专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 3 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 5 【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】 7 【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】 9 【题型5 三角函数的周期性问题】 11 【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】 12 【题型7 根据三角函数的单调性求参数】 14 【题型8 三角函数的零点问题】 17 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 19 1、三角函数的图象与性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能画出三角函数的图象 (2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值 (3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质 2023年新课标I卷：第15题，5分 2023年天津卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第7题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分 2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分 2025年全国一卷：第4题，5分 2025年全国二卷：第15题，13分 2025年北京卷：第8题，5分 三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，有时也会在解答题中考查，难度中等或偏下，复习时要加强这方面的训练. 知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略 1．三角函数的定义域的求解思路 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象. 2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)）， 求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【方法技巧与总结】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 【例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的对称性，并代入特值可得解. 【解答过程】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足 ， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D， 故选：C. 【变式1-1】（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【解答过程】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 【变式1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【解答过程】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B; 故选：D． 【变式1-3】（2025·四川·一模）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，得到为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合与在上的正负值，即可求解. 【解答过程】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 【例2】（2024·广东湛江·二模）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果. 【解答过程】因为 ，所以，所以， 故在上的值域为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正切函数的定义域可得. 【解答过程】的定义域满足，解得. 故函数定义域为 故选：B. 【变式2-2】（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦函数的性质，即可得到结果. 【解答过程】若，则， 由正弦函数的性质可知， 当时，函数取得最小值，即， 当时，函数取得最大值，即， 所以. 故选：B. 【变式2-3】（2025·河南·三模）函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据参数范围、对称轴求得，利用正弦型函数性质求最小值即可. 【解答过程】由题意，则，又， 所以，则， 在上，，故， 所以最小值为. 故选：A. 【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】 【例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助余弦函数的单调性与值域的关系计算即可得. 【解答过程】时，， 由函数在区间上的值域为， 故函数在区间上的值域为， 则有，即. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【解答过程】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得 ，解得. 故选：D. 【变式3-2】（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为. 【解答过程】由及可得， 根据其值域为，且， 由正弦函数图象性质可得， 即可得，解得. 故选：B. 【变式3-3】（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【解题思路】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【解答过程】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D. 【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例4】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数为奇函数且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出，再求出函数值. 【解答过程】函数为奇函数且，则，解得， 于是，所以. 故选：A. 【变式4-1】（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【解答过程】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B. 【变式4-2】（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据余弦型函数的奇偶性求解即可. 【解答过程】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 故选：A. 【变式4-3】（2025·山东烟台·三模）若函数图象的一个对称中心为，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据正弦函数的对称性求解即可. 【解答过程】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：D. 【题型5 三角函数的周期性问题】 【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用公式计算函数的最小正周期即可. 【解答过程】由， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 【变式5-1】（2025·重庆·三模）已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意求出的范围，进一步可得周期的最小值，由此即可得解. 【解答过程】当，则，有两个零点，则， 所以，由知，最小正周期的最小值为. 故选：D. 【变式5-2】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. 【解答过程】依题意，的最小正周期. 故选：D. 【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据最小正周期得到方程，求出. 【解答过程】因为的最小正周期为， 所以，得. 故选：D. 【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】 【例6】（2025·广东深圳·二模）奇函数的单调减区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】奇函数条件确定φ的值,化简后利用正弦函数的单调性求得. 【解答过程】由题 为奇函数，需满足 . 代入得：, 利用余弦函数的性质，当且仅当 时等式对所有 成立. . 令. 解得：. 当 时，减区间为 ， 故选: A. 【变式6-1】（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数图象确定周期，从而可求出，再利用最低点代入可求出，再由正弦函数的单调增区间即可求解. 【解答过程】 由图可得：周期，所以， 代入最低点得：， 可得：，解得， 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 故选：A. 【变式6-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用换底公式变形，结合对数函数性质得到范围，再根据正弦函数单调性得到的范围，即可判定. 【解答过程】， ，故， 故选：D. 【变式6-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据求解，利用整体法求解函数的单调区间，即可得解. 