专题03 矩形的性质（3知识点+8大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题03 矩形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 ：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02 ：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03 ：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【题型1 矩形性质理解】 例题：（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【变式训练】 1．（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 2．（2025·四川眉山·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列图形性质中，矩形不一定具有的是（   ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【题型2 利用矩形的性质求角度】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则 度． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·二模）如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线分别交边于点，点是的中点，连接．若，则的度数为 ． 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 例题：（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在矩形中，，它的周长为，是的中点，连接，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，E是矩形的对角线的中点，F是边的中点，若，，则线段的长为 ． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线相交于点O，且，点E为上一点，．连接，则的长为 ． 【题型4 利用矩形的性质求面积】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 2．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 例题：（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【变式训练】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）把矩形放入平面直角坐标系中，对角线的交点为原点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【题型6 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（2025·江苏宿迁·三模）如图，在中，，，，根据作图痕迹，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，为的中点，连接，则 度． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 3．（2025·山东临沂·二模）矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为 ． 【题型7 矩形与折叠问题】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【变式训练】 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 2．（2025·河南安阳·三模）如图，矩形的顶点，在轴上，的长为6顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，线段的长度为 ． 3．（2025八年级下·江苏南通·专题练习）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【题型8 利用矩形的性质证明】 例题：（2025·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，点为对角线的中点，点是上一点，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 2．（2025·云南楚雄·三模）在矩形中，、分别是、的中点，连接、，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为48，，求四边形的周长． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．32 D． 3．（2025·海南海口·二模）如图，在中，，点分别为的中点．若，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南商丘·二模）如图1，在矩形中，对角线，相交于点，一动点从点出发，沿的边逆时针匀速运动一周后回到点，线段的长与点运动的路程之间的关系如图2，则矩形的面积是（   ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 6．（2025·江西宜春·二模）在中，，，D为的中点，则 ． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ． 8．（2025·福建莆田·二模）如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形，E为中点，F为线段上一点，连接、，若，，．则的长为 ． 三、解答题 11．（2025·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 12．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 14．（2025·山东淄博·一模）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点E在上时，求证：； (2)当为何值时，？不画图形，请直接写出结论． 15．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若，， ①点是边的中点时，求的长； ②当F在线段上，且时，请画出图形，并求出的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 矩形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 ：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02 ：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03 ：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【题型1 矩形性质理解】 例题：（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质；平行四边形的性质．熟练掌握矩形的性质是解题的关键，根据平行四边形和矩形的性质逐项分析即可得出正确选项． 【详解】解：A、矩形的对边相等，平行四边形的对边相等，故本选项不符合； B、矩形的对角相等，平行四边形的对角相等，故本选不项符合； C、矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合； D、平行四边形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，故本选项符合； 故选D． 【变式训练】 1．（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 【答案】B 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． 2．（2025·四川眉山·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列图形性质中，矩形不一定具有的是（   ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：A. 对角线互相平分且相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意； B. 四个角相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意； C. 对角线互相垂直，不是矩形的性质，故该选项符合题意； D. 是轴对称图形，是矩形的性质，故该选项不符合题意； 故选：C； 【题型2 利用矩形的性质求角度】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则 度． 【答案】25 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·二模）如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 【答案】/度 【知识点】角平分线的有关计算、利用矩形的性质求角度 【分析】此题考查了矩形的性质、角平分线的定义等知识，先根据矩形的性质和角平分线求出，再用平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵是矩形的对角线， ∴， ∵平分交于点． ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点，由矩形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线分别交边于点，点是的中点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 例题：（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在矩形中，，它的周长为，是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；根据矩形的性质以及已知条件可得，，，进而求得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，它的周长为， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在中，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，E是矩形的对角线的中点，F是边的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】5 【知识点】根据矩形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长． 【详解】解：∵在矩形中，，，E是矩形的对角线的中点，F是边的中点，，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵点E为的中点 ∴， 故答案为：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线相交于点O，且，点E为上一点，．连接，则的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；分两种情况当点E在上或在上时，进行讨论，再结合矩形的性质和勾股定理即可求出结果． 【详解】解：当点E在上或在上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ①当点E在上时，， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴； ②当点E在上时为， ∴， ∴． 则的长为：或． 故答案为：或． 【题型4 利用矩形的性质求面积】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 【答案】64 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、根据矩形的性质求面积 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 例题：（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）把矩形放入平面直角坐标系中，对角线的交点为原点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了矩形的性质、关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．根据矩形是中心对称图形，得出点与点关于点对称，即可求解． 【详解】解：矩形是中心对称图形，对角线的交点为原点， 点与点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标、坐标系中的旋转 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键； 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、 求矩形在坐标系中的坐标、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【题型6 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（2025·江苏宿迁·三模）如图，在中，，，，根据作图痕迹，则 ． 【答案】/2.5 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、斜边中线定理，熟练掌握勾股定理和斜边中线定理是解题的关键．根据勾股定理求出，由作图可知，点是的中点，再根据直角三角形斜边中线定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 由作图可知，点是的中点， 又， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，为的中点，连接，则 度． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ．， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 3．（2025·山东临沂·二模）矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了平面直角坐标系，矩形的性质，斜边中线的性质．取的中点，连接和，利用直角三角形的性质求得，利用勾股定理求得，得到，当共线时，有最大值，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接和， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【题型7 矩形与折叠问题】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据等角对等边求边长、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，由平行线的性质得，，所以，再根据等角对等边得，所以，即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠得：，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线判定与性质证明、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 2．（2025·河南安阳·三模）如图，矩形的顶点，在轴上，的长为6顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质与翻折问题，涉及到勾股定理、解方程等知识点，解题的关键是勾股定理的灵活应用． 由矩形的翻折性可求得的长，再由勾股定理求得的长，进一步求得的长，设，则，于是在直角中由勾股定理建立方程，可求得x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图当点恰好落在轴， ∵点C的坐标为， 则，，， ∴，即， ∵沿所在直线翻折得到， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， 设，则， 在直角中，．即 解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2025八年级下·江苏南通·专题练习）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；理由见解析；（2）的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． （1）①根据矩形的性质得，，，由折叠得，，即可利用勾股定理求得和，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据矩形得，，由折叠得，，，，即可判定，得，结合等腰三角形的性质得，则； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，，设，，，，，，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 则； ②；理由如下： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）的长为； 如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则，，， 根据折叠的性质得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 则． 【题型8 利用矩形的性质证明】 例题：（2025·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，点为对角线的中点，点是上一点，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定及性质，证明四边形是菱形，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用直接证明三角形全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再利用全等证明，通过对角互相平分且垂直即可判断． 【详解】（1）证明：在矩形中，点为对角线的中点， ， ， ； （2）解：， ， 又， 四边形为平行四边形， ，且平分时， ，， ， ， ， ， 四边形为菱形． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）由得，即可由证，可得； （2）证明是等边三角形，得，，进而得，再由直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 2．（2025·云南楚雄·三模）在矩形中，、分别是、的中点，连接、，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为48，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，易证四边形为平行四边形，得到，，中点，得到，进而得到四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）连接，交于点，根据矩形，平行四边形和菱形的面积公式推出，设，，根据菱形的面积公式得到，根据，推出，利用勾股定理结合完全平方公式的变形，求出的长，进而求出菱形的周长即可． 【详解】（1）证明：连接， 在矩形中，，，，、分别为，中点， ，， ，． 又，， 四边形，为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ； ∵四边形为平行四边形 ，， ∵，为，的中点 ， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为菱形． （2）解：连接，交于点， ∵， ， ∵， ， 设，， ，即：， ∵且， 四边形为平行四边形， ， 又∵， ， ， 四边形为菱形， ， ，，， 在中，， ， ． ； 菱形的周长为． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出答案； （2）由（1）可得，再根据矩形的性质可证，进而得到，结合，可证，即可得出结论； （3）连接交于点F，利用矩形的性质结合勾股定理求出，，再根据四边形是菱形，证明是的中位线，求出，进而求出，最后由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）知四边形是菱形； ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形； ∴垂直平分，即点F是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 2．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．32 D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，根据勾股定理可得，可求得矩形的面积，即得． 【详解】四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴的面积为． 故选：C． 3．（2025·海南海口·二模）如图，在中，，点分别为的中点．若，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在中，，D为的中点，， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2025·河南商丘·二模）如图1，在矩形中，对角线，相交于点，一动点从点出发，沿的边逆时针匀速运动一周后回到点，线段的长与点运动的路程之间的关系如图2，则矩形的面积是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图像以及矩形的面积，观察图像，求出矩形的长和宽的长度是解题的关键．根据矩形的性质结合函数图像，即可得出是等边三角形，可求得的长度，再利用矩形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由函数图像可得，当点P运动到点D时，， 当点P运动到点O时，，则， 当点P运动返回到点A时，，则， ∴是等边三角形， 在矩形中，， ， ∴矩形的面积是． 故选：C． 二、填空题 6．（2025·江西宜春·二模）在中，，，D为的中点，则 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出． 【详解】解：∵在中，，，D为的中点， ∴， 故答案为：5． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度 【分析】分两种情况，当为锐角时，设，则，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当为钝角时，证明，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分两种情况： （1）如图，当为锐角时，   矩形中，， ， 设，则， ， ， ，即， ， ，即； （2）如图，当为钝角时，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又矩形中，， ， 是等边三角形， ， ， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 8．（2025·福建莆田·二模）如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定的性质以，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形性质可知，，又旋转可知，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键；由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，，进而可得整个阴影部分图形的周长，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，，，， ∴整个阴影部分图形的周长 ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形，E为中点，F为线段上一点，连接、，若，，．则的长为 ． 【答案】2或4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据矩形的性质可得，再分两种情况：①当点靠近点时，②当点靠近点时，过点作于点，利用勾股定理求出的长，然后利用线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∵为中点， ∴． ①如图1，当点靠近点时，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点靠近点时，过点作于点， 同理可得：， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为2或4， 故答案为：2或4． 三、解答题 11．（2025·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的判定可得，则可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 12．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，则，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可出四边形是平行四边形，然后结合邻边相等即可得证； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据菱形的性质求出、，根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴． 14．（2025·山东淄博·一模）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点E在上时，求证：； (2)当为何值时，？不画图形，请直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】（1）通过矩形的性质和旋转的性质证明，那么得到，再由，即可等量代换出结果； （2）分点在右侧和左侧，证明为等边三角形，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴，，， 由旋转可得，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当时，点G在的垂直平分线上，分两种情况讨论： ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，   由旋转得， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②当点G在左侧时，同理可得是等边三角形，   ∴， ∴旋转角， 综上所述：当或时，． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 15．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若，， ①点是边的中点时，求的长； ②当F在线段上，且时，请画出图形，并求出的长． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②图见解析，的长为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （2）①利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解； ②当F在线段上，则点在线段的延长线上，当时，设，则，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； （2）解：①∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； ②当F在线段上，则点在线段的延长线上，如图所示：    当时，设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$