第03章 一次方程与方程组 章节（20知识点回顾+40题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第03章 一次方程与方程组 章节（20知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质1 题型六 判断是否是一元一次方程 题型七 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型八 解一元一次方程（二）——去括号 题型九 解一元一次方程（三）——去分母 题型十 已知一元一次方程的解，求参数 题型十一 一元一次方程解的关系 题型十二 配套问题(一元一次方程的应用) 题型十三 工程问题(一元一次方程的应用) 题型十四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型十五 方案选择(一元一次方程的应用) 题型十六 数字问题(一元一次方程的应用) 题型十七 几何问题(一元一次方程的应用) 题型十八 动点问题（一元一次方程的应用） 题型十九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型二十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 题型二十一 行程问题(一元一次方程的应用) 题型二十二 日历问题(一元一次方程的应用) 题型二十三 古代问题(一元一次方程的应用) 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 题型二十五 二元一次方程的定义 题型二十六 代入消元法 题型二十七 二元一次方程组的错解复原问题 题型二十八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型二十九 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型三十 行程问题(二元一次方程组的应用) 题型三十一 数字问题(二元一次方程组的应用) 题型三十二 分配问题(二元一次方程组的应用) 题型三十三 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型三十四 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型三十五 几何问题(二元一次方程组的应用) 题型三十六 图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型三十七 古代问题(二元一次方程组的应用) 题型三十八 其他问题(二元一次方程组的应用) 题型三十九 三元一次方程组的定义及解 题型四十 三元一次方程组的应用 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 知识点2．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点3．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点4．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点5．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 知识点6．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点7．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点8．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 知识点9．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点10．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点11．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点12．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点13．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 知识点14．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点15．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点16．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点17．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点18．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点19．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 知识点20．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 题型练习 题型一 判断各式是否是方程 1．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二 列方程 2． 列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 题型三 判断是否是方程的解 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列是方程的解的是（   ） A． B． C．0 D．2 题型四 已知方程的解，求参数 4． 已知关于x的一元一次方程的解是，则a的值为（   ） A． B．11 C． D．7 题型五 等式的性质1 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型六 判断是否是一元一次方程 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型七 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15…的公差为_____，第5项是_____． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：________． (3)是不是等差数列的项？如果是，是第几项？ 题型八 解一元一次方程（二）——去括号 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程： 题型九 解一元一次方程（三）——去分母 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十 已知一元一次方程的解，求参数 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 题型十一 一元一次方程解的关系 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型十二 配套问题(一元一次方程的应用) 12．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 工程问题(一元一次方程的应用) 13．整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做4h，下列四个方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 题型十五 方案选择(一元一次方程的应用) 15．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 题型十六 数字问题(一元一次方程的应用) 16．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的L字框框住了四个数，若将L字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（    ） A．72 B．80 C．112 D．128 题型十七 几何问题(一元一次方程的应用) 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 题型十八 动点问题（一元一次方程的应用） 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 题型十九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 题型二十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 20．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 题型二十一 行程问题(一元一次方程的应用) 21．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 题型二十二 日历问题(一元一次方程的应用) 22．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图是2024年12月的月历表，将工形任意的放入表格数字区，恰能盖住七个数字，则“工”形覆盖的七个数字之和可能是（   ） A．56 B．64 C．105 D．140 题型二十三 古代问题(一元一次方程的应用) 23．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）据《汉书·律历志》记载，铢、两、斤、钧、石是5个称物的质量单位，1斤等于16两，据介绍，十六两秤又名十六金星秤，它是由北斗七星、南斗六星外加福星、禄星、寿星组成的十六两的秤星，意在告诫做买卖的人要诚实守信、不欺不瞒．古人在生活中也用到很多与数学相关的知识，例如三兄弟分家，商量后决定留下10两白银给父母，则兄弟三人每人可分得5两白银．设家里一共有a斤白银（16两为1斤），则可列方程： ． 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 24．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有 个鸡蛋． 题型二十五 二元一次方程的定义 25．（22-23七年级·安徽黄山·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则 题型二十六 代入消元法 26．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 题型二十七 二元一次方程组的错解复原问题 27．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 题型二十八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ． 题型二十九 方案问题(二元一次方程组的应用) 29．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 题型三十 行程问题(二元一次方程组的应用) 30．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 题型三十一 数字问题(二元一次方程组的应用) 31．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫做幻和．