精品解析：吉林省白山市五校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024~2025学年度高二第二学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第三章，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：“，使得”，则命题p的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题，把存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】命题，使得，则命题p否定是. 故选：D 2. 已知一质点的运动方程为，其中s的单位为米，t的单位为秒，则第2秒末的瞬时速度为（ ） A. 1m/s B. 4m/s C. m/s D. m/s 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的概念求解 【详解】由题意得，故质点在第2秒末的瞬时速度为m/s 故选：C 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可． 【详解】是定义在上的奇函数，当时，， 则． 故选：B． 4. 在等比数列中，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，求得，再利用，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，则，得到， 又， 故选：D. 5. 已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原函数有极值等价于导函数有变号零点，对于二次函数即判别式，由此计算a的取值范围即可. 【详解】由， 得， 根据题意得， 解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：D． 6. 已知函数．若的最小值为，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，令，，可得为奇函数，然后根据奇函数的性质结合的最小值为，可求得其最大值. 【详解】因为， 所以， 令，，则， 所以为奇函数， 因为的最小值为，所以， 因为为奇函数，所以， 即， 所以. 故选：A． 7. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 8. 已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可得 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为上的减函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确. 【详解】对于A，由题可知，故，故A正确； 对于B，由题可知，，故B错误； 对于C，，故，为奇函数，故C正确； 对于D，当时，， ， 是上的减函数，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 【详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等的解法，可得或，然后解不等式组即可. 【详解】或， 解得． 故答案为： 13. 曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘积导数，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】求导得，由曲线的一条切线斜率为0，则， 又当时，， 故该切线切点坐标为， 故答案为： 14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝______ 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性和对称性得到函数的周期性，利用周期性得到函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得，即， 又因为，则， 因此函数的周期为8， 当时，，则，结合， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件计算数列的首项和公差即可得到通项公式. （2）根据分组求和的方式计算数列的前项和即可得到结果. 【小问1详解】 设数列公差为， 由，得，，解得 ∴. 【小问2详解】 由得， . 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 18. 已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求的值 （2）当时，记，的值域分别为集合A，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围 （3）设，且在上的最小值为，求实数的值． 【答案】（1）-2 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义得到，求出或，结合函数在上单调递增，去掉不合要求的解； （2）在第一问基础上求出，根据单调递增，得到，由是成立的必要条件得到，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）得到，的对称轴为，根据对称轴的位置分三种情况，得到相应的函数最小值，列出方程，求出实数的值. 【小问1详解】 由幂函数定义得，解得：或， 当时，在上单调递增，符合题意 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去． 综上可知：； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，即； 当时，因为单调递增， 故，即， 由命题是成立的必要条件，则，显然， 则，解得：， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 根据题意得，的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 解得：（舍去），或， 当时，即，， 解得：或（舍去）， 当，即时，， 解得：（舍去）， 综上所述，或． 19. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． （1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； （2）对于任意的实数，，证明：； （3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求，再根据“拉格朗日中值点” 的定义令，解方程即可求解； （2）设，分和两种情况讨论，利用拉格朗日中值定理有，结合即可求证； （3）对函数二次求导，利用拉格朗日中值定理，结合函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 因为，， ，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为. 【小问2详解】 设，有， 易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件， 当时，显然有， 当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知， 存在，使得， 有，又由，有， 可得， 由上知，不等式成立. 【小问3详解】 由，有， 又由，设， 有， 可得函数单调递增， 由拉格朗日中值定理可知，存在， 使得， 同理可知，存在， 使得， 又由和函数单调递增，有， 有， 由化简可得， 故不等式成立． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于能够将问题与拉格朗日中值定理联系并结合导数解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高二第二学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第三章，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：“，使得”，则命题p的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 2. 已知一质点运动方程为，其中s的单位为米，t的单位为秒，则第2秒末的瞬时速度为（ ） A. 1m/s B. 4m/s C. m/s D. m/s 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 在等比数列中，如果，那么（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数．若的最小值为，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 7. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ） A B. C. D. 8. 已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 10. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为上的减函数 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是______． 13. 曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________． 14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列前项和. 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 18. 已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求的值 （2）当时，记，的值域分别为集合A，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围 （3）设，且在上的最小值为，求实数的值． 19. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． （1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； （2）对于任意的实数，，证明：； （3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $