第二讲：菱形的判定（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第二讲：菱形的判定 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：菱形的判定 ①菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形). ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言:如图，∵AC⊥BD,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴平行四边形 ABCD 是菱形. ③四边相等的四边形是菱形. 几何语言:如图，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 注意点：①②两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形.③是在四边形的基础上加上四条边相等来判定菱形. 考点1：添一个条件使四边形是菱形 【典型例题】 如图，在平行四边形中，，是两条对角线，添加下列条件能判断四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知四边形，若，，，分别为四边形的边的中点，则要使四边形为菱形，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，四边形是平行四边形，给出下列四个条件：①；②；③；④平分．若添加其中一个条件，不能使四边形是菱形的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 考点2：根据菱形的性质与判断求角度 【典型例题】 如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 考点3：根据菱形的性质与判断求线段长 【典型例题】 如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 【变式训练1】 已知的两条对角线相交于点O，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 【变式训练2】 如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 考点4：根据菱形的性质与判断求面积 【典型例题】 如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【变式训练1】 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 【变式训练2】 如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 一、单选题 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 6．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 8．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 二、填空题 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 10．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 11．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 12．如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长 ． 13．如图，平行四边形的对角线、相交于点，若，则平行四边形的面积为 ． 14．在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为 ． 15．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于，连接，． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 17．如图，在中，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求和的长． 18．已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的周长和面积． 19．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，菱形的面积为6，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第二讲：菱形的判定 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：菱形的判定 ①菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形). ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言:如图，∵AC⊥BD,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴平行四边形 ABCD 是菱形. ③四边相等的四边形是菱形. 几何语言:如图，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 注意点：①②两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形.③是在四边形的基础上加上四条边相等来判定菱形. 考点1：添一个条件使四边形是菱形 【典型例题】 如图，在平行四边形中，，是两条对角线，添加下列条件能判断四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据菱形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，添加不能判断四边形是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，添加，则四边形为矩形，不能判断四边形是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，添加不能判断四边形是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，添加能判断四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 已知四边形，若，，，分别为四边形的边的中点，则要使四边形为菱形，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形、菱形的判定，由中位线定理可证四边形是平行四边形，然后通过菱形的判定逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵、、、分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴四边形是菱形，符合题意； 、若添加，也不能证明四边形是菱形，不符合题意； 、若添加，也不能证明四边形是菱形，不符合题意； 故选：． 【变式训练2】 如图，四边形是平行四边形，给出下列四个条件：①；②；③；④平分．若添加其中一个条件，不能使四边形是菱形的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据菱形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形是菱形，不符合题意； B、添加，不能得出四边形是菱形，故符合题意； C、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形是菱形，不符合题意； D、四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴添加平分，可以得出四边形是菱形，故不符合题意； 故选：B． 考点2：根据菱形的性质与判断求角度 【典型例题】 如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 【变式训练1】 如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 【变式训练2】 如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形，证明出，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，连接， ∵点恰好在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 故选：B ． 考点3：根据菱形的性质与判断求线段长 【典型例题】 如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答． 【详解】∵是边上的中线 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． ∴． ∴， ∴． 故选C． 【变式训练1】 已知的两条对角线相交于点O，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的证明、平行四边形的性质、勾股定理，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据勾股定理，可得即可证明四边形是菱形；即可求出四边形的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形； ∴四边形的周长是， 故选：B． 【变式训练2】 如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】A 【分析】由已知条件，，，结合勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边中线的性质，可得；由已知条件，，可得四边形是平行四边形，再结合，可证得四边形是菱形，即可解答 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定是解题的关键 【详解】∵，，， ∴ ∵D为的中点， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∵ ∴菱形的周长为 故选：A 考点4：根据菱形的性质与判断求面积 【典型例题】 如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 【变式训练1】 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先判定四边形是菱形，根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求面积． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， 在菱形中，对角线与相交于点，，， 又∵， ， 则是等边三角形， ，， ∴，， ∴四边形ABCD的面积为． 故选：C． 【变式训练2】 如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 一、单选题 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，得到四边形的对角线互相垂直平分，得到四边形是菱形，不符合题意； B、根据四边相等的四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； C、，得到四边形的一组对边平行且相等，进而得到四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不能得到四边形为菱形，符合题意； 故选D． 2．已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟悉菱形的判定是解题的关键；根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，则是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是矩形，不一定能使其成为菱形，故符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是菱形，故不符合题意； 故选：C． 3．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查了菱形的判定、尺规作图、菱形的性质．根据尺规作图可知，根据四条边都相等的四边形是菱形可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得． 【详解】解：由作图可知， 四边形是菱形， ． 故选：A ． 4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质．连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则，根据题意可得四边形是菱形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即小广场到公路的距离为． 故选：A 6．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．过A作于点E，于点F，则，先证明四边形是平行四边形，进而证明，再证明是菱形，然后求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过A作于点E，于点F， 则， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 二、填空题 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 10．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质， 含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用等面积法解决本题是关键． 作于点E，于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得，再根据等面积法证明，进而证明四边形是菱形，根据含角的直角三角形的性质得出，然后根据定理得出，求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于点E，于点F， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ， ， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的周长， 故答案为：． 11．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理，设与相交于点D，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，，，可得，则可得，，利用勾股定理可得． 【详解】解：设与相交于点D， 由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，平行四边形的对角线、相交于点，若，则平行四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，先根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理得出为直角三角形，，从而得出，证明四边形为菱形，再求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 故答案为：24． 14．在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ∴，四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴     ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 15．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 三、解答题 16．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于，连接，． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)或等（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，菱形的判定， （1）根据平行四边形的性质得，即可得，再根据可得结论； （2）由（1）可知，即可知四边形是平行四边形，再添加邻边相等或对角线垂直，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． （2）解：添加或等（答案不唯一） ， 由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 或由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 17．如图，在中，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)和的长分别为8和 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出答案； 对于（2），根据勾股定理求出，再设，则，表示出，，然后根据列出方程求出解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． ∴和的长分别为8和． 18．已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长和面积分别为20和24． 【分析】（1）由于，可证得，所以，从而可证四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质有，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，四边形的周长，又因为，所以，所以，再根据勾股定理求得即可得到周长． 【详解】（1）证明：， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ． ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ，四边形的周长， 又点是的中点， ， ， ，，， ，， ，四边形的周长． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 19．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，菱形的面积为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由F是的中点，得，由，得，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，由，D是的中点，得，则，可证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形； （3）连接，则，因为，所以，因为，所以四边形是平行四边形，则，由，求得，则． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， ， （2）证明：在中，，是的中点， ， 由（1）， ，则 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）解：连接则 ， ∴， ∵ 四边形是平行四边形， ， ， 中， ． ∴的长为5． 【点睛】本题考查考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而证明是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$