【解答过程】由题意可知，，由于， 所以，故，解得，故， 令，解得， 故单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为. 故选：B. 【题型7 根据三角函数的单调性求参数】 【例7】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性可得，得到，进而得到答案. 【解答过程】将代入，得， 所以，得． 因为函数在上为增函数，此时， 所以，解得， 所以当时，， 故选：A. 【变式7-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解题思路】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【解答过程】由，为图象的对称轴，得，则， 由在上单调，得，解得， 当时，，由，得，此时， 当时，，当时取得最大值1， 即在上不单调，不满足题意； 当时，，由，得，此时， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 所以的最大值为9. 故选：B. 【变式7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】，由，求出的范围，然后由在区间上单调递增，列不等式组可求出，南非根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【解答过程】甲：在区间上单调递增， 当时，则， 所以，， 解得，，又，故k只能取0，所以． 又乙：的取值范围是， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B． 【变式7-3】（2025·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，求得 ，过点，即可得到函数的解析式，求得其单调递增区间即可求参. 【解答过程】∵， ∴ ， ∵的图象过点， ∴. ∴， ∴． 由，， 得，， ∴函数的单调增区间为，． 若函数在单调增，则的取值范围是. 故选：C. 【题型8 三角函数的零点问题】 【例8】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解题思路】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【解答过程】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 【变式8-1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由周期公式求出，即可得到函数解析式，再检验是否满足在上单调递减，最后求出函数的零点. 【解答过程】因为函数的最小正周期为，所以， 解得或， 当时，由，可得， 显然在上单调递增，则在上单调递增，不符合题意， 当时，由，可得， 显然在上单调递减，则在上单调递减，符合题意， 所以， 令，解得， 即的零点为，当时为. 故选：D. 【变式8-2】（2025·青海西宁·模拟预测）设函数，若在上有且只有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的图象性质解不等式即得. 【解答过程】因， 由，可得， 因为在上有且只有个零点， 由正弦函数的图象可知，需使，解得. 故选：D. 【变式8-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例9】（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】D 【解题思路】根据已知及正余弦函数的对称性得到、，进而有，再由正弦型函数的性质依次判断各项的正误，即可得答案. 【解答过程】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D. 【变式9-1】（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【解答过程】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)由最小正周期求出,再由对称轴求出即可; (2)令,解不等式即可; (3) 由，得到，进而求出值域. 【解答过程】（1）由题意得． 因为的图象关于直线对称，所以， 得． 又，所以．故． （2）由， 得， 所以的单调递减区间为． （3）由，得， 由正弦函数的图象得， 故在上的值域为． 【变式9-3】（2024·广东佛山·一模）记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴. (1)求； (2)若在区间上的值域为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意由可得，再结合为曲线的对称轴即可确定的值； （2）由题意确定区间的长度小于一个周期，即可确定，分类讨论，讨论函数在何时取最值，结合正弦函数的性质，求出，经验证即可确定其值，从而求得答案. 【解答过程】（1）由题意知为函数的最小正周期，故； 由得，而，故或； 又直线为曲线的对称轴，即， 则，结合，可知； （2）由（1）可知，在区间上的值域为， 可知区间的长度小于一个周期，即， 由，得， ①若，则，即， 则，此时，函数最大值为1，不符合题意； ②若，则，即， 则或， 当时，，函数取不到最大值，不符合题意， 当时，，函数最大值为，不符合题意； ③若，则或， 则或，则， 此时，函数取不到最小值，不符合题意； ④若，则或， 则或，则或或， 当时，，能满足题意，此时； 当时，，函数最大值为1，不符合题意， 当时，由上面分析可知不符合题意， 综合以上可知. 一、单选题 1．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【解答过程】函数的最小正周期， 故选：C． 2．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由余弦函数性质、函数在上单调递增排除BD，再由可得答案. 【解答过程】因为，由余弦函数性质可知， 又，且函数在上单调递增，得. 所以当时，，BD错误. 又时，，得，A错误. 故选：C. 3．（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】由三角函数图象的对称性可得结果. 【解答过程】由题意，可得，且，即， 所以，解得：，， 函数， 所以. 故选：C. 4．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】整体代入由正切函数的单调性可得. 【解答过程】令，解得， 令，可得. 故选：A. 5．（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 【答案】C 【解题思路】利用单调区间求出判断A；由求出判断B；求出在上的零点判断C；求出函数值判断D. 【解答过程】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误； 对于B，由，得或，而， 当时，，在不单调；当时， ，符合题意，，B错误； 对于C，由，得， 解得，当时，或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 6．（2025·辽宁·模拟预测）设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意由正弦函数的零点结合图象可得. 【解答过程】令，得，，所以，， 又，所以，所以，， 所以，， 由题可得方程有2025个根， 即曲线与直线，在区间内共有2025个交点. 当时，， 当时，， 当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需，所以. 故选：D. 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【解答过程】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（   ） A．是偶函数 B．的单调递增区间为 C．是周期为的周期函数 D．的图象关于点对称 【答案】C 【解题思路】化简函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项. 【解答过程】由题知，，且该函数的定义域为， ，∴是偶函数，故结论A正确； ∵的单调递增区间为，值域为， 在区间上单调递增，∴的单调递增区间为，故B选项正确； ∵， ∴不是周期为的周期函数，故C选项错误； ∵， ∴的图象关于点对称，故D正确， 故选：C． 二、多选题 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 【答案】BD 【解题思路】先根据对称中心求出函数解析式，结合选项余弦函数的单调性及值域对称轴逐个验证即可. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以，即，； 因为，所以，即. 令，由可得， 因为，所以函数在区间上不是单调函数，故A不正确； 令，由可得，所以， 所以当，故B正确， ，所以函数的图象关于点对称，直线不是曲线的对称轴，故C不正确； 当时，函数，，； 当时，函数， 所以，函数的图象恒在函数的图象上方，故D正确. 故选：BD. 10．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．在区间上有且仅有2个不同的零点； B．的最小正周期可能是； C．的取值范围是； D．在区间上单调递增 【答案】BD 【解题思路】由已知结合余弦函数的对称性可得的取值范围，从而判断C；再根据余弦函数的零点、周期性、单调性结合的取值范围分别检验即可判断A,B,D． 【解答过程】的对称轴方程为， 已知在上有且仅有3条对称轴， 当时，时，时，时，， 因为上有且仅有3条对称轴，所以，解第一个不等式得，解第二个不等式得，即，故C不正确； 令，则， 当时，时，时，时，， 因为，当接近时，在上可能有3个零点，故A错误； 根据周期公式，当时，在范围内，所以的最小正周期可能是，故B正确； 当时，，因为，则 ， 由于在上单调递减，所以在上单调递增，故D正确. 故选：BD. 11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 【答案】ACD 【解题思路】根据函数的周期性，对称性，奇偶性的定义，和诱导公式，分别判断各选项正误. 【解答过程】已知， 则， 可得，所以为的周期，A正确. 可知， 可得，则B错误，C正确. 可知， 则，可知， 所以是奇函数，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 【答案】 【解题思路】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值. 