第04讲 认识一元二次方程（知识清单+7大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 认识一元二次方程（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 判断是否是一元二次方程的解 题型六 由一元二次方程的解求参数 题型七 一元二次方程的解的估算 知识清单 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故不符合题意； D、该方程含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义可得，即，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．按照定义即可找到常数项． 【详解】解：已知一元二次方程，则其常数项为． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 【题型三】判断是否是一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西玉林·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 【题型四】由一元二次方程的定义求参数 【例4】（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西玉林·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 【题型五】判断是否是一元二次方程的解 【例5】（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，可得，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，即为一元二次方程，据此进行作答即可． 【详解】解：∵两个根分别是和2的关于x的一元二次方程， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型六】由一元二次方程的解求参数 【例6】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入法求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）若是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】把代入方程把问题转化为关于a的方程求解． 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）若是方程 的根，则代数式 的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义，由是方程的根，将代入方程得到关于的等式，代入所求式子即可求出其值． 【详解】解：∵是方程的一个根， 将代入方程得：， ∴， ∴． 故答案为：2031． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【题型七】一元二次方程的解的估算 【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∵原方程为， ∴一元二次方程的一个解在范围内， ∴一元二次方程的一个近似解可以是， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， ∴方程的其中一个解的整数部分是， 故选：． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2） 通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 好题必刷 一、单选题 1．下列方程是不完全的一元二次方程的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化为一元二次方程的一般形式，再根据不完全一元二次方程的定义即可作出选择． 【详解】A．变形为2x2﹣x﹣3=0，不是不完全一元二次方程； B．变形为5x2﹣x+7=0，不是不完全一元二次方程； C．变形为3x2-2x﹣1=0，不是不完全一元二次方程； D．x2﹣3（x+2）（x﹣2）=0变形为﹣2x2+12=0，是不完全一元二次方程． 故选D． 【点睛】本题考查了不完全一元二次方程的定义：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，b、c至少有一个是零的方程叫做不完全一元二次方程． 2．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（　　） A．﹣5 B．5 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题． 【详解】解：∵x（x+5）＝0 ∴x2+5x＝0， ∴方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0， 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c＝0（a≠0）这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式． 3．方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．根据一元二次方程解的定义列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 故选D． 4．若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是(  ) A．6 B．5 C．2 D．-6 【答案】A 【详解】解：将x=2代入x2-mx+8=0可得： 4-2m+8=0， 解得：m=6， 故选：A． 5．已知、、分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于（　　） A．1 B． C．1或2 D．1或 【答案】C 【分析】分当或时，两种情况进行讨论，再将的值代入方程计算即可． 【详解】解：因为、、分别是等腰三角形三边的长， ①当，即， 方程为， 解得：， ②当时，即， 方程为 解得：， 综上所述，的值等于或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意分类讨论是解题的关键． 6．把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　(　　) A．2,5,10 B．2,5,-10 C．2,1,5 D．2,10,-10 【答案】D 【分析】要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】由原方程，得 2x2+10x-10=0， ∴二次项系数是2、一次项系数是10、常数项是-10． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 7．下列说法正确的是（   ） A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程 B．方程3x2=4的常数项是4 C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.选项，若 ，则方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程，故错误； B.选项，对原方程进行移项可得 ，常数项为 ，故错误； C.选项，根据韦达定理 ，则方程的根 至少有一个为0，故正确； D.选项，在一元二次方程中 ，一次项系数为0，但方程的根为，故错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的解的定义，理解相关定义是解答本题的关键． 8．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（    ） A．3 B． C．0 D．0或3 【答案】B 【分析】将代入一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解方程得， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．． 9．一元二次方程的一个根为2，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程得到关于一元一次方程求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解及解一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程的一个根为2， ，解得， 故选：A． 10．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　） A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜ 【答案】C 【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围． 【详解】解：将代入方程得， ∴x≠0， ∴原方程可化为， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键． 二、填空题 11．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ． 【答案】4 【分析】将两根代入可得α2+2020α＝2，β2+2020β＝2，然后利用整体代入法即可求出结论． 【详解】∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根， ∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0 ∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2 ∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2） =（2﹣1）（2+2）＝4． 故答案为4． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键． 12．把一元二次方程（x﹣2）2﹣x＝7x+6化为一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 ． 【答案】 x2﹣12x﹣2＝0 1 ﹣12x ﹣2 【分析】先去括号，移项，合并同类项，再得出答案即可． 【详解】解：（x﹣2）2﹣x＝7x+6， x2﹣4x+4﹣x﹣7x﹣6＝0， x2﹣12x﹣2＝0， 所以一元二次方程（x﹣2）2﹣x＝7x+6化为一般形式是x2﹣12x﹣2＝0，二次项系数是1，一次项是﹣12x，常数项是﹣2， 故答案为：x2﹣12x﹣2＝0；1；﹣12x；﹣2． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数，掌握一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数的定义是解决此题的关键． 13．若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】-2 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可. 【详解】由题意得， ， ∴m=-2， 故答案为：-2. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键. 14．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】6 【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 15．方程是一元二次方程，则a= ． 【答案】3或-3 【详解】根据一元二次方程的定义，得 . 故答案为3或-3. 16．如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值 ． 【答案】±3 或﹣5 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【详解】当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2-9=0， 解得k=±3， 当原方程是一元二次方程时， △=b2-4ac=0， 即：4（k+1）2-4（k2-9）=0 解得：k=-5． 故答案为±3或-5． 【点睛】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题． 17．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得m2−1＝2，且m−1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：m2−1＝2，且m−1≠0， 解得：m＝±， 故答案为m＝±． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 18．关于的一元二次方程均为常数，)的根是，则方程的根是 ． 【答案】 【分析】将进行变形可得，再根据的根为，可得，或即可求解. 【详解】解：∵关于的一元二次方程均为常数，)的根是， ∴将方程变形为，则此方程中或，解得. 故答案为： 【点评】本题考查一元二次方程的根的定义，熟练掌握并准确应用是解题关键. 三、解答题 19．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中各项与各项的系数. （1） ；                      （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项、一次项、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可 【详解】解：（1）一般形式为：，二次项：，二次项系数：2，一次项：，一次项系数：-5，常数项：4； （2）一般形式为：，二次项：，二次项系数：，一次项：，一次项系数：-1，常数项：. 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 20．当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】根据题意得：2m﹣1≠0，解得：m． 故答案为m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 21．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 22．将方程（3x－2）（x＋1）＝x（2x－1）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项． 【答案】一般形式为： x²＋2x－2＝0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2 【解析】略 23．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值． 【答案】2020． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程求得m（m+1）=1；然后将所求的代数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得 ∴，或m（m+1）=1， ∴m3+2m2+2019． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 24．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根． 【答案】，1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，将x=a代入方程得到a2－a＝1，代入化简后的式子中计算，即可求出值． 【详解】解：原式 ∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴a2－a－1＝0， ∴a2－a＝1， ∴原式＝1． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”思想是解题的关键，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2－a＝1整体代入化简后的代数式． 25．k为何值时，(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？ 【答案】（1）k＝1时，原方程为一元一次方程，（2）k≠±1，原方程为一元二次方程. 【分析】由一元一次方程或一元二次方程的定义解答即可. 【详解】（1）当，即k＝1时，原方程为一元一次方程， （2）依据题意，有k2－1≠0，∴k≠±1，即k≠±1，原方程为一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，灵活运用定义解决问题是解答本题的关键. 26．计算： 先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程的解． 【答案】，6 【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程变形得出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴原式； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 认识一元二次方程（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 判断是否是一元二次方程的解 题型六 由一元二次方程的解求参数 题型七 一元二次方程的解的估算 知识清单 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程的一个根，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，求的值． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【题型三】判断是否是一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 2．（24-25九年级上·广西玉林·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【题型四】由一元二次方程的定义求参数 【例4】（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 2．（24-25九年级上·广西玉林·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3， B．3，6， C．3，，1 D．3，6，1 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【题型五】判断是否是一元二次方程的解 【例5】（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2020 C．2021 D．2022 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是 ．（写出一个即可） 3．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【题型六】由一元二次方程的解求参数 【例6】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）若是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25九年级上·吉林·期中）若是方程 的根，则代数式 的值是 ． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【题型七】一元二次方程的解的估算 【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 好题必刷 一、单选题 1．下列方程是不完全的一元二次方程的是（        ） A． B． C． D． 2．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（　　） A．﹣5 B．5 C．0 D．1 3．方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 4．若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是(  ) A．6 B．5 C．2 D．-6 5．已知、、分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于（　　） A．1 B． C．1或2 D．1或 6．把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　(　　) A．2,5,10 B．2,5,-10 C．2,1,5 D．2,10,-10 7．下列说法正确的是（   ） A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程 B．方程3x2=4的常数项是4 C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 8．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（    ） A．3 B． C．0 D．0或3 9．一元二次方程的一个根为2，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 10．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　） A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜ 二、填空题 11．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ． 12．把一元二次方程（x﹣2）2﹣x＝7x+6化为一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 ． 13．若是关于的一元二次方程，则 ． 14．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 15．方程是一元二次方程，则a= ． 16．如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值 ． 17．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 18．关于的一元二次方程均为常数，)的根是，则方程的根是 ． 三、解答题 19．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中各项与各项的系数. （1） ；                      （2） 20．当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程． 21．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 22．将方程（3x－2）（x＋1）＝x（2x－1）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项． 23．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值． 24．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根． 25．k为何值时，(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？ 26．计算： 先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$