第1章 有理数（复习课件）数学华东师大版2024七年级上册

单元复习课件 第1章 有理数 华师大版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握有理数的定义、分类；明确数轴三要素及有理数在数轴上的表示方法；理解相反数、绝对值的几何意义与代数定义；能准确求一个数的相反数和绝对值，同时掌握有理数大小比较的规则。 3.能够将有理数知识与实际生活场景相结合；运用有理数运算解决实际问题；能通过分析题目中的数量关系，选择合适的运算方法解决相关数学问题。 2. 熟练运用有理数加法、减法、乘法、除法的运算法则；能准确进行单级运算和多级混合运算，明确运算顺序，并能灵活运用运算律简化计算，提高运算的准确性和速度。 单元学习目标 有理数 有理数的分类 按定义分 按正、负分 有理数的运算 运算法则 数轴 相反数 运算律 数有理数的有关概念 倒数 科学记数法 绝对值 单元知识图谱 有理数的相关概念 有理数 数轴 相反数 绝对值 倒数 概念：整数和分数统称为有理数 分类 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 规定了原点、正方向、单位长度的直线 只有正负号不同的两个数称互为相反数. 规定 0 的相反数是 0 . 乘积是 1 的两个数互为倒数 一个正数的绝对值是它本身 0 的绝对值是 0 一个负数的绝对值是它的相反数 考点串讲 比较有理数的大小的方法 利用数轴比较 利用法则比较 利用绝对值比较 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数 两个负数，绝对值大的反而小 考点串讲 符号 计算绝对值 加法 同号取 异号取 减法 减去一个数等于 乘法 同号取 异号取 除法 同号取 异号取 除以一个不等于 0 的数等于 相同的符号 绝对值相加 负 绝对值相乘 绝对值大的符号 绝对值相减 正 正 绝对值相除 加上这个数的相反数 乘以这个数的倒数 负 有理数的四则运算 考点串讲 交换律：a+b＝b+a 结合律：(a+b)+c＝a+(b+c) 加法 乘法 运算律 交换律：ab＝ba 结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b+c)＝ab+ac 有理数的运算律 考点串讲 有理数的乘方 乘方运算规律： (1) 正数的任何次幂都是______． (2) 负数的偶次幂是______，负数的奇次幂是______． (3) 0 的任何正整数次幂都是_____． (4) a 的偶次幂是________，即 an≥0 (其中 n 为偶数)． 正数 正数 负数 0 非负数 幂 指数 底数 考点串讲 有理数的混合运算 1．先做乘方，再做乘除，最后做加减； 2．同级运算，按照从左至右的顺序进行； 3．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的． 考点串讲 科学记数法 近似数 （1）按照要求取近似数 （2）由近似数判断精确度 四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位. （1）1≤a＜10； （2）n 为原数的整数位数减去 1. 把大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 考点串讲 1.［2024山西中考］中国空间站位于距离地面约 的太空环境中.由于没有大 气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上 ，其背阳面温 度可低于零下.若零上记作，则零下 记作( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意知，零上记作，则零下记作 .故选B. 考点一、认识有理数 2.［2024江西中考］ 的相反数是( ) A A.5 B. C. D. 【解析】 的相反数是5.故选A. 考点串讲 12 3.［2024辽宁中考］亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/ 其中最低海拔最小的大洲是( ) A A.亚洲 B.欧洲 C.非洲 D.南美洲 【解析】因为 ，所以最低海拔最小的大洲是亚洲.故选A. 考点一、认识有理数 考点串讲 13 4.［2024河南中考］如图，数轴上点 表示的数是( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】根据题图可知点表示的数为 ，故选A. 考点二、数轴 5.［2024江苏苏州中考］用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是 ( ) B A. B.1 C.2 D.3 【解析】因为，，，， ，所以与原点距离 最近的是1对应的点，故选B. 考点串讲 14 6.［2024内蒙古包头中考］若，互为倒数，且满足，则 的值为 ( ) B A. B. C.2 D.4 【解析】因为与互为倒数，所以.因为，所以 ，所以 .故选B. 考点三、有理数的运算 7.［2023青海西宁中考］算式的值最小时， 中填入的运算符号是( ) B A. B.- C.× D. 【解析】因为，，， ，且 ，即最小，所以中填入的运算符号是 .故选B. 考点串讲 15 8.［2024四川资阳中考］若，则 ___. 2 【解析】因为，所以，，所以 ， ，所以 .故答案为2. 思路分析：根据平方和绝对值的非负性求出, 的值，即可求解. 考点三、有理数的运算 9. 开放性试题［2024陕西中考A卷］小华探究“幻方”时，提出 了一个问题：如图，将0，， ，1，2这五个数分别填在五个小正方 形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小 正方形内的数可以是_________________.（写出一个符合题意的数即可） 0（答案不唯一） 【解析】由题意，填写如下图，， ， 满足题意.故答案为0（答案不唯一）. 考点串讲 16 10.［2024甘肃中考］定义一种新运算，规定运算法则为 ，均为整数，且.例：，则 ___. 8 【解析】因为，所以 . 故答案为8. 考点三、有理数的运算 11.［2024广西中考］计算： . 【解】 . 考点串讲 17 12.［2024福建中考］据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数 据显示，2023年，全球 （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件， 中国申请量为69 610件，是申请量最大的来源国．数据69 610用科学记数法表示 为( ) C A. B. C. D. 【解析】 .故选C. 考点四、科学记数法 考点串讲 18 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 类型1 归类法 1.［2025四川绵阳期中］计算： . 【解】 . 2.［2025山东东营质检］ . 【解】原式 . 题型剖析 类型2 凑整法 3.［2025重庆万州区期中］计算： . 【解】 . 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 4.［2024山东烟台牟平区期中］ . 【解】原式 . 题型剖析 20 类型3 逆用乘方分配律 5.计算: . 【解】原式 . 关键点拨：将除法转化为乘法后，把能约分的结合在一起，使计算更简便. 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 6.［2025陕西汉中质检］请选择你觉得最好的方法进行计算： . 【解】原式 . 题型剖析 21 类型4 组合法 7.计算： . 【解】原式 . 8.计算： . 【解】原式 . 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 题型剖析 22 类型5 拆分法 9.用简便方法计算： （1）［2025山东济宁期中］ ; 【解】 （2）［2025河南郑州期中］ . 【解】 . 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 题型剖析 23 类型6 裂项相消法 10.阅读下面的解答过程. 计算： . 解：因为，，， ， ， 所以原式 . 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 题型剖析 24 根据以上解题方法计算： （1）________为正整数 ； （2） ； 【解】 . （3） . 【解】原式 . 题型一、巧用运算规律简化有理数的计算 题型剖析 25 类型7 倒数法 11.［2024广东东莞质检］阅读下列材料，回答问题. 计算： . 解法1：原式 .该解法对吗？ 答：_______________________________________________________. 解法2：先计算原式的倒数， ，故 原式 . 【解】因为除法没有分配律，所以解法1不对.故答案为不对. 题型剖析 26 （1）请你用解法2的方法计算： ； 【解】先计算原式的倒数， （2）计算： ，故原式 . 【解】，所以 ，所以原式 . 题型剖析 27 题型二、有关数轴的探索 类型1 数轴中的折叠问题 1.如图，在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数， 是最小的 正整数，且，满足 . （1）____，___， ___. -2 1 6 【解析】因为是最小的正整数，所以.因为， ，且 ，所以，，所以 ， ，所以， . 题型剖析 （2）若将数轴折叠，使得点与点 重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为___， 点与数___对应的点重合，这时若，在的左侧两点之间的距离为 ， 且，两点经折叠后重合，则点表示的数是_______，点 表示的数是______. 2 3 -1009 1013 关键点拨本题考查了数轴上的点的问题，解题关键在于找到两点之间的位置关系 及两点间的距离. 【解析】将数轴折叠，使得点与点重合，则 ，所以折痕与数轴的交点 所表示的数是2.点到折痕与数轴的交点的距离为1个单位长度，则 ，所 以点与数3对应的点重合.设点表示的数是，则点表示的数是 ，所 以，则，，所以点 表示的数是 ，点 表示的数是1 013. 题型二、有关数轴的探索 题型剖析 29 2.［2024黑龙江哈尔滨调研］如图，折叠纸面上 一数轴，使得表示数5与数 的两点重合，若此时，数 轴上的，两点也重合，且， 两点之间的距离为32， 则点 表示的数为_________. 18或 【解析】因为表示5的点与表示 的点重合，所以折痕与数轴的交点表示的数为2. 因为数轴折叠后，数轴上的,两点也重合，且， 两点之间的距离为32，所以 两个点到折痕与数轴交点的距离均是16，所以点表示的数为 或 .故答案为18或 . 题型二、有关数轴的探索 题型剖析 30 3.［2024浙江金华期中］在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并 把这条线段沿某点对折，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三 条线段的长度之比为 ，则折痕与数轴的交点所表示的数可能是_________. 4或5或6 【解析】因为总的线段长为8，剪后三条线段的长度之比为 ，又因为 ，所以这三条线段的长度分别为2，2，4.如图（1），若剪下 的第1条线段长度为2，第2条线段长度也为2，则折痕与数轴的交点所表示的数为4； 如图（2），若剪下的第1条线段长度为2，第2条线段长度为4，则折痕与数轴的交 点所表示的数为5；如图（3），若剪下的第1条线段长度为4，第2条线段长度为2， 则折痕与数轴的交点所表示的数为6.综上，折痕与数轴的交点所表示的数为4或5 或6，故答案为4或5或6. 图（1） 图（2） 图（3） 题型二、有关数轴的探索 题型剖析 31 类型2 数轴上的循环规律问题 4.［2024广东佛山期末］正六边形 在数轴 上的位置如图，点， 对应的数分别为0和1，若正六 边形（六条边相等） 绕着顶点按顺时针方向在 B A.点 B.点 C.点 D. 点 【解析】正六边形在翻转第一周的过程中，点，，，，， 对应的数分别 为1，2，3，4，5，6，翻转6次为一循环.因为 ，所以数轴 上2 021这个数所对应的点是 点.故选B. 数轴上连续翻转，翻转1次后，点 所对应的数为2，则连续翻转2 021次后，数轴 上2 021这个数所对应的点是 ( ) 题型二、有关数轴的探索 题型剖析 32 5.［2025江苏南京期中，中］在数轴上，点表示的数是，点表示的数是 ， 我们称点是点的“相关点”，已知数轴上点的相关点为，点 的相关点 为，点的相关点为， ，这样依次得到点，，，， ， .若 点在数轴上表示的数是，则点 在数轴上表示的数是___. 2 【解析】点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是，点 在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，点 在数轴 上表示的数是2，点在数轴上表示的数是， ，由此得，2， 依次循环. 因为，所以点 在数轴上表示的数是2.故答案为2. 题型二、有关数轴的探索 思路分析：通过计算依次求出点,,,, 在数轴上表示的数，找到规律， 即可求解. 题型剖析 33 类型3 数轴上数的变化规律问题 6.［2024福建泉州期中］已知，在数轴上对应的数分别用， 表示，且 ，是数轴上的一个动点.动点 从原点开始第1次向右 移动1个单位长度，第2次向左移动3个单位长度，第3次向右移动5个单位长度，第 4次向左移动7个单位长度， ，点在移动过程中，第____次移动与点 重合. 15 题型二、有关数轴的探索 【解析】点第1次移动所得的对应点表示的数为，点 第2次移动所得 的对应点表示的数为，点第3次移动所得的对应点 表示的数为 ，点第4次移动所得的对应点表示的数为，点 第5次移 动所得的对应点表示的数为，点第6次移动所得的对应点 表示的 数为， ，点第次移动所得的对应点表示的数为 .观 察发现：当为奇数时，点对应的数为奇数；当为偶数时，点 对应的数为偶 数.因为，，且 ，所以 ，即，，即,所以点表示的数是15，点 表示的数是，所以当时，点表示的数为15，即点 第15次移动所得 的对应点与点 重合. 