精品解析：四川省广安友实学校2022-2023学年高二下学期期中考试文科数学试题

广安友实学校2022—2023学年度下期高2024届“期中考试” 文科数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 为虚数单位，复数虚部是 A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（ ） A 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个小于60° 4. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正整数范围内定义一种新的运算“*”，观察下列算式，，若则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直 9. 已知在上单调递增，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有两个极值点，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是________． 14. 已知抛物线的焦点在直线上，则______. 15. 若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是________. 16. 关于函数头有如下四个命题： ①函数的图象是轴对称图象； ②当时，函数有两个零点； ③函数的图象关于点中心对称； ④过点且与曲线相切的直线有两条． 其中所有真命题的序号是______（填上所有正确的序号）． 三、解答题 17. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）设，，求c. 18. 数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下： 小学及以下 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生及以上 不了解数字人民币 35 35 80 55 64 6 了解数字人民币 40 60 150 110 140 25 （1）如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表； 低学历 高学历 合计 不了解数字人民币 了解数字人民币 合计 800 （2）根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 19. 近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图． （1）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 20. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）当时，求的最大值. 21. 设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围． 22. 平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）写出曲线C普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广安友实学校2022—2023学年度下期高2024届“期中考试” 文科数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 为虚数单位，复数的虚部是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案． 【详解】由题意得，， 所以复数的虚部是． 故选B． 【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题． 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由复数的除法法则可得，. 故选：A. 3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（ ） A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个小于60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的知识选出正确选项. 【详解】“至少有一个不大于”的否定是“都大于”，所以反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设三内角都大于60°. 故选：B 【点睛】本小题主要考查反证法，属于基础题. 4. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数求导法则计算． 【详解】由题意， 故选：A． 【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础． 6. 在正整数范围内定义一种新的运算“*”，观察下列算式，，若则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出运算“”的意义，即表示的是从开始（包含）的个连续的正整数之和，结合可得出关于的方程，解出即可. 【详解】由题意可知，表示的是从开始（包含）的个连续的正整数之和， 由，得， 整理得， ，解得. 故选：C. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断A、D，再根据时函数值的特征排除C，即可判断； 【详解】解：因为，所以，令，即，解得、， 所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减，故排除A、D； 当时，，所以，故排除C； 故选：B 8. 已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直 【答案】D 【解析】 【详解】若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直， 当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直． 当l⊂α，α内至少有一条直线与l垂直． 故选D． 9. 已知在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件得出在上恒成立，利用参变量分离法得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】由可得， 由条件只需，即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为4，故只需. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 10. 已知函数有两个极值点，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为有两个实数根，即和在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点. 故选：A. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得，构造函数，利用导数可求得单调性，从而可比较，即可得出答案. 【详解】令，则， 在上单调递增， ，即，，即， 又，∴， 所以. 故选：B. 12. 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,设,设 ，由题意推得，可得，根据,可得，在中，由余弦定理推得，从而求得 ，可得，进而求得双曲线离心率. 【详解】由题意知，连接,设,设 ， 由双曲线定义可得， 点是双曲线与圆在第二象限的一个交点， 可得 ，则 ，即， 在 中， ， 由 ,则 ，由双曲线的定义可得 , 因为，故，所以， 在中， ， 由余弦定理可得：, 即，所以， 结合，可得 ， 所以，故 所以双曲线的离心率为，则， 故选；D 【点睛】方法点睛：求解双曲线的离心率问题，一般是要推出之间的关系式，即可求得离心率，本题中，结合题意连接,设,设，利用图形的几何性质，结合余弦定理，逐步求得 ，则问题得解. 二、填空题 13. 已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是________． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别假设甲会、乙会、丙会，推理分析，即可得答案. 【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会； 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意； 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾，不符合． 故答案为：乙． 14. 已知抛物线的焦点在直线上，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点为； 焦点在直线上 故答案为：0 15. 若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出斜率为1且与曲线相切的直线的方程，再根据两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】解：设斜率为的直线与曲线相切于点， 因为， 所以， 令， 解得， 所以， 所以切线的方程为：， 所以要求点到直线的最小距离， 即求切线到直线的距离， 由两平行线间的距离公式可得, 所以点到直线的最小距离是. 故答案为： 16. 关于函数头有如下四个命题： ①函数的图象是轴对称图象； ②当时，函数有两个零点； ③函数的图象关于点中心对称； ④过点且与曲线相切的直线有两条． 其中所有真命题的序号是______（填上所有正确的序号）． 【答案】①③④． 【解析】 【分析】对①求出导函数是二次函数，可直接判断；对②利用导数研究函数图象与性质即可判断与轴的交点个数；对③根据对称中心的概念即可判断；对④根据题意转化为有两个解，即可求解. 【详解】因为，所以对称轴是，故①正确； 因时，所以在上单调递减；时或，所以在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，因为， 则函数有1个零点，故②错误； ，， 所以函数函数的图象关于点中心对称，故③正确； 设切点为，所以， 所以切线方程为， 因为经过点，所以， 即，解得或，此时方程有两个解， 过点且与曲线相切的直线有两条，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题 17. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）设，，求c. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B； （2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c. 【详解】（1）由正弦定理得：，而， ∴，又，， ∴，又，即. （2）由余弦定理，即， ∴，解得. 18. 数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下： 小学及以下 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生及以上 不了解数字人民币 35 35 80 55 64 6 了解数字人民币 40 60 150 110 140 25 （1）如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表； 低学历 高学历 合计 不了解数字人民币 了解数字人民币 合计 800 （2）根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）没有 【解析】 【分析】（1）根据题中数据，填写列联表即可； （2）由，根据列联表数据计算，与临界值比较即可 【小问1详解】 完成的列联表如下： 低学历 高学历 合计 不了解数字人民币 150 125 275 了解数字人民币 250 275 525 合计 400 400 800 【小问2详解】根据列联表得：， 故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关． 19. 近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图． （1）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 【答案】（1）选. （2）；690 【解析】 【分析】（1）观察散点图，结合散点图的特征选择合适的回归方程类型. （2）由，得.再根据所给数据，结合线性回归方程的有关计算公式，可求回归方程，再令求值即可. 【小问1详解】 根据散点图的分布规律，随着的增大，的增长速度越来越快，符合指数函数的增长特征， 所以（均为大于零的常数）适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. 【小问2详解】 因为表示活动推出的天数，，则. . 因为，所以. 所以，所以. 又，所以. 所以. 当时，. 所以预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690. 20. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）当时，求的最大值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）求导得，根据函数极值与导数的关系得到关于方程组，解出并检验即可； （2）直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值. 【小问1详解】 ，且函数在处有极值1， ，解得. 又当时， 当或时，， 当时，， 故在处取得极大值，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 当，时，．则． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 单调递减 极小值 单调递增 5 所以时，的最大值为. 21. 设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可得的单调区间； （2）采用分离变量法可得，令，利用导数可求得，由此可得的范围. 【小问1详解】 当时，，， 则当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由得：， 当时，，， 令，则； 令，则， ，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 22. 平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，点，求的值． 【答案】（1）曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及，消参即可得到曲线C的普通方程；利用两角差的余弦公式及即可得到直线l的直角坐标方程； （2）写出直线l参数方程的标准形式，再与曲线C的普通方程联立，进而借助参数的几何意义即可求解． 【小问1详解】 由，则 ，可得， 所以曲线C的普通方程为． 由， 则，可得， 又，则， 所以直线l的直角坐标方程为． 【小问2详解】 由（1）可设直线l的参数方程为（为参数）， 将其代入曲线C的普通方程化简为， 设点，所对的参数分别为，， 则，，显然，异号， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$