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你推算出图的值为（    ） 8 1 6 3 5 7 4 9 2 图①                图② A．5 B．6 C．7 D．8 题型三十二 分配问题(二元一次方程组的应用) 32．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 解答下列问题： （1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完； （2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆? （3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元? 题型三十三 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 33．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 题型三十四 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 34．某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 题型三十五 几何问题(二元一次方程组的应用) 35．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 题型三十六 图表信息题(二元一次方程组的应用) 36．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． （1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 a元/度 二档 b元/度 三档 0.9元/度 题型三十七 古代问题(二元一次方程组的应用) 37．（2024·安徽合肥·一模）我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 题型三十八 其他问题(二元一次方程组的应用) 38．某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨． (1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？ (2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值． 题型三十九 三元一次方程组的定义及解 39．解下列方程组． (1) (2) 题型四十 三元一次方程组的应用 40．（2024七年级上·全国·专题练习）某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 一次方程与方程组 章节（20知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质1 题型六 判断是否是一元一次方程 题型七 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型八 解一元一次方程（二）——去括号 题型九 解一元一次方程（三）——去分母 题型十 已知一元一次方程的解，求参数 题型十一 一元一次方程解的关系 题型十二 配套问题(一元一次方程的应用) 题型十三 工程问题(一元一次方程的应用) 题型十四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型十五 方案选择(一元一次方程的应用) 题型十六 数字问题(一元一次方程的应用) 题型十七 几何问题(一元一次方程的应用) 题型十八 动点问题（一元一次方程的应用） 题型十九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型二十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 题型二十一 行程问题(一元一次方程的应用) 题型二十二 日历问题(一元一次方程的应用) 题型二十三 古代问题(一元一次方程的应用) 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 题型二十五 二元一次方程的定义 题型二十六 代入消元法 题型二十七 二元一次方程组的错解复原问题 题型二十八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型二十九 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型三十 行程问题(二元一次方程组的应用) 题型三十一 数字问题(二元一次方程组的应用) 题型三十二 分配问题(二元一次方程组的应用) 题型三十三 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型三十四 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型三十五 几何问题(二元一次方程组的应用) 题型三十六 图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型三十七 古代问题(二元一次方程组的应用) 题型三十八 其他问题(二元一次方程组的应用) 题型三十九 三元一次方程组的定义及解 题型四十 三元一次方程组的应用 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 知识点2．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点3．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点4．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点5．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 知识点6．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点7．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点8．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 知识点9．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点10．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点11．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点12．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点13．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 知识点14．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点15．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点16．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点17．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点18．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点19．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 知识点20．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 题型练习 题型一 判断各式是否是方程 1．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式是方程，据此可得答案． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的式子是方程， 故选：D． 题型二 列方程 2． 列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 【答案】(1) (2) 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是； （1）x的2倍与与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． 题型三 判断是否是方程的解 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列是方程的解的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解，解题关键是理解使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解．将各选项中的值分别代入方程，观察等式两侧是否相等即可． 【详解】解：A、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项正确； B、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项错误； C、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项错误； D、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项错误； 故选：A． 题型四 已知方程的解，求参数 4． 已知关于x的一元一次方程的解是，则a的值为（   ） A． B．11 C． D．7 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：C． 题型五 等式的性质1 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 题型六 判断是否是一元一次方程 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、 是不等式，不是方程，选项错误； B、 是代数式，不含等号，不是方程，选项错误； C、 中，若，则为关于的一元一次方程；但题目未明确，当时方程不成立，选项错误 D、 是等式，仅含未知数且次数为1，符合一元一次方程的定义，选项正确； 故选：D． 题型七 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15…的公差为_____，第5项是_____． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：________． (3)是不是等差数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)5，25 (2) (3)是，是第2025项 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了规律型-数字变化类，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （1）根据等差数列的概念可进行求解； （2）根据题目所给等量关系，数列中的第n个数为第1个数加上与公差的积； （3）先写出等差数列的通项公式：，解方程得，从而可判断是等差数列的第2025项． 【详解】（1）解：等差数列5，10，15，…的公差d为5，第4项是为20，第5项为25； 故答案为：5，25； （2）解：∵， ， ， …..； ∴； 故答案为； （3）解：是． 理由如下：等差数列的通项公式：， 当时，， 解得， 即是等差数列的第2025项． 题型八 解一元一次方程（二）——去括号 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，根据解一元一次方程的步骤，先去括号，然后移项，合并同类项，最后将x的系数化为即可求解． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并得， 系数化为得． 题型九 解一元一次方程（三）——去分母 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的去分母，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键； 将方程两边同乘各分母的最小公倍数，即可去分母，据此即可解答． 【详解】 方程两边同乘6，去分母，得． 故选：D． 题型十 已知一元一次方程的解，求参数 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】2 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【详解】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 题型十一 一元一次方程解的关系 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 方程的解，即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 题型十二 配套问题(一元一次方程的应用) 12．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确分析题中的数量关系是解答本题的关键，若分配x名同学做长方形，则做圆形的同学有人，并且每节课内可做长方形个，圆形个，要使每节课做的长方形和圆形配套，圆形的数量是长方形数量的2倍，据此列出方程即可． 【详解】若分配x名同学做长方形，则做圆形的同学有人，根据题意得，， 故选：D． 题型十三 工程问题(一元一次方程的应用) 13．整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做4h，下列四个方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8小时的工作=全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程． 【详解】解：设应先安排x人工作， 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 题型十四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 【答案】售价相对进价应提高的增长率为 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克，这批苹果共b千克，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：售价相对进价应提高的增长率为． 题型十五 方案选择(一元一次方程的应用) 15．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 题型十六 数字问题(一元一次方程的应用) 16．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的L字框框住了四个数，若将L字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（    ） A．72 B．80 C．112 D．128 【答案】D 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设字框内处于左上方的数为，则框内该数下方的数依次为，，所以字框内四个数的和为，逐一代入求解即可判断． 【详解】解：设字框内处于左上方的数为，则框内该数下方的数依次为，，所以字框内四个数的和为． 令框住的四个数的和为72，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的四个数的和为80，则，解得，故选项B不符合题意； 令框住的四个数的和为112，则，解得，故选项C不符合题意； 令框住的四个数的和为128，则128，解得．因为19在最右侧，不能处在字框内的左上方，所以框住的四个数的和不可能为128，故选项D符合题意． 故选：D． 题型十七 几何问题(一元一次方程的应用) 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 【答案】270 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设小长方形的长为，根据大长方形的长和宽，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则：小长方形的宽为， 由图可知：， 解得：， ∴； ∴小长方形的面积为：； 故答案为：270 题型十八 动点问题（一元一次方程的应用） 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 【答案】(1)20 (2)，5 (3)或， 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）先表示出t秒时，甲、乙在数轴上表示的数，然后根据两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应数分别为，12， ∴， 故答案为：20； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴点P表示的数为； （3）解：t秒时，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 题型十九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 【答案】编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项，根据编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个列方程求解即可． 【详解】解：设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项． 可得． 解得， 所以． 答：编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项． 题型二十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 20．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 题型二十一 行程问题(一元一次方程的应用) 21．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【答案】45.3千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设列车的速度为每小时s千米，根据列车的长一定，列出方程，求出的值，设列车到达乙车的时间为t秒，根据列出行驶的总路程等于乙车行驶的总路程，列出方程求出，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】解：列车的速度为每小时s千米，由题意可得： ， ， ， ， ； 列车到达乙车的时间为t小时，由题意可得： ， ， ， ， ； （千米）； 答：当列车完全超过乙车时，列车离开A站45.3千米． 题型二十二 日历问题(一元一次方程的应用) 22．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图是2024年12月的月历表，将工形任意的放入表格数字区，恰能盖住七个数字，则“工”形覆盖的七个数字之和可能是（   ） A．56 B．64 C．105 D．140 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设“工”形覆盖的七个数字中最中间的数字为x，则另外六个数分别为，，将七个数相加，可得出七个数字之和为，代入各选项中的值，解之可得出x的值，取x为整数的选项即可． 【详解】解：设“工”形覆盖的七个数字中最中间的数字为x，则另外六个数分别为，， ∴“工”形覆盖的七个数字之和为， A．根据题意得：， 解得：， ∵x不能在第一列， ∴不符合题意，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， ∵x需为整数， ∴不符合题意，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， ∵x不能在第一列， ∴不符合题意，选项C不符合题意； D．根据题意得：， 解得：，选项D符合题意． 故选：D． 题型二十三 古代问题(一元一次方程的应用) 23．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）据《汉书·律历志》记载，铢、两、斤、钧、石是5个称物的质量单位，1斤等于16两，据介绍，十六两秤又名十六金星秤，它是由北斗七星、南斗六星外加福星、禄星、寿星组成的十六两的秤星，意在告诫做买卖的人要诚实守信、不欺不瞒．古人在生活中也用到很多与数学相关的知识，例如三兄弟分家，商量后决定留下10两白银给父母，则兄弟三人每人可分得5两白银．设家里一共有a斤白银（16两为1斤），则可列方程： ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，先统一单位为两，再依题意列方程即可，正确找到等量关系列出方程是解决此题的关键． 【详解】解： 依题意得，， 故答案为： ． 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 24．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有 个鸡蛋． 【答案】42 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设农妇篮子里原来有x个鸡蛋，则第一次卖掉个鸡蛋，第二次卖掉个鸡蛋，根据农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．列出方程求解即可． 【详解】解：设农妇篮子里原来有x个鸡蛋，则第一次卖掉个鸡蛋，第二次卖掉个鸡蛋， 根据题意：， 整理得：， 解得：， 则农妇篮子里原来有个鸡蛋． 故答案为：． 题型二十五 二元一次方程的定义 25．（22-23七年级·安徽黄山·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则 【答案】3 【知识点】二元一次方程的定义、加减消元法 【分析】根据二元一次方程的定义可列出关于m，n的二元一次方程组，解出m，n的值，代入中求值即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解二元一次方程组．根据二元一次方程的定义正确列出关于m，n的二元一次方程组是解题关键． 题型二十六 代入消元法 26．