24.7向量的线性运算（2大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

24.7 向量的线性运算 知识点一 向量的线性运算与线性组合 ★1. 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. ★2. 向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 知识点二 向量的分解 ★1. 向量的分解 设为实数，则（1）;（2） ★2. 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 题型一 向量的线性运算与组合 解题技巧提炼 在求作向量的线性组合时，先通过运算化简，再作图比较方便；减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 1．（23-24九年级下·上海·阶段练习） 2．（2024·上海静安·三模）化简： ． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 4．（2024·上海·三模）如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 （用向量，表示） 5．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    6．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 7．（2024·上海浦东新·三模）如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示） 8．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平行四边形中，点在边上，且，设，，那么 ． 9．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）如图，已知点M、N分别是□ABCD的边CD、BC上的中点． 设，，求向量、关于、的分解式．    10．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    11．（2024·上海静安·二模）在中，点D、E、F分别是边的中点，设，那么向量用向量表示为 ． 12．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么 ．（用向量、表示） 13．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 14．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 15．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 16．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 题型二 向量的分解 解题技巧提炼 在求向量的分解式的时候，主要运用向量的“首尾相连”原则，在探索向量的数量关系的时候，注意向量方向之间的关系. 19．（2023·上海青浦·一模）如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 20．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，，，． (1)求线段的长； (2)设， ①直接写出关于、的分解式：___________； ②连接，作出在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 21．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：如图，平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且．    (1)求证：； (2)设，，请直接写出和关于、的分解式： ； ． 22．（2023·上海黄浦·一模）已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)设，，请直接写出关于、的分解式． 23．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ． (1)直接写出向量 关于 的分解式， ______ (2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论） 24．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，． (1)请直接写出向量关于、的分解式，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论） 25．（21-22九年级上·上海金山·期末）如图，已知：四边形ABCD中，点、分别在边BC、CD上，，设，． 求向量关于、的分解式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.7 向量的线性运算 知识点一 向量的线性运算与线性组合 ★1. 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. ★2. 向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 知识点二 向量的分解 ★1. 向量的分解 设为实数，则（1）;（2） ★2. 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 题型一 向量的线性运算与组合 解题技巧提炼 在求作向量的线性组合时，先通过运算化简，再作图比较方便；减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 1．（23-24九年级下·上海·阶段练习） 【答案】 【分析】本题考查了向量的加减，根据向量的加减运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2024·上海静安·三模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·上海·三模）如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 （用向量，表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正六边形的性质等等，设正六边形的中心为点O，连接，先证明都是等边三角形，进而证明四边形和四边形都是菱形，即可推出，，据此可得答案． 【详解】解：设正六边形的中心为点O，连接， 由正六边形的性质可得， ∴， ∴A、O、D三点共线， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形和四边形都是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性计算，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等，连接，先由正六边形的性质可得，，进而求出，则可证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    6．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可． 【详解】解：连接， ∵中线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 故答案为：． 7．（2024·上海浦东新·三模）如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．本题考查三角形的重心及平面向量，熟知平面向量的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，，，， ， 又∵， ∴ 故答案为∶． 8．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平行四边形中，点在边上，且，设，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟练掌握平面向量三角形运算法则是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，从而得出，再根据推出，再根据三角形运算法则即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）如图，已知点M、N分别是□ABCD的边CD、BC上的中点． 设，，求向量、关于、的分解式．    【答案】； 【分析】根据三角形法则求出即可解决问题． 【详解】解析： ∵M、N分别是□ABCD的边CD、BC上的中点 ∴MN∥DB，MN= ∴ 【点睛】本题考查平面向量、平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 10．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，先证明四边形是平行四边形，根据已知得出，进而证明得出，，进而根据三角形法则，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（2024·上海静安·二模）在中，点D、E、F分别是边的中点，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】首先利用三角形中位线定理求得，则；然后由三角形法则求得．代入求值即可． 【详解】解：在中，点、分别是边、的中点，   是的中位线． ． ． ，， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得． 12．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么 ．（用向量、表示） 【答案】/ 【分析】本题考查平面向量，在中，利用三角形法则求得；然后结合求得；最后在中，再次利用三角形法则求得答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 【答案】 【分析】此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解答本题的关键．首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量． 【详解】解：原式 ． 如图： ，， 则即为所求． 14．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 15．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【详解】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 16．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可． 【详解】（1）解： ，，，， ， ， ， ． （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴． 17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    题型二 向量的分解 解题技巧提炼 在求向量的分解式的时候，主要运用向量的“首尾相连”原则，在探索向量的数量关系的时候，注意向量方向之间的关系. 19．（2023·上海青浦·一模）如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F，得出，，进而得出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【详解】（1）解：过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∴，， 故答案为：，． （2）如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【点睛】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 20．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，，，． (1)求线段的长； (2)设， ①直接写出关于、的分解式：___________； ②连接，作出在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)①，②见解析 【分析】（1）根据据平行线分线段成比例，写出关于、、、的比例式，再求出，问题可解． （2）①先求得，以，为边作平行四边形，根据，问题可解；②以、为边作平行四边形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）①如下图， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴，， 如图所示，以，为边作平行四边形， ∴， ∴， 故答案为： ②如下图，以、为边作平行四边形，则和是分别在、方向上的分向量． 【点睛】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、平行线分线段成比例定理等知识，数形结合是解题的关键． 21．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：如图，平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且．    (1)求证：； (2)设，，请直接写出和关于、的分解式： ； ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）证明，推出，同法得到，进而得到，即可得到； （2）利用三角形法则表示出，再根据与的数量关系，表示出，即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 同理可得， ∴． ∴． （2）由图可知：， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：， 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，以及向量的线性计算，证明三角形相似，掌握三角形法则分解向量，是解题的关键． 22．（2023·上海黄浦·一模）已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)设，，请直接写出关于、的分解式． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，，进而得，，得， 再证得，从而即可得证； (2)由向量的差可知，，再证，从而． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，'， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1） 知，，，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 23．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ． (1)直接写出向量 关于 的分解式， ______ (2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论） 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD=BC，AG=AD，由求解即可； （2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F，作向量、即可． 【详解】（1）解：∵ 是 的中线， 交于点 ， ∴BD=BC，AG=AD， ∵， ∴=， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，、是向量 在向量 和 方向上的分向量． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键． 24．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，． (1)请直接写出向量关于、的分解式，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先根据得到，然后得到，最后根据求解即可； （2）过点E分别作，作向量和，根据向量加法的三角形法则求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴，即 ∴； 故答案为：． （2）向量在、方向上的分向量分别为和． 【点睛】本题考查了向量的加减运算，平行分线段成比例，作向量的分量等知识，灵活运用向量加减法的三角形法则是问题的关键． 25．（21-22九年级上·上海金山·期末）如图，已知：四边形ABCD中，点、分别在边BC、CD上，，设，． 求向量关于、的分解式． 【答案】 【分析】连接BD，先证明，由可得向量关于、的分解式． 【详解】解：连接BD． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $