14.1 全等三角形及其性质（题型专练）数学沪科版2024八年级上册

14.1 全等三角形及其性质 题型一 辨别全等图形 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（    ）个          A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 题型二 理解全等图形/全等三角形的概念 5．（24-25八年级上·河南许昌·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 6．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列说法中错误的有（   ） ①大小相同的两个图形是全等图形，②三角分别相等的两个三角形是全等三角形，③全等三角形的周长相等，④若，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等 题型三 找全等三角形的对应关系 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示的两个三角形全等，且对应，则（    ） A． B． C．对应 D．对应 10．（2022八年级上·全国·专题练习）如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，在中，是最长的边，在中，是最长的边，和是对应角，且，，． (1)写出对应相等的边及对应相等的角． (2)求线段及线段的长度． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 题型四 分全等图形 13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 14．（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 15．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 题型五 利用全等三角形的性质求点的坐标 17．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是 ． 题型六 利用全等三角形的性质求角度/线段长 19．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在的网格中，点都在格点（网格线的交点）上．若，则点与点 重合．（填“”“”或“”） 21．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，．求的长和的度数． 23．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上． (1)若，，求线段的长． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 题型一 利用全等三角形的性质求周长 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，若的周长为，则的周长为 ． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 5．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 题型二 利用全等三角形的性质求面积 7．（24-25八年级上·湖北·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ． 8．（2025·陕西西安·一模）割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 9．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，过点作，垂足为的面积是11，，则的长是 ． 10．（23-24七年级下·重庆大足·期末）如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    题型三 利用全等图形求正方形网格中的角度之和 11．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 12．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 13．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 题型四 利用全等三角形的性质解决动点问题 16.（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 17．（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，．直线上有一点在点右侧，，过点作射线，点为射线上的一个动点，连接．当与全等时， ．    18．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 5．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1 全等三角形及其性质 题型一 辨别全等图形 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（    ）个          A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的识别，熟记“两个能够完全重合的图形叫做全等形” 是解答本题的关键． 【详解】解：第一个图形中，三个椭圆不全等，不是全等图形，不符合题意； 第二个图形中，上下两部分图形大小形状相同，是全等图形，符合题意； 第三个图形中，三个菱形大小形状相同，是全等图形，符合题意； 第四个图形中，四个圆形大小形状相同，是全等图形，符合题意； 即是由多个全等图形组成的有3个， 故选：C． 3．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 【答案】A 【分析】 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 题型二 理解全等图形/全等三角形的概念 5．（24-25八年级上·河南许昌·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形和全等图形的性质，掌握全等图形和全等图形的性质是解题关键； 利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案； 【详解】解：选项A中，周长相等的两个图形不一定全等，故选项A错误； 选项B中，两个正方形不一定是全等图形，故选项B错误； 选项C中，形状相同的两个图形不一定是全等图形，故选项C错误； 选项D中，两个全等图形的面积一定相等，故选项D正确； 故选：D 6．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列说法中错误的有（   ） ①大小相同的两个图形是全等图形，②三角分别相等的两个三角形是全等三角形，③全等三角形的周长相等，④若，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：①形状相同、大小相等的图形是全等图形，故①错误，符合题意； ②三角分别相等的两个三角形不是全等三角形，故②错误，符合题意； ③全等三角形的周长相等，说法正确，不符合题意； ④∵， ∴， ∴，故④正确，不符合题意； 其中错误的说法有2个， 故选：C． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质、全等图形的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．根据轴对称的性质、全等图形的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等，故选项正确，符合题意； B．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，故选项不正确，不符合题意； C．面积相等的两个图形不一定是全等形，故选项不正确，不符合题意； D．周长相等的两个三角形不一定全等，故选项不正确，不符合题意． 故选：A． 题型三 找全等三角形的对应关系 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示的两个三角形全等，且对应，则（    ） A． B． C．对应 D．对应 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知条件确定，按照全等三角形的性质即可一一判断 【详解】解：∵两个三角形全等，且，对应， ∴， A．∵，∴，该选项错误，故本选项不符合题意； B．∵，∴，该选项正确，故本选项符合题意； C．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意； D．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．（2022八年级上·全国·专题练习）如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角． 【答案】对应边是：，；对应角是，，． 【分析】根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，对应， ∴其余的对应边是：，； 对应角是，，． