第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三单元测试·拔尖卷）高一数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三单元测试·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【解答过程】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 2．（5分）（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【解答过程】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D. 3．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【解答过程】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 4．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【解题思路】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【解答过程】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 6．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【解题思路】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【解答过程】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 7．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 8．（5分）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【解答过程】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【解答过程】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】应用基本不等式及应用常值代换分别计算判断各个选项即可. 【解答过程】对于A：，当且仅当时取“=”，A正确； 对于B： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C： ， 令，，则， ， 当且仅当，即，时取“=”， 的最小值为，C正确； 对于D： 当且仅当时取“=”，D错误； 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一上·山东东营·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【解题思路】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】设，得到，结合不等式的性质，即可求解. 【解答过程】由题意，设，整理得， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【解答过程】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值. 【解答过程】设，则，其中， 因为，则，可得， 由题意可得，， 所以，矩形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，矩形面积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解题思路】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【解答过程】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 16．（15分）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【解答过程】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 17．（15分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 18．（17分）（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三单元测试·拔尖卷） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 5．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 7．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 8．（5分）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（6分）（24-25高一上·山东东营·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围是 . 13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 14．（5分）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 16．（15分）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 17．（15分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 18．（17分）（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$