24.6实数与向量相乘（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.6实数与向量相乘 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、实数与向量相乘的定义 一般地，设 ( k ) 是一个实数，是一个向量，那么 ( k ) 与的乘积是一个向量，记作。 · 当 ( k > 0 ) 时，的方向与的方向相同，长度是的 ( k ) 倍，即。 · 当 ( k = 0 ) 时，是零向量，即。 · 当 ( k < 0 ) 时，的方向与的方向相反，长度是的 ( |k| ) 倍，即。 二、实数与向量相乘的运算律 1. 结合律：设 ( m )、( n ) 为实数，为向量，则。 2. 分配律1（对实数加法的分配律）：设 ( m )、( n ) 为实数，为向量，则。 3. 分配律2（对向量加法的分配律）：设 ( m ) 为实数，、为向量，则。 型 习 练 题 向量的相关概念 1．已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．互为相反向量是平行向量 B．零向量没有方向 C．长度相等的向量叫相等向量 D．平行向量是在同一条直线上的向量 3．下列说法中，错误的是（    ） A．平行向量的方向可能相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向可能相反 D．方向相反的向量是平行向量 4．下列关于向量的说法错误的是（   ） A． B．两个平行向量的方向相同 C．的相反向量可表示为 D． 5．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 实数要向量相乘 6．已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D． 7．已知一个单位向量，设，是非零向量，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 9．已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.6实数与向量相乘 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、实数与向量相乘的定义 一般地，设 ( k ) 是一个实数，是一个向量，那么 ( k ) 与的乘积是一个向量，记作。 · 当 ( k > 0 ) 时，的方向与的方向相同，长度是的 ( k ) 倍，即。 · 当 ( k = 0 ) 时，是零向量，即。 · 当 ( k < 0 ) 时，的方向与的方向相反，长度是的 ( |k| ) 倍，即。 二、实数与向量相乘的运算律 1. 结合律：设 ( m )、( n ) 为实数，为向量，则。 2. 分配律1（对实数加法的分配律）：设 ( m )、( n ) 为实数，为向量，则。 3. 分配律2（对向量加法的分配律）：设 ( m ) 为实数，、为向量，则。 型 习 练 题 向量的相关概念 1．已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了向量的知识．根据向量平行的定义，若两个非零向量方向相同，则它们平行．逐一分析各选项是否满足这一条件即可． 【详解】解：A.若，，根据平行的传递性，与必平行，本选项不符合题意； B.由和可知，与同向，与同向，因此与同向，本选项不符合题意； C.直接表明与方向相同或相反，本选项不符合题意； D.仅说明模长相等，但方向可能不同，无法确定平行，本选项符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．互为相反向量是平行向量 B．零向量没有方向 C．长度相等的向量叫相等向量 D．平行向量是在同一条直线上的向量 【答案】A 【分析】本题考查向量的基本概念．根据题意需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、正确，相反向量是大小相等、方向相反的向量，而平行向量指方向相同或相反的向量，故相反向量属于平行向量； B、错误，零向量方向是任意的，而非没有方向； C、错误，相等向量需满足长度相等且方向相同，仅长度相等无法保证相等； D、错误，平行向量可在不同直线上，只需方向相同或相反，而非必须共线． 故选：A． 3．下列说法中，错误的是（    ） A．平行向量的方向可能相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向可能相反 D．方向相反的向量是平行向量 【答案】B 【详解】本题考查向量的基本概念，涉及平行向量和相反向量的定义，需逐一分析选项，判断其是否符合定义，熟练掌握定义是解此题的关键． 【分析】解：A.、平行向量定义为方向相同或相反的向量，因此方向可能相同，故正确，不符合题意； B、相反向量需满足方向相反且长度相等，仅方向相反但长度不等时，不是相反向量，此说法缺少“长度相等”的条件，故错误，符合题意； C、平行向量包含方向相同或相反的情况，因此方向可能相反，故正确，不符合题意； D、平行向量包含方向相反的情况，因此方向相反的向量属于平行向量，故正确，不符合题意； 故选：B． 4．下列关于向量的说法错误的是（   ） A． B．两个平行向量的方向相同 C．的相反向量可表示为 D． 【答案】B 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量减法、相反向量、平行向量及零向量的性质．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】A. 向量减法可转化为加法：，符合向量运算规则，正确． B. 平行向量方向可以相同或相反．例如，与平行但方向相反，故“方向相同”的说法错误． C. 相反向量的定义为的相反向量是，正确． D. 零向量的模长为0，即，正确． 故选：B． 5．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查向量的基本性质，包括相反向量、模长及向量运算．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、与互为相反向量，故．但选项右侧为标量0，而非零向量，因此错误． B、向量的模长为非负数，而为负数或零，显然（除非模长为0，但一般非零），故错误． C、，则，显然不等于，故错误． D、向量与方向相反、长度相等，满足，故正确． 故选：D． 实数要向量相乘 6．已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D． 【答案】D 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量的平行、模长和标量乘法，根据初中数学中向量的定义，如果两个向量存在标量倍数关系，则它们平行；向量的模长满足倍数关系；但标量乘法中，0乘以向量应等于零向量，而不是标量0．注意区分标量 0 和零向量，在向量运算中，零向量应记为． 【详解】解：∵向量平行的定义是：如果存在实数使得，则， ∴对于选项A和B，由于和都是实数，因此成立，A和B正确； ∵向量的模长公式：如果，则， ∴对于选项C，，则，C正确； ∵标量乘法中，（零向量），而选项D的右边是标量0，不是零向量， ∴ D 不正确． 故选：D． 7．已知一个单位向量，设，是非零向量，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了向量的有关概念，根据向量相等的基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同． 【详解】解：∵单位向量与非零向量，的方向不一定相同， ∴，，不一定成立，故B，C，不正确， 仅当，的方向相同时，，故D不正确 ∵ ∴，故A正确 故选：A． 8．下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．根据零向量和平行向量的知识分析即可． 【详解】解：A．若是单位向量，时，则，故原说法不正确； B．若，故原说法不正确； C．若（为非零向量），则所有非零实数，使，故原说法不正确； D．若，则或，正确． 故选D． 9．已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 10．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $