第一讲：菱形及其性质（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第一讲：菱形及其性质 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点： 菱形定义的两个要素是①是平行四边形；②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线). 2.菱形的四条边都相等. 3.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 注意： (1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，对称轴的交点就是对称中心，过中心的任意直线可将菱形分成全等的两部分. (2)菱形的面积有两种计算方法，一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. (3)利用菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直及有关计算问题. 考点1：利用菱形的性质求角度 【典型例题】 如图，菱形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角相等，对角线平分一组对角． 根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形 中， ， ， 故选：A． 【变式训练1】 如图，菱形中，过点作交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式训练2】 如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由可知，设，则，根据菱形的性质可得，即，求出x的值，进一步即可求出答案． 【详解】解：， ， 设，则， 四边形是菱形， ，， 即， ， 解得， 即，， ， 故选：D． 考点2：利用菱形的性质求线段长度 【典型例题】 如图，菱形中，对角线相交于O，，则菱形周长为（   ） A．12 B． C． D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：D． 【变式训练1】 已知菱形的面积为8，它的一条对角线长为，则菱形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形面积公式求出另一条对角线的长度，再利用勾股定理计算边长． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式训练2】 如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识．利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长． 【详解】解：如图，设与的交点为O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 考点3：求菱形的面积 【典型例题】 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的对角线互相平分，垂直，可得，，，再由勾股定理求解，最后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 【变式训练1】 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 【变式训练2】 已知菱形的周长为20，一条对角线的长为6，则该菱形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，，，由勾股定理得，由即可求解；掌握菱形是性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设， 四边形是菱形，且周长为20， ，，，， ， ， ， 故选：B． 考点4：利用菱形的性质证明 【典型例题】 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质逐一进行判断即可，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， 故选：C． 【变式训练1】 如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，点为和的交点， ∴，，， 根据现有条件不能得到， 故选：A． 【变式训练2】 如图，四边形是菱形，与交于点O．下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，逐一分析，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由菱形的性质，可知对角线垂直，但不一定相等，故不一定等于； 对角相等，但不一定互补，故不一定等于； 对角线互相平分，即，故不一定等于． 故选：C． 一、单选题 1．如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可知，根据垂直定义可知，根据直角三角形两锐角互余，可得：，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得，利用勾股定理可以求出． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，． 故选：B． 3．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及菱形性质、勾股定理等知识，先由菱形性质得到，，且，再由勾股定理代值求解即可得到菱形的边长，熟记菱形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，对角线和相交于点，，， ，，且， 在中， 由勾股定理可得， 则菱形的边长为5． 故选：A． 5．图，在菱形中，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了菱形的面积公式以及菱形的性质以及勾股定理的运用，得出菱形边长是解题关键．利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出即可求出的长． 【详解】在菱形中，，， ，， ， ， ， 故选：D． 6．如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长． 【详解】解：如图，设与的交点为， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再由勾股定理可得的长，然后根据等积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题 8．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则 【答案】/度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质，由菱形的性质得出，进而可得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义和性质得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在菱形中，若，则度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键，根据菱形的对角线相互垂直且每条对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴， 故答案为： ． 10．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 由是线段的垂直平分线得到，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，≌，得，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于O，则，， 由菱形性质可知，，， ， 是等边三角形，， ， ∴， 由勾股定理可知 ， ， ， ， ，， ， ∵，， ≌， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，菱形中，分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，菱形的性质，根据题意得出，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 13．如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点．若，则点到边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形性质，角平分线性质，根据菱形性质可知平分，再根据角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴平分， ∵E为上的一点，， ∴点E到的距离， 故答案为：． 14．如图，菱形中，对角线与交于点，，则该菱形的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形面积的求法． 根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ， ， ∴菱形的面积为： ； 故答案为：24． 15．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分， ， 又 ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理的应用，等边对等角；根据菱形的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据菱形的性质以及等边对等角得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在菱形中，已知点为边的中点，与对角线交于点，过点作于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； （1）根据菱形的性质证明，根据已知可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的性质可得，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴． 又 ∵， ∴． ∴ ． ∴是等腰三角形 （2）解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ， ∴ ． ∴． ∵， ∴． 18．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理求出x的值，再利用菱形的性质计算出面积即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得： 即， ∴菱形的面积为． 19．如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：菱形   ． 为中点   为的中位线 ． 四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点 菱形        ，             解得：． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第一讲：菱形及其性质 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点： 菱形定义的两个要素是①是平行四边形；②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线). 2.菱形的四条边都相等. 3.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 注意： (1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，对称轴的交点就是对称中心，过中心的任意直线可将菱形分成全等的两部分. (2)菱形的面积有两种计算方法，一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. (3)利用菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直及有关计算问题. 考点1：利用菱形的性质求角度 【典型例题】 如图，菱形中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，菱形中，过点作交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考点2：利用菱形的性质求线段长度 【典型例题】 如图，菱形中，对角线相交于O，，则菱形周长为（   ） A．12 B． C． D．20 【变式训练1】 已知菱形的面积为8，它的一条对角线长为，则菱形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式训练2】 如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 考点3：求菱形的面积 【典型例题】 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【变式训练1】 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【变式训练2】 已知菱形的周长为20，一条对角线的长为6，则该菱形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 考点4：利用菱形的性质证明 【典型例题】 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，四边形是菱形，与交于点O．下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．图，在菱形中，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 6．如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 8．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则 9．如图，在菱形中，若，则度数为 ． 10．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为 ． 11．如图，菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，则 ． 12．如图，菱形中，分别是的中点，若，则的长是 ． 13．如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点．若，则点到边的距离为 ． 14．如图，菱形中，对角线与交于点，，则该菱形的面积是 ． 15．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，求的度数． 17．如图，在菱形中，已知点为边的中点，与对角线交于点，过点作于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 18．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，求菱形的面积． 19．如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$