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】此题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键. （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可. 【详解】（1）解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴ （2） 得，， 把代入①得，， 解得 ∴ 题型二十七 二元一次方程组的错解复原问题 27．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，熟练掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．将解代入没有抄错的方程，得到关于的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，将代入方程， 可得，解得． 题型二十八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 题型二十九 方案问题(二元一次方程组的应用) 29．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【答案】(1)1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜 (2)（i）该蔬菜种植基地有3种租车方案．方案1：租用中型车14辆，大型车3辆；方案2：租用中型车9辆，大型车6辆；方案3：租用中型车4辆，大型车9辆．（ii）最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜．根据题意，列出方程，解答即可． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆．根据题意，得，求方程的整数解即可得到答案；（ii）依次计算，比较解答即可． 本题考查了方程组的应用——方案问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． 根据题意，得     解得 答：1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴或或 ∴该蔬菜种植基地有3种租车方案． 方案1：租用中型车14辆，大型车3辆； 方案2：租用中型车9辆，大型车6辆； 方案3：租用中型车4辆，大型车9辆． （ii）当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． ∵， ∴最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆． 题型三十 行程问题(二元一次方程组的应用) 30．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 题型三十一 数字问题(二元一次方程组的应用) 31．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫做幻和．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你推算出图的值为（    ） 8 1 6 3 5 7 4 9 2 图①                图② A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得 ， ∴， 故选：C． 题型三十二 分配问题(二元一次方程组的应用) 32．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 解答下列问题： （1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完； （2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆? （3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元? 【答案】（1）4；（2）需要甲型车8辆，乙型车10辆；（3）需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据三种车型的运载量列出式子，计算乘除法与减法即可得； （2）设需要甲型车辆，乙型车辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （3）设需要甲型车辆，乙型车辆，从而可得需要丙型车辆，再根据“一次运完全部物资”建立关于的等式，结合为正整数进行分析即可得． 【详解】解：（1）， ， ， （辆）， 即安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资－次运完， 故答案为：4； （2）设需要甲型车辆，乙型车辆， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：需要甲型车8辆，乙型车10辆； （3）设需要甲型车辆，乙型车辆，则需要丙型车辆， 由题意得：， 整理得：， 则， 均为正整数， 只能等于5， ，， 此时总运费为（元）， 答：需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用等知识点，正确建立方程组是解题关键． 题型三十三 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 33．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【答案】每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、准确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键； 设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元，列出二元一次方程组求解即可； 【详解】解：（1）设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元，由题意得 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． 题型三十四 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 34．某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】120元和90元 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． 题型三十五 几何问题(二元一次方程组的应用) 35．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 题型三十六 图表信息题(二元一次方程组的应用) 36．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． （1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 a元/度 二档 b元/度 三档 0.9元/度 【答案】（1）a=0.6，b=0.7；（2）415度 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费285.5元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）依题意得：， 解得：． 答：a的值为0.6，b的值为0.7． （2）若一个月用电量为350度，电费为180×0.6+（350-180）×0.7=227（元）， ∵285.5＞227， ∴小明家7月份用电量超过350度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：180×0.6+（350-180）×0.7+（x-350）×0.9=285.5， 解得：x=415． 答：小明家7月份的用电量为415度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型三十七 古代问题(二元一次方程组的应用) 37．（2024·安徽合肥·一模）我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【答案】甲有63只羊，乙有45只羊 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 根据题意，可得， 解得． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 题型三十八 其他问题(二元一次方程组的应用) 38．某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨． (1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？ (2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值． 【答案】(1)甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完 (2) 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，，进行计算即可得； （2）用市场变化后的总销售额减去原计划的总销售额即可得． 【详解】（1）解：设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得， 由②得，③ 将③代入①得： ， 将代入③得：， 解得 则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完． （2）解：根据题意得， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系． 题型三十九 三元一次方程组的定义及解 39．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握求解方法是解此题的关键． （1）利用加减消元法计算即可得解； （2）设，则，，，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，得， ， 由②，得．④ 将④代入①，得， 即， 又， ． 将，代入④，得． 原方程组的解为； （2）解： 设， ，，， 代入②，得， ， ， ， ，，． 原方程组的解为． 题型四十 三元一次方程组的应用 40．（2024七年级上·全国·专题练习）某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【答案】45千米小时 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字、的关系．另外注意隐含条件数字、满足，．假设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．那么这个两位数数值就是，1小时后站牌数值是，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是；因而列方程与，求得与的比例关系．通过数字、满足，，确定出、的取值，代入求得的值． 【详解】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时． 由题意得， 整理得： 由①②得，即 又， 只能取6， 答：汽车的速度是45千米小时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$