精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题 1. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 斐波那契螺旋线 D. 阿基米德曲线 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ） A. B. C. D. ，且 5. 如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，．若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 分解因式：3a2﹣12=___． 10. 如图，数轴上的点表示的数为，则_____． 11. 小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 12. 某商品进价是1000元，售价为1500元，为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于，则商店最多降_____元出售商品． 13. 如图，四边形是一张长方形纸片，且，沿过点折痕将角翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的长为_____． 三．解答题（共13小题，计81分；解答应写出解题过程．） 14 分解因式： （1）； （2）． 15. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 16 计算：． 17. 解分式方程：． 18. 在中，，，请用尺规作图方法在上求作一点，使得． 19. 为了保护学生的视力，学校准备购买一批护眼灯．某商场现有两种不同类型的护眼灯可供选择，每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜7元．用4050元购进A型护眼灯的数量和用5100元购进B型护眼灯的数量相同，求从该商场购进每台B型护眼灯的价格． 20. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 21. 如图，三角形三个顶点的坐标分别是、、．将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形． （1）画出平移后三角形，并写出点的坐标； （2）求三角形的面积． 22. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 23. 某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 24. 如图，在中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF、EF． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若四边形ADEF的周长是28cm，AC的长为8cm，求四边形ADEF的面积． 25. 综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究． 【数学思考】如图1，与都是等边三角形，连接，． （1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°． 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，和都是等边三角形，且，． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题 1. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 斐波那契螺旋线 D. 阿基米德曲线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接根据因式分解的方法和定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意； B、，原式因式分解错误，不符合题意； C、，原式因式分解错误，不符合题意； D、，原式因式分解正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、为最简分式，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 4. 下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ） A. B. C. D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断． 【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5. 如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C ． 6. 如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，．若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等边对等角，先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，即可得到，，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴，. ∴，， ∴． 故选：A． 7. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理； ①先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；②求出，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；④利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确： ②， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③错误； ④在中，，， ， 在中，， ， ，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 10. 如图，数轴上的点表示的数为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，数轴上的点；根据勾股定理得到，再结合数轴上的点的表示即可求出． 详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 11. 小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 【答案】132 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 12. 某商品进价是1000元，售价为1500元，为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于，则商店最多降_____元出售商品． 【答案】300 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用；设商店最多可降x元出售此商品，根据题意列一元一次不等式，计算求解即可． 【详解】解：设商店最多可降x元出售此商品， 依题意有． 解得：， 故商店最多可降300元出售此商品． 故答案为：300． 13. 如图，四边形是一张长方形纸片，且，沿过点折痕将角翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，矩形的性质 ，折叠问题；根据题意在中利用勾股定理求出，再设则，在中，利用勾股定理，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠 ∴ 又∵， 在中，， ∴， 设则， ∵， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共13小题，计81分；解答应写出解题过程．） 14. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式，平方差公式； （1）根据提公因式法分解因式求解即可； （2）根据平方差公式分解因式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 15. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式，在数轴上表示不等式的解集；先按照步骤解出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ， ， 解集表示在数轴上如下： 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减乘除混合运算，完全平方公式；根据分式加减乘除混合运算法则再结合完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：两边都乘以2（x+3），得：2（2﹣x）＝x+3+2， 解得：x＝﹣， 检验：当x＝﹣时，2（x+3）＝≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣． 【点睛】考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18. 在中，，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及性质，限定工具作图，作垂线；根据题意作边的垂直平分线，交边与点，连接，根据垂直平分线得到，再结合题意得到，再利用三角形内角和定理计算即可解决问题． 【详解】解：作图如下：作边的垂直平分线，交边与点，连接，点即为所求； 证明：根据作图可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 为了保护学生的视力，学校准备购买一批护眼灯．某商场现有两种不同类型的护眼灯可供选择，每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜7元．用4050元购进A型护眼灯的数量和用5100元购进B型护眼灯的数量相同，求从该商场购进每台B型护眼灯的价格． 【答案】从该商场购进每台B型护眼灯的价格为34元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设从该商场购进每台B型护眼灯的价格为元，根据每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜7元．用4050元购进A型护眼灯的数量和用5100元购进B型护眼灯的数量相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设从该商场购进每台B型护眼灯的价格为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：从该商场购进每台B型护眼灯的价格为34元． 20. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 21. 如图，三角形三个顶点的坐标分别是、、．将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形． （1）画出平移后三角形，并写出点的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平移，利用网格求三角形面积； （1）根据平移的特点作图，根据图写出点坐标即可； （2）利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：作图如下， 根据图得到：． 【小问2详解】 解：由题意知， 三角形的面积为． 22. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴． 23. 某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 24. 如图，在中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF、EF． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若四边形ADEF的周长是28cm，AC的长为8cm，求四边形ADEF的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24cm2 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得，EF∥AC，再由，得EF＝AD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得AD+AF＝14cm，再求出AF＝10cm，然后由勾股定理求出CF＝6cm，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是的中位线， ∴，， ∴． ∵， ∴EF＝AD． ∴四边形ADEF是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是28cm， ∴AD＝EF，AF＝DE，AD＋AF＝14cm． ∵AC的长为8cm， ∴， ∴（cm）， 在中，由勾股定理得： ． ∴四边形ADEF的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形ADEF为平行四边形是解题的关键． 25. 综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究． 【数学思考】如图1，与都是等边三角形，连接，． （1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°． 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，和都是等边三角形，且，． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积． 【答案】（1）（或相等）60； （2），理由见解析； （3）9 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质易得，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据等边三角形的性质易得到，利用全等三角形的性质得到，结合全等三角形的性质得到，最后由全等三角形的性质求解； （3）过点作交的延长线于，根据等边三角形的性质、全等三角形的性质和直角三角形的性质求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴)， ∴，， ∴． 故答案为：（或相等），60． （2）．理由如下： 和都是等边三角形， ，，，． ． 在和中 ， ， ． ， ， ． ， ． ． ， ， 在和中 ， ． （3）过点作交的延长线于， 和都是等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $