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】根据实数与向量相乘法则依次计算即可. 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=. 【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键. 【变式2-2】计算： ； ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可． 【详解】解：=， ， == 【点睛】本题考查向量的数乘运算，熟练掌握向量的数乘运算法则是解答的关键． 【变式2-3】如果向量、、满足关系式，那么 ．（用向量、表示） 【答案】 【分析】把看成关于的方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查的是平面向量，转化为关于的方程来解决问题是解题的关键． 【题型3 平行向量定理】 【例3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，下列结论中正确的是（   ） A．与是相等向量 B． C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解题的关键是熟记相等向量与相反向量，以及平行向量的定义． 根据等腰梯形的性质，即可得，然后根据相等向量与相反向量，以及平行向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：A、，但不平行于，在与是不相等的向量，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、与方向相同，但，则与不是相反向量，故本选项不符合题意； D、由知，与是平行向量，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】已知，，试判别向量与是否平行，若平行是同向平行还是反向平行？ 【答案】，与反向平行 【分析】根据，可求得，再根据实数与向量乘积的意义进行判断即可. 【详解】解：∥，与反向平行，理由如下： ∵ ∴， ∴∥，且与反向平行． 【点睛】本题考查向量平行的判断，明确实数与向量乘积的意义是解题的关键. 【变式3-2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知向量或是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？ 答： .（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题主要考查了向量的线性运算．若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不是平行 【变式3-3】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ． 【答案】或/或 【分析】根据向量的方向相同或相反，即可求解． 【详解】解：长度为的倍，且与是平行向量的向量是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况． 【题型4 单位向量】 【例4】如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的定义解答即可． 【详解】解：∵向量为单位向量，向量与向量方向相反， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果两个非零向量与的方向相反，且，那么下列说法错误的是（   ） A．与是平行向量 B．的方向与的方向相同 C．若则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量的定义；设且，则，即可判断A，B选项，根据向量相等，则它们的模相等，即可判断A选项，根据模相等，且方向相反即可判断D选项，据此即可求解． 【详解】解：∵两个非零向量与的方向相反， 设且， ∴， ∴A. 与是平行向量，故该选项正确，不符合题意；     B. 的方向与的方向相同，故该选项不正确，符合题意； C. 若则，故该选项正确，不符合题意；     D. 若，则，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（22-23九年级上·上海普陀·期中）若向量与单位向量的方向相同，且，则 ．（用表示） 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相同，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 【题型5 平面向量的线性运算】 【例5】计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】含有向量的多项式运算，与多项式运算一样 【详解】(1) = +-10- = (2) = 【点睛】本题考查向量的加减运算，在去括号时要注意正负号. 【变式5-1】（2025·上海崇明·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．根据平面向量的加法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-2】（2025·上海崇明·一模）已知直线上三点，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量．画出图形，由题意得到与方向相同，且，即是的中点，根据图形进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴与方向相同，且，即是的中点， ∴，，，， 综上可知，只有正确， 故选：D． 【变式5-3】计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）（2）根据向量的加减运算即可求出结果； 【详解】（1）； （2）= . 【点睛】本题主要考查向量的加减运算，学生需要认真计算即可. 【题型6 用已知向量的线性组合表示向量】 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据平行线的性质，可证明和，得到和，即可得出结论； （2）根据(1)中结论得，则有，进一步求得，由，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，则， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 则． 【变式6-1】（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，点是边的中点，连接交于点．设，， (1)试用、表示向量； (2)试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键． （1）由，，利用三角形法则，可求得，又由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得答案； （2）易得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，继而求得，则可求得答案． 【详解】（1）解： ，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ． 【变式6-2】已知：如图，中，点D是边的中点 (1)设，．先化简，再求作： (2)用、的线性组合表示向量． 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了向量的线性运算： （1）先利用向量的计算法则化简得到原式的结果为，取中点H，连接，则即为所求； （2）首先求出，再根据点D是边的中点，求出 ，根据计算即可解决问题． 【详解】（1）解： ． 如图，取中点H，连接，则即为所求． ∵H为的中点， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【变式6-3】如图，已知：在中，点E、F在对角线上，且． (1)在图中画出向量的差向量并填空： __________； (2)图中与平行的向量是：__________； (3)若，，，用，，表示__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可； （2）根据平行向量的定义判断即可； （3）利用三角形法则求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：； （2）解：图中与平行的向量是或， 故答案为：或； （3）解： ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则． 【题型7 重心性质在平面向量中的应用】 【例7】（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，是的边上的中线，相交于点G，连接，设，． (1)用请用，表示向量和； (2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)， (2)见解析图，． 【分析】（）根据平面向量运算法则即可求出答案； （）根据平面向量的基本定理进行求解即可． 【详解】（1）∵，分别是边，上的中线， ∴是的重心，是的中位线， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ． （2）作图如下：，即为所求； ∴． 【点睛】此题考查了平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，以及向量的线性运算，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）连接并延长交于点，由，可得，由重心的性质可得，进而可求出； （2）利用（1）求出的长，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长交于点． ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点． （1）如果，，用、表示向量； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由G是重心，可得， ， 因为，可得， 进而求出； （2）根据G是重心，求出DG=3，因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可． 【详解】解：（1）∵， ∵点G是Rt△ABC的重心， ∴AD＝AC， ∵，， ∴， ∴ ∴， ． （2）∵G是三角形的重心， ∴BG=2GD，AD=DC， ∵BG=6， ∴GD=3， ∵，， ∴AG=GD=3， ∴， ∵， ∴， ∴DE=， ∴AE=AD+DE= 【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键． 【变式7-3】（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【详解】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【题型8 平行线分线段成比例在在平面向量中的应用】 【例8】如图，是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD点E，BF＝15． （1）求DF的长； （2）如果＝，＝，用、表示向量． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理及推论求解即可； （2）利用三角形法则求出，可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵， ∵AD∥BC ∴（平行线分线段成比例定理的推论）， ∴ ∴DF＝； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∴， ∵，＝ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴CF＝CE， ∴． 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理及推论等知识，解题的关键是掌握三角形法则求平面向量． 【变式8-1】（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，点D、E分别在边、上，如果，且． (1)如果，求的长； (2)设，，求（用向量，表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线截线段成比例求得的长度； （2）利用平面向量的三角形法则解答． 【详解】（1）∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴ （2）∵，， ∴， ∵，且． ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和平面向量的线性运算，掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义是解决问题的关键． 【变式8-2】如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与相交于点，设，，那么在方向上的分向量是 ，在方向上的分向量是 （分别用，表示）．    【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合为中点推出，得到，，所以，进而得到结论． 【详解】解：如图，在方向上的分向量为，在方向上的分向量是，    四边形为平行四边形， ， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ，， ， 在方向上的分向量为，在方向上的分向量是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了向量的线性运算及平行四边形的性质，熟练应用平行线判断成比例线段是解答本题的关键． 【变式8-3】如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，设，，请用向量、表示向量． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易得，则可判定FG∥AB，即可证明平行四边形； （2）由DF∥BC，FG∥AB，根据（1）中线段的关系及向量的解法即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，， ∴=， 即：； 故：= ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【题型9 求作平面向量】 【例9】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，与交于点O，. (1)设 ， ，试用向量、表示向量； (2)先化简，再求作：（直接作在图中） 【答案】(1) (2)，作图见解析 【分析】此题考查了平面向量的知识． （1）由，，可得，根据求解即可； （2）利用平面向量的运算法则求解即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ∴ ； （2）解： ， 如图所示：点E为的中点，延长，使得， ，， ． 【变式9-1】如图，平行四边形中，点是边的中点，联结并延长，与的延长线交于点．设，． (1)写出所有与相等的向量：________； (2)试用向量、表示向量，则________； (3)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结果） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等向量的定义判断寻找； （2）根据向量的和公式计算； （3）根据向量的和公式计算． 【详解】（1）与相等的向量：，， 故答案为：，． （2）， 故答案为：． （3）∵=， ∴如图，联结，即为所求． 【点睛】本题考查了向量即具有大小和方向的量，相等向量即方向相同且么相等的向量，向量的和，正确理解向量的相关概念，三角形法计算公式是解题的关键． 【变式9-2】（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在梯形中，，点是边的中点，．    (1)填空：________，________．（结果用表示）． (2)先化简，并在图中求作向量的结果．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【答案】(1)； (2)；作图见解析 【分析】（1）由在梯形中，，，可求得，然后由点是边的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得； （2）先化简，然后利用平行四边形法则作图求解即可． 【详解】（1）解：在梯形中，，，， ， 点是边的中点， ； 即 ； 故答案为：；； （2）， ， ， 如图所示，取的中点E，过点E作的平行线交于F点，连接， 即，，   ， 四边形是平行四边形， 由平行四边形法则可得，， 故图中即为所求． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在△中，点为边的中点，设， (1)试用向量表示下列向量：________；________； (2)求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法） 【答案】(1)；； (2)详见解析 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，平面向量的运算等知识点， （1）根据三角形法则，由即可求得的值，由点D为边的中点，与即可求得的值； （2）作，且，则； 熟练掌握三角形法则的应用是解决此题的关键． 【详解】（1）由题意知，， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）作图如下：作，且， ∴． 【题型10 画出平面向量的分向量】 【例10】如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝． （1）用向量、分别表示下列向量： ＝　 　，＝　 　，＝　 　； （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 【答案】（1） ，﹣ ， ﹣ ；（2）见解析 【分析】（1）根据AE＝BA即可求出，根据＝+即可求出，先证明EG＝EC，即可求出； （2）如图，过点G作GM∥AB，GN∥BC，根据平行四边形法则即可求得答案． 【详解】解：（1）∵＝，AE＝BA， ∴＝ ， ∵＝+，＝﹣ ，＝， ∴＝﹣ ， ∵CD∥EB， ∴EG：CG＝EB：CD＝4：3， ∴EG：EC＝4：7， ∴＝ ﹣ ， 故答案为： ，﹣ ， ﹣ ； （2）如图，过点G作GM∥AB交BC于M，GN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在，方向上的分向量． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式10-1】（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，． (1)请直接写出向量关于、的分解式，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先根据得到，然后得到，最后根据求解即可； （2）过点E分别作，作向量和，根据向量加法的三角形法则求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴，即 ∴； 故答案为：． （2）向量在、方向上的分向量分别为和． 【点睛】本题考查了向量的加减运算，平行分线段成比例，作向量的分量等知识，灵活运用向量加减法的三角形法则是问题的关键． 【变式10-2】（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰梯形ABCD中，，．．设，． (1)填空： ； ； ；（用、表示） (2)作在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出明确的结论）． 【答案】(1)；；； (2)见详解； 【分析】（1）由向量的线性运算进行计算，即可求出答案； （2）连接，先求出，然后再画出分向量即可． 【详解】（1）解：在等腰梯形ABCD中，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：；；； （2）解：连接，过点C作，交的延长线于点E，如图： 则四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴； ∴和是在、方向上的分向量； 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，平面向量的线性运算等知识，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则． 【变式10-3】如图，已知在△ABC中，，，点D是边BC上的一点，． (1)试用和表示，即=______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示．（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1) (2)见解析，，． 【分析】（1）利用三角形法则求出，再结合已知可得答案； （2）作，，则、即为所求；易证四边形是平行四边形，可得，，然后根据平行线分线段成比例求出，，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，作，，则、即为所求， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了向量的运算，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形法则是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 平面向量的线性运算（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 向量的数乘的理解】 2 【题型2 向量的数乘及其运算律】 3 【题型3 平行向量定理】 3 【题型4 单位向量】 3 【题型5 平面向量的线性运算】 4 【题型6 用已知向量的线性组合表示向量】 4 【题型7 重心性质在平面向量中的应用】 5 【题型8 平行线分线段成比例在在平面向量中的应用】 6 【题型9 求作平面向量】 8 【题型10 画出平面向量的分向量】 9 知识点1 实数与向量相乘 1. 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向． 如果或，那么． 2. 根据实数与向量相乘的意义，可知∥． 3. 实数与向量相乘满足下列运算律 设m、n为实数，则 （1）； （2）； （3）． 4. 平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 知识点2 向量的线性运算 1. 向量加法、减法、实数与向量相乘以及他们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、等，都是向量的线性运算． 2. 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 3. 如果、是两个不平行的向量，，那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 4. 长度为１的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指他们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积，可知，=． 