题型剖析 34 7.［2024山东日照质检］如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴 上表示原点的位置 点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每 次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到 ，第 3次移动到， ，第次移动到，则三角形 的面积是( ) B A. B.505 C. D.506 题型二、有关数轴的探索 【解析】由题意知，.因为表示的数为2，表示的数为4， 表示的 数为6， ，所以可推导一般性规律：表示的数为，所以 表示的数为 ，所以 ，所以 ，故选B. 题型剖析 35 一、选择题 1.［2025长春期末］若向北运动100米记作 米，则向南运动100米可记作( ) B A.100米 B.米 C.200米 D. 米 2.用四舍五入法，把 精确到千分位是( ) C A.4.21 B.4.214 C.4.215 D.4.2 3.在我国《“十四五”就业促进规划》中明确提出，实现城镇新增就业5 500万人以上， 数据5 500万用科学记数法表示为( ) A A. B. C. D. 针对训练 36 4.小红解题时，将式子 先变成 再计算结果，则小红运用了( ) B A.加法交换律 B.加法交换律和结合律 C.加法结合律 D.无法判断 返回 5.［2025南阳期末］5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示， 那么北京时间20时应是( ) B A.纽约时间5时 B.伦敦时间12时 C.巴黎时间7时 D.汉城时间19时 针对训练 37 6.下列运算中正确的是( ) D A. B. C. D. 7.若，则数，， 的大小顺序是( ) A A. B. C. D. 8.定义新运算“ ”，规定：，则 的运算结果为( ) D A. B. C.5 D.3 针对训练 38 9.如图，将九个数分别填入九个空格内，使每行、每列、 每条对角线上的三个数之和相等，现在，， 分别表 示一个数，则 的值为( ) A A. B. C.0 D.1 10.［2025信阳期末］在人工智能的数据处理中，常涉及不同进制数的转换.如二进制 数 ，可用十进制表示为.那么三进制 数 表示的是十进制中的( ) C A.24 B.30 C.31 D.53 针对训练 39 二、填空题 11.比较大小：___.（填“ ”“ ”或“ ”） 12.数轴上表示有理数和的点到原点的距离相等，则 的值是___. 2 13.若，互为倒数，，互为相反数，则式子 的值为___. 2 14.根据如图所示的程序计算，若输入的值为2，则输出 的值为___； 若输入的值为，则输出 的值为___. 4 4 15.［2025临汾月考］若，，且，那么 的值为 _________. 或 针对训练 40 三、解答题 16.计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 针对训练 41 17.下列有理数：， ，0，，2，，， . （1）在如图①所示的数轴上表示上述各数； 解：， ，将各数表示在数轴 上如图①. （2）用“ ”将上述各数连接起来； 解： . （3）将以上各数填在图②中相应的圈内. 解：如图②. 针对训练 42 18.学校组织同学们进行收玉米大赛，每班派出10名同学参赛，在规定时间内，以收 100根玉米为标准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，下表是六个班收玉 米的实际情况. 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 收玉米的数量/根 （1）2班收玉米的数量是____根. （2）六个班所收玉米的总数量为_____根. 77 611 （3）德育处规定：参加收玉米大赛可为班级量化考核加50分，以收100根玉米为标准， 若没有达到标准数量，少1根扣0.5分；若超出标准数量，多1根加2分.根据此规定，本 次活动六个班量化考核累计增加多少分？ 解： （分）. 答：本次活动六个班量化考核累计增加377.5分. 针对训练 43 19.如图，数轴上两点,对应的数分别是,，其中, 满足 . （1）求,的值，并在数轴上标出, 两点； 解：因为 ， 所以， ， 解得， ， 数轴上标出， 两点如图. （2）数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数 的值. 解： 或7 针对训练 44 有理数的运算 正数 负数 相反意义的量 0 有理数 数轴 有理数的大小比较 相反数 绝对值 加减法 乘除法 乘方 法则 运算律 交换律 结合律 分配律 课堂总结 感谢聆听! $$