【解答过程】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 14．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【解答过程】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为：. 四、解答题 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【解答过程】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16．（2024·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求的值， (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】 （1）将代入化简即可得出答案； （2）化简，求的单调递增区间即求的单调递减区间，令，即可得出答案. 【解答过程】（1）. （2） , 求的单调递增区间即求的单调递减区间， 令， 解得：， 所以所求的单调增区间为. 17．（2024·上海·模拟预测）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【解题思路】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 18．（2024·上海普陀·一模）设函数的表达式为，其中. (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期. 【解答过程】（1）当时，， 则， 当时，， 因为有且只有一个使得函数取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围是， （2）因为对任意，成立， 所以的图像关于点对称， 则， 解得，又因为， 所以， 由，，可得， 因为函数在区间上是严格增函数， 令可得，函数在上严格单调递增， 所以，所以， 所以，，， 所以函数的最小正周期. 19．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式； (2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求； （2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围. 【解答过程】（1）依题意可知：，即，所以， 又过点，所以,即， 又，所以，即. （2）因为，且，所以，即， 又当时恰有两个零点，， 依题意：，即， 又在上单调，所以， 依题意;若，即，所以，因，故不合题意； 若，即，所以，因，故； 若，即，显然不等式组无解； 综上的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 3 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 4 【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】 5 【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】 5 【题型5 三角函数的周期性问题】 6 【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】 6 【题型7 根据三角函数的单调性求参数】 7 【题型8 三角函数的零点问题】 7 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 8 1、三角函数的图象与性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能画出三角函数的图象 (2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值 (3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质 2023年新课标I卷：第15题，5分 2023年天津卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第7题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分 2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分 2025年全国一卷：第4题，5分 2025年全国二卷：第15题，13分 2025年北京卷：第8题，5分 三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，有时也会在解答题中考查，难度中等或偏下，复习时要加强这方面的训练. 知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略 1．三角函数的定义域的求解思路 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象. 2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)）， 求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【方法技巧与总结】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 【例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川·一模）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 【例2】（2024·广东湛江·二模）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（2025·河南·三模）函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】 【例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例4】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数为奇函数且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-1】（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·山东烟台·三模）若函数图象的一个对称中心为，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【题型5 三角函数的周期性问题】 【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·重庆·三模）已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】 【例6】（2025·广东深圳·二模）奇函数的单调减区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【题型7 根据三角函数的单调性求参数】 【例7】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式7-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】（2025·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 三角函数的零点问题】 【例8】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式8-1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·青海西宁·模拟预测）设函数，若在上有且只有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例9】（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【变式9-1】（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【变式9-3】（2024·广东佛山·一模）记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴. (1)求； (2)若在区间上的值域为，求的解析式. 一、单选题 1．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 6．（2025·辽宁·模拟预测）设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（   ） A．是偶函数 B．的单调递增区间为 C．是周期为的周期函数 D．的图象关于点对称 二、多选题 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 10．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．在区间上有且仅有2个不同的零点； B．的最小正周期可能是； C．的取值范围是； D．在区间上单调递增 11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 三、填空题 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 14．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 16．（2024·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求的值， (2)求函数的单调递增区间. 17．（2024·上海·模拟预测）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 18．（2024·上海普陀·一模）设函数的表达式为，其中. (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 19．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式； (2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$