专题21.5 一元二次方程的判别式（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题21.5 一元二次方程的判别式 教学目标 1. 能运用一元二次方程的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 2. 根据根的情况，运用一元二次方程的判别式求参数； 3. 掌握一元二次方程的判别式与其他模块知识结合及应用。 教学重难点 1.重点 （1）求一元二次方程的判别式，并学会判断其符号； （2）根据一元二次方程的判别式的符号判断根的情况； （3）依据一元二次方程根的情况判断判别式的符号。 2.难点 （1）一元二次方程的判别式的综合应用； （2）参数符号、代数式符号、一元二次方程判别式的符号综合推理论证。 知识点1 一元二次方程的判别式 1.一元二次方程的判别式 由前面的公式法我们知道，根据b²-4ac的值的符号可以判断一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b²-4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'deltə/”)来表示，记作△=b²-4ac. 2.利用一元二次方程的判别式判断根的情况 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等. 对一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0): ①当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根. 要点：利用一元二次方程的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 【即学即练】 1．把方程化成一般形式是 ，其中 【答案】 65 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且），首先将方程左边按多项式乘多项式的规则进行展开后再进行合并同类项即可求出一般式，然后求出即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： ∴ ∴把方程化成一般形式是，其中． 故答案为：，65． 2．关于x的方程的根的判别式的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 直接计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：21． 3．一元二次方程的根的判别式 0（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式为是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得答案． 【详解】解：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， 故答案为： 4．下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 5．若a，b，c是的三边，则关于x的方程的根的情况是 【答案】没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，即， 由可得：， ∴关于x的方程的根的情况是没有实数根； 故答案为没有实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 知识点2 依据一元二次方程根的情况判断判别式的符号 依据根的情况判断一元二次方程的判别式的符号 上述判断反过来说也是正确的，即 ①当方程有两个不相等的实数根时，△>0; ②当方程有两个相等的实数根时，△=0; ③当方程没有实数根时，△<0. 要点： （1）逆用一元二次方程的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练】 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根可得出，据此得出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：１． 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得，由根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 3．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程无实数根，得到是解题的关键． 根据方程无实数根得到，由此解不等式即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得，， 故选：B ． 4．关于的一元二次方程有实数根，则满足 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 5．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 题型01 求一元二次方程的判别式的值 【典例1】．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】13 【分析】根据△=b2-4ac计算可得答案． 【详解】解：∵a=-1，b=3，c=1， ∴△=32-4×(-1)×1=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键． 【变式1】．关于x的方程的根的判别式的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 直接计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：21． 【变式2】．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m= ． 【答案】 【分析】确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项；再分别代入根的判别式中，得到一个关于m的方程，求出m即可． 【详解】a=1，b=-（m+2），c=m △= ∵△=5 ∴=5 m= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确地找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项是解题的关键，注意确定系数时带上它前面的符号． 【变式3】．方程中， ，则该一元二次方程实数根 ． 【答案】 无 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】方程中， ， ， 则该一元二次方程无实数根， 故答案为：，无． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题关键． 题型02 根据判别式的符号判断根的情况 【典例1】．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根的判别式，计算判定即可. 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解题的关键. 【详解】解：A. ，且，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；     B. 且，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；     C. 且，方程没有的实数根，本选项不符合题意；         D. 且，方程有两个相等的实数根，本选项符合题意；     故选：D. 【变式1】．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式2】．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键，先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：在中， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式3】．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为一般式为 由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 题型03 根据根的情况求参数（Ⅰ） 【典例1】．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，然后选择符合题意的即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴的值可以为， 故选：． 【变式1】．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．36 B．9或 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 【变式2】．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故选：B． 题型04 根据根的情况求参数（Ⅱ） 【典例1】．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次项系数不等于0且根的判别式大于或等于0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【变式1】．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得，由根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【变式2】．关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是 ． 【答案】0 【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：m＜2且m≠1， 又∵m为整数， ∴m的最大值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 题型05 一元二次方程判别式的应用—求代数式的值 【典例1】．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 【变式1】．若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ∴， ∴ ， 故选：B． 题型06 一元二次方程判别式的综合应用 【典例1】．如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键． 由存在两个数使分式没有意义，则对于的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式，存在两个数使分式没有意义， ∴有两个解， ∴，解得：， ∴当时，存在两个实数使原式没有意义． 故答案为． 【变式1】．若a，b，c是的三边，则关于x的方程的根的情况是 【答案】没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，即， 由可得：， ∴关于x的方程的根的情况是没有实数根； 故答案为没有实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式2】．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意．先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 不等式组的解集为 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， 且 解得且， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的值是、、2，共4个， 故答案为：4． 【变式3】．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解及解法，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程或不等式解题是关键，根据根的判别式可得．且，再根据分式方程的正数解可得，且，再进一步可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴．且． 解得．且． 解关于x的方程， 去分母，得， 解得． ∵关于x的方程有正数解， ∴且． 解得，且， ∴a的取值范围为．且．， ∴符合条件的整数a的值是，， 即符合条件的所有整数a的和为． 故选D 题型07 知参求根，知根求参 【典例1】．关于方程中，实数，满足，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据条件，将方程的判别式用表示，化简后判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解：方程的判别式为， 由条件，得，代入中：， 由于，故，即． 因此，方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式1】．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【答案】C 【分析】利用已知条件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac， ∵a（a+b+c）＜0， ∴a2+ab+ac＜0， 即a2+ab＜﹣ac， ∴4a2+4ab＜﹣4ac， ∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＞（2a+b）2， 即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式2】．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 题型08 解答题 【典例1】．已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)另一个根为； (2)k的取值范围是且． 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 【变式1】．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 【变式2】．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等， （1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可； 熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：在关于的一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵ ∴无论取何值，这个方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根， ①当时，即方程两根相等， ∴， 解得：， ∴方程可化为：， 解得：， ∴， ∴三边为长分别为，，， ∵， ∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ②当或者时，即是原方程的一个根， 把代入得：， 解得：， ∴原方程可化为：， 解得：或， 即的两腰长为，底边长为， ∴的周长． 题型09 一元二次方程一般形式根的综合判断 【典例1】．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 【答案】B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、若c＝0，则方程为，即， ∴方程一定有一根为0，正确，不符合题意； B、若，则方程为， ∵， ∴只有当ac≤0时，即，方程有两个实数根，故原说法错误，符合题意； C、将x＝－1代入方程可得：， ∴若，则方程必有一根为－1，正确，不符合题意； D、∵ac＜0， ∴Δ＝b2−4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根． 【变式1】．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． 【变式2】．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 题型10 新定义题 【典例1】．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【变式1】．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 则， 由于，那么， 解得：，故有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故选：C． 一、单选题 1．下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D、 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 2．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意； B、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意； 故选：A． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 5．在一元二次方程中，如果a．c异号，那么这个方程（    ） A．根的情况无法确定 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程有两个相等实数根；当，方程没有实数根，由异号，得到，则，根据的意义即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵为一元二次方程， 而异号， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， 故选：C． 6．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 7．关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据方程没有实数根，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为： 当方程无实数根时，需满足 ，即： 此不等式成立的条件是 与 符号相反， 若 ，则需 ，即 ， 若 ，则需 ，即 ， 则只有D选项满足第一种情况，此时 ，符合题意． 故选： D． 8．已知关于的一元二次方程，其中a，b满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，将已知条件代入方程，整理成标准形式后计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：由得， 代入原方程： 左边：， 右边：． 将方程整理为： ， 化简得：． 判别式． 因， 则方程无实数根， 故选A． 二、填空题 9．不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 【答案】 有两个不相等的实数根 无实数根 有两个相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 无实数根 有两个相等的实数根 有两个实数根 无实数根 有两个实数根 有两个实数根 有两个相等的实数根 无实数根 有两个实数根 无实数根 无实数根 无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，据此计算即可解答． 【详解】解：（1），，则方程有两个不相等的实数根； 故答案为：，有两个不相等的实数根； （2），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （3），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （4），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （5），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （6），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （7），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （8），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （9），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （10），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （11），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （12），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （13），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （14），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （15），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （16），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （17），，则方程无实数根． 故答案为：，无实数根； 10．当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】2 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解∶根据题意得 解得 即当时，关于x的方程有两个相等的实数根． 故答案为：2． 11．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 12．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．对于一元二次方程有实数根，可得，得，即可求解． 【详解】解：在方程中，，，， 则． 因为方程有实数根，所以， 即， 解不等式， 得． 故答案为：． 13．若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 14．如果关于的方程有两个实数根，则最大整数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式求参数，本题属于基础题型． 根据一元二次方程根的情况由判别式得到关于k的不等式，即可求k的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴且． 解得且， ∴最大整数是1． 故答案是：1． 15．已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边，其中，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的周长为 【答案】或或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得或， 当等腰三角形的三条边为，，时，不能构成三角形； 当等腰三角形的三条边为，，时，周长为：； 当等腰三角形的三条边为，，时，周长为：； 当等腰三角形的三条边为，，时，周长为：； 故答案为：或或． 16．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键．先求得方程的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【详解】解：由方程得， 解得，， ∵两个一元二次方程和互为联根方程， ∴，是方程的两个根， 当时，则，即， ∵， ∴此方程无实数根，即不是方程的解； 当时，则，即， 解得，， ∵， ∴， 此时，方程为，解得，， 又方程的一个解为，满足题意， 故a的值为． 故答案为：． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 【答案】8 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，由一元二次方程的，建立k的方程，求出k的解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1， ， ， ∴或， ， ∴k的值为8． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程。则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 20．已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)没有有理根，理由见详解 【分析】（1）①当时，方程为一元一次方程，即可求解；②当时，方程为二元一次方程，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求解即可． （2）①当时，即：，即可求解；②当时，当为整数时，假设方程有有理根，则需满足：是完全平方数，设(为整数)，则有，即可求解． 或或或， 【详解】（1）解：由题意得 ①当时，即：， 方程为一元一次方程：， 此时方程必有实数根； ②当时，即：， 此时方程为一元二次方程， ，，， ， ， ， ， 故不论为何值，方程必有实数根； 综上所述：不论为何值，方程必有实数根． （2）解：当为整数时，方程没有有理根，理由如下： ①当时，即：， 方程为一元一次方程，方程有有理根， 为整数， 此情况不存在； ②当时， 当为整数时，假设方程有有理根， 则需满足：是完全平方数， 设(为整数)，则有 ， 或或或， 解得：或， 此时与为整数矛盾， 当为整数时，方程没有有理根； 综上所述：当为整数时，方程没有有理根． 【点睛】本题考查了根的判别式，含有参数方程的特殊解法，掌握解法是解题的关键． 21．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【答案】(1) (2)0或2或4或6． 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.5 一元二次方程的判别式 教学目标 1. 能运用一元二次方程的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 2. 根据根的情况，运用一元二次方程的判别式求参数； 3. 掌握一元二次方程的判别式与其他模块知识结合及应用。 教学重难点 1.重点 （1）求一元二次方程的判别式，并学会判断其符号； （2）根据一元二次方程的判别式的符号判断根的情况； （3）依据一元二次方程根的情况判断判别式的符号。 2.难点 （1）一元二次方程的判别式的综合应用； （2）参数符号、代数式符号、一元二次方程判别式的符号综合推理论证。 知识点1 一元二次方程的判别式 1.一元二次方程的判别式 由前面的公式法我们知道，根据b²-4ac的值的符号可以判断一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b²-4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'deltə/”)来表示，记作△=b²-4ac. 2.利用一元二次方程的判别式判断根的情况 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等. 对一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0): ①当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根. 要点：利用一元二次方程的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 【即学即练】 1．把方程化成一般形式是 ，其中 2．关于x的方程的根的判别式的值为 ． 3．一元二次方程的根的判别式 0（填“”“”或“”） 4．下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 5．若a，b，c是的三边，则关于x的方程的根的情况是 知识点2 依据一元二次方程根的情况判断判别式的符号 依据根的情况判断一元二次方程的判别式的符号 上述判断反过来说也是正确的，即 ①当方程有两个不相等的实数根时，△>0; ②当方程有两个相等的实数根时，△=0; ③当方程没有实数根时，△<0. 要点： （1）逆用一元二次方程的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练】 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 3．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则满足 ． 5．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型01 求一元二次方程的判别式的值 【典例1】．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【变式1】．关于x的方程的根的判别式的值为 ． 【变式2】．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m= ． 【变式3】．方程中， ，则该一元二次方程实数根 ． 题型02 根据判别式的符号判断根的情况 【典例1】．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【变式2】．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式3】．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型03 根据根的情况求参数（Ⅰ） 【典例1】．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．36 B．9或 C． D．9 【变式2】．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 根据根的情况求参数（Ⅱ） 【典例1】．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【变式1】．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 【变式2】．关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是 ． 题型05 一元二次方程判别式的应用—求代数式的值 【典例1】．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【变式1】．若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型06 一元二次方程判别式的综合应用 【典例1】．如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 【变式1】．若a，b，c是的三边，则关于x的方程的根的情况是 【变式2】．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 【变式3】．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 题型07 知参求根，知根求参 【典例1】．关于方程中，实数，满足，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1】．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【变式2】．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 题型08 解答题 【典例1】．已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式1】．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【变式2】．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 题型09 一元二次方程一般形式根的综合判断 【典例1】．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 【变式1】．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 题型10 新定义题 【典例1】．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【变式1】．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．在一元二次方程中，如果a．c异号，那么这个方程（   ） A．根的情况无法确定 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 6．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 7．关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程，其中a，b满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 二、填空题 9．不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 10．当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 11．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 12．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 13．若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 14．如果关于的方程有两个实数根，则最大整数是 ． 15．已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边，其中，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的周长为 16．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 20．已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 21．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$