【题型1 向量的数乘的理解】 【例1】（22-23九年级·上海·假期作业）如图，在平行四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，与相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．    【变式1-1】已知非零向量，求作、、． 【变式1-2】（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【变式1-3】（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知平行四边形，，点E在边上，平分． (1)写出与相等的向量是 ； (2)求作：（要求保留作图痕迹）； (3)连接，如果，那么＝ ． 【题型2 向量的数乘及其运算律】 【例2】如果或者，那么 ． 【变式2-1】实数与向量相乘满足下列运算律：设、为实数，非零向量、，则 （1） ． （2） ． （3） ． 【变式2-2】计算： ； ． 【变式2-3】如果向量、、满足关系式，那么 ．（用向量、表示） 【题型3 平行向量定理】 【例3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，下列结论中正确的是（   ） A．与是相等向量 B． C．与是相反向量 D．与是平行向量 【变式3-1】已知，，试判别向量与是否平行，若平行是同向平行还是反向平行？ 【变式3-2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知向量或是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？ 答： .（填“是”或“不是”） 【变式3-3】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ． 【题型4 单位向量】 【例4】如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果两个非零向量与的方向相反，且，那么下列说法错误的是（   ） A．与是平行向量 B．的方向与的方向相同 C．若则 D．若，则 【变式4-2】（22-23九年级上·上海普陀·期中）若向量与单位向量的方向相同，且，则 ．（用表示） 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【题型5 平面向量的线性运算】 【例5】计算：（1）； （2）． 【变式5-1】（2025·上海崇明·一模）计算： 【变式5-2】（2025·上海崇明·一模）已知直线上三点，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】计算： （1）； （2）． 【题型6 用已知向量的线性组合表示向量】 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 【变式6-1】（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，点是边的中点，连接交于点．设，， (1)试用、表示向量； (2)试用、表示向量． 【变式6-2】已知：如图，中，点D是边的中点 (1)设，．先化简，再求作： (2)用、的线性组合表示向量． 【变式6-3】如图，已知：在中，点E、F在对角线上，且． (1)在图中画出向量的差向量并填空： __________； (2)图中与平行的向量是：__________； (3)若，，，用，，表示__________． 【题型7 重心性质在平面向量中的应用】 【例7】（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，是的边上的中线，相交于点G，连接，设，． (1)用请用，表示向量和； (2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 【变式7-2】如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点． （1）如果，，用、表示向量； （2）当，，时，求的长． 【变式7-3】（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【题型8 平行线分线段成比例在在平面向量中的应用】 【例8】如图，是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD点E，BF＝15． （1）求DF的长； （2）如果＝，＝，用、表示向量． 【变式8-1】（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，点D、E分别在边、上，如果，且． (1)如果，求的长； (2)设，，求（用向量，表示）． 【变式8-2】如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与相交于点，设，，那么在方向上的分向量是 ，在方向上的分向量是 （分别用，表示）．    【变式8-3】如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，设，，请用向量、表示向量． 【题型9 求作平面向量】 【例9】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，与交于点O，. (1)设 ， ，试用向量、表示向量； (2)先化简，再求作：（直接作在图中） 【变式9-1】如图，平行四边形中，点是边的中点，联结并延长，与的延长线交于点．设，． (1)写出所有与相等的向量：________； (2)试用向量、表示向量，则________； (3)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结果） 【变式9-2】（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在梯形中，，点是边的中点，．    (1)填空：________，________．（结果用表示）． (2)先化简，并在图中求作向量的结果．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【变式9-3】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在△中，点为边的中点，设， (1)试用向量表示下列向量：________；________； (2)求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法） 【题型10 画出平面向量的分向量】 【例10】如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝． （1）用向量、分别表示下列向量： ＝　 　，＝　 　，＝　 　； （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 【变式10-1】（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，． (1)请直接写出向量关于、的分解式，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论） 【变式10-2】（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰梯形ABCD中，，．．设，． (1)填空： ； ； ；（用、表示） (2)作在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出明确的结论）． 【变式10-3】如图，已知在△ABC中，，，点D是边BC上的一点，． (1)试用和表示，即=______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示．（写出结论，不要求写作法）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$