第六讲：正方形的判定（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第六讲：正方形的判定 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正方形的判定 正方形常用的判定定理：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形. 知识点02：顺次连接特殊的四边形各边中点得到的四边形的形状 (1)顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要求： 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. (1)若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. (3)若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 考点1：根据正方形的性质及判定求角度 【典型例题】 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【变式训练1】 如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．60° D．不确定 【变式训练2】 如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 考点2：根据正方形的性质及判定求线段长度 【典型例题】 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在中，，，由尺规作图得射线与边交于点，过分别作于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式训练2】 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（    ）. A． B． C． D．5 考点3：根据正方形的性质及判定求面积 【典型例题】 如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式训练1】 如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【变式训练2】 如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 考点4：根据正方形的性质及判定证明 【典型例题】 如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式训练2】 如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 一、单选题 1．如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，，，则的长为（     ） A． B． C．6 D． 2．如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F，连接EF，若平分，则k的值为（    ） A．1 B．3或2 C．1或3 D．1或 3．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 5．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ） A．100 B．144 C．169 D．225 6．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 8．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 10．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．    11．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则 ． 12．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 13．如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 14．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 15．分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为8，，则正方形的面积为 ． 16．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ． 三、解答题 17．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 18．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 19．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 20．如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，作 交边于点，作 于点， (1)长的取值范围是 ； (2)猜想线段与 的数量关系并说明理由； (3)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第六讲：正方形的判定 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正方形的判定 正方形常用的判定定理：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形. 知识点02：顺次连接特殊的四边形各边中点得到的四边形的形状 (1)顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要求： 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. (1)若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. (3)若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 考点1：根据正方形的性质及判定求角度 【典型例题】 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【变式训练1】 如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．60° D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明，然后得到，易得答案. 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质以及矩形的判定．解题的关键是会作辅助线，证明两个三角形全等. 【变式训练2】 如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠AED=70°，求得∠ADE=180°-70°-70°=40°，得到∠EDC=50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论. 【详解】解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键. 考点2：根据正方形的性质及判定求线段长度 【典型例题】 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明四边形是正方形，求解，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，正方形的边长是2，， ∴，，， ， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C 【变式训练1】 如图，在中，，，由尺规作图得射线与边交于点，过分别作于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．先根据角平分线的性质以及已知条件证明四边形是正方形可得，再说明，然后根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理得到，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， 由作图可知：为的角平分线， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式训练2】 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（    ）. A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形和正方形的判定方法成为解题的关键. 如图：延长交于G，则,由正方形的性质可得，易证四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，则 、；再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理可得、,即四边形是正方形，进而得到，最后运用勾股定理即可解答. 【详解】解：如图：延长交于G，则, ∵正方形中，点P在对角线上， ∴, ∵分别为垂足， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴ ,, ∵，， ∴,即四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴,解得, ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴, ∴. 故选A. 考点3：根据正方形的性质及判定求面积 【典型例题】 如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式训练1】 如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 【变式训练2】 如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 考点4：根据正方形的性质及判定证明 【典型例题】 如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是， 故选A． 【变式训练1】 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式训练2】 如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明和全等得，则的周长，再证明和全等得，，则四边形为正方形，从而得，则，即的周长，由此可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图： 四边形为正方形，为对角线， ，，， ， ， 的周长， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 矩形为正方形， ， ， 的周长， ∵， 的周长， 故选：A． 一、单选题 1．如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，，，则的长为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为、，由正方形的性质得到，则由角平分线的性质得到，据此证明四边形是正方形，再利用勾股定理求出，则，可得，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为、， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F，连接EF，若平分，则k的值为（    ） A．1 B．3或2 C．1或3 D．1或 【答案】C 【分析】本题综合考查了正方形的判定与性质、一次函数的解析式求解、全等三角形的综合问题、勾股定理等知识点，根据题意可得四边形是正方形．分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形是正方形， ∴， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴； 故选：C． 3．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 4．如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作，垂足为，延长交于点E，易证，根据正方形的性质可证，得到，由，利用勾股定理得出，再根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为，延长交于点E， ，， ， 已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 正方形面积是， 故选：D． 5．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ） A．100 B．144 C．169 D．225 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，然后根据旋转的性质可得，从而可得，最后根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可得． 【详解】解：四边形为矩形，， ， 分别为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 又绕点顺时针旋转， ， ， 平行四边形为正方形， 四边形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 6．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． 7．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误，符合题意； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A正确，不符合题意； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B正确，不符合题意； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 8．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的判定与性质，由题意得，四边形是正方形，即可求解； 【详解】解：如图所示： 可得：， ， ∴，四边形是正方形， ∴， ∴ 故答案为： 10．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则 ． 【答案】64° 【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， ∴∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC， ∵CE=CF，∠ECF=90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴∠EFC=45°， 则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°， ∴∠BEC＝64°， 故答案为：64°. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 12．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 13．如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 14．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 15．分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为8，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合，，易证，得到，再证明，推出，求出，易证，推出，证明四边形是正方形，求出，进而求出正方形的面积为9，再根据正方形的性质证明，得到面积都为8，即可解答． 【详解】解：分别延长交于点 ∵正方形中，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴面积都为8， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 16．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ． 【答案】2 【分析】根据角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定与性质可得，，根据正方形的判定与性质可得，设，，，，再根据，即，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵点O为的三条角平分线的交点，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，，，， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，设未知数，并用未知数表示各边是解题的关键． 三、解答题 17．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； （2）先求出，，在中，由勾股定理得到，在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又， ， ， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知， 在中，，，，则由勾股定理得， 在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、互余、直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 18．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 19．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形； （2）延长交于点H，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形． （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，． 20．如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，作 交边于点，作 于点， (1)长的取值范围是 ； (2)猜想线段与 的数量关系并说明理由； (3)求的长． 【答案】(1) (2)， 理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接交于，由勾股定理得，，由点在边上，，可知点在线段上，进而可得的取值范围； （2）如图2，作于点M，于点N，由四边形是正方形，则，平分，，可证四边形是正方形，，证明，进而结论得证； （3）如图3，过作于点H，则为等腰直角三角形的中线，同（2）可得，证明，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接交于， ∵正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点在边上，， ∴点在线段上， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，作于点M，于点N， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图3，过作于点H，则为等腰直角三角形的中线， 同（2）可得， 在和中， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$