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，在中，是最长的边，在中，是最长的边，和是对应角，且，，． (1)写出对应相等的边及对应相等的角． (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)，，；，， (2)； 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差关系． （1）根据全等三角的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等解题即可． （2）根据全等三角的性质得出，，根据线段的和差关系即可． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）， ，， 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； （2），对应边是， 对应角是； （3），对应边是， 对应角是； （4），对应边是， 对应角是． 题型四 分全等图形 13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 14．（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： ． 15．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 题型五 利用全等三角形的性质求点的坐标 17．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质、勾股定理等知识，先由全等三角形的性质得到，，再由勾股定理求出，结合点在第四象限，即可得到答案．熟记全等三角形的性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， 则由勾股定理可得， 点在第四象限， ， 故选：D． 18．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出，，即可得出答案． 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出，， 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 题型六 利用全等三角形的性质求角度/线段长 19．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 20．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在的网格中，点都在格点（网格线的交点）上．若，则点与点 重合．（填“”“”或“”） 【答案】F 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点．根据全等三角形的性质得到，然后在网格中与点P对应的位置进行比对即可． 【详解】解：，， ， 如图， 在网格中与点P对应的点为F的位置， 故点P与点F重合， 故答案为：F． 21．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求出，即可求解； （2）根据三角形内角和得， ，又由于，， 即可由求解． 【详解】（1）解：， ， 即：， ， ，， ， ． （2）解：在中：， 在中：， ，， ． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，．求的长和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理、外角的性质等知识，掌握全等三角形的性质，等边对等角是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由可得的长，由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 23．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上． (1)若，，求线段的长． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，求出，最后根据线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判定． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 题型一 利用全等三角形的性质求周长 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形周长相等填空即可． 【详解】解：∵， ∴与形状和大小一致，能重合， ∴它们周长相等， 若的周长为 ，则的周长为 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：当为腰时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为8和， 当为底时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为和5， ∵， ∴的边等于2或5或8， 故选：D． 5．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 【答案】31 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．先根据图形平移的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵三角形沿边方向向右平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：31． 题型二 利用全等三角形的性质求面积 7．（24-25八年级上·湖北·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 8．（2025·陕西西安·一模）割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 【答案】5 【分析】本题主要考查割补法求面积，理解题目意思是解题的关键．连接，由“出入相补”原理得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，由“出入相补”原理得到，， ， ， ， 图中阴影部分的面积．    故答案为：5． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，过点作，垂足为的面积是11，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据的面积是11，，求得边上的高，进而根据得出的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积是11，，设边上的高为， ∴， ∵， ∴，边上的高与边上的高相等， ∴ 故答案为：． 10．（23-24七年级下·重庆大足·期末）如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 题型三 利用全等图形求正方形网格中的角度之和 11．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 14．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型四 利用全等三角形的性质解决动点问题 16.（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 17．（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，．直线上有一点在点右侧，，过点作射线，点为射线上的一个动点，连接．当与全等时， ．    【答案】12 【分析】根据轴对称的性质得到，进而推出，则只存在这种情况，可设，根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点关于点的对称点为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当与全等时，只存在这种情况， ∴， ∵， ∴设， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． 18．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 2．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键． （1）由图可知，求出线段即可； （2）由和全等，可得或两种情况，列出关于t的方程即可求解； （3）由为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解． 【详解】（1）解：设点运动时间为秒， ， 当时，； 当时，； （2）∵， 由题意得， 当时，， 可得∶， 解得∶， 当时，， 可得∶， 解得∶ 综上所述，若和全等，则的值为或； （3），为等腰三角形时， 当时，点P在点A左侧时， ， 当，点P在点A右侧时， ， 当时， ， 当时， 的度数为或或或． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】的长度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【答案】(1)，或； (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）因为边长小于边长，所以取，； 当时，以a，m，n为三角形的三边长， 则边长a取值范围为． ∴． 5．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 分以下三种情况： 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$