精品解析：湖北省黄冈市蕲春县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

蕲春县2025年春初中期末教学质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 卷面分数：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 由线段a，b，c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的图像经过（ ）象限 A. 一二三 B. 一三四 C. 一二四 D. 二三四 4. 如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 6. 某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为人，平均分均为分（满分分），甲班中位数，乙班中位数，甲班方差，乙班方差，规定成绩大于或等于分为优异．下列说法正确的是（ ） A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 甲班的优异成绩与乙班一样多 C. 乙班的成绩比甲班的成绩稳定 D. 小亮得分将排在乙班的前名 7. 关于一次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 直线与y轴的交点是 C. 直线经过点 D. 当时， 8. 如图，P，Q分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 明明： 分别过点P，Q作于点，于点． 下列关于以M，P，N，Q为顶点的四边形的说法正确的是（ ） A. 聪聪作的四边形是菱形 B. 明明作的四边形是菱形 C. 聪聪作四边形是矩形 D. 明明作的四边形是矩形 9. 平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，，，若四边形O、A、B、C四点组成的四边形是平行四边形，则C点坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使二次根式有意义的的值为______（写出一个符合题意的值即可）． 12. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 13. 化简_________． 14. 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 15. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为_________． 三、解答题（75分） 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 18. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得C地与树相距9米，眼睛D处观测树顶端A的仰角为； 方案二：如图（2），测得C地与树相距9米，向前走0.7米到达，上取一点E，使米，连接与，发现． 已知小明身高米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留一位小数，取） 19. 如图,在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.请用无刻度的直尺，按下列要求，分别在网格中画出顶点在格点上的图形. （1）在图①中画出一个边长为 5的三角形，并判断该三角形的形状； （2）在图②中画一个面积为 10的正方形； （3）在图③中画一个周长为的菱形. 20. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有200人对A款聊天机器人进行评分、160人对B款聊天机器人进行评分，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 22. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C． （1）求a，b的值； （2）求； （3）若x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，求点P的坐标； （4）直线与y轴相交于点D，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A，B，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蕲春县2025年春初中期末教学质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 卷面分数：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 由线段a，b，c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是熟记勾股定理逆定理，准确进行计算． 【详解】解：A．因为，所以是直角三角形，不符合题意； B．因为，所以是直角三角形，不符合题意； C．因为，所以不是直角三角形，符合题意； D．因为，所以是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图案是轴对称图形，故不符合题意； B、选项中的图案是轴对称图形，故不符合题意； C、选项中的图案是轴对称图形，故不符合题意； D、选项中的图案不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 直线的图像经过（ ）象限 A. 一二三 B. 一三四 C. 一二四 D. 二三四 【答案】B 【解析】 【分析】题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线经过一三四象限， 故选：B． 4. 如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ 故选：A． 5. 分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】由得： ， ， ， 经检验：是原分式方程的解， 故选：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根． 6. 某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为人，平均分均为分（满分分），甲班中位数，乙班中位数，甲班方差，乙班方差，规定成绩大于或等于分为优异．下列说法正确的是（ ） A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 甲班的优异成绩与乙班一样多 C. 乙班的成绩比甲班的成绩稳定 D. 小亮得分将排在乙班的前名 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差的意义，根据平均数、中位数、方差的意义逐项分析判断即可，掌握平均数、中位数、方差的意义是解题的关键． 【详解】解：、甲班方差，乙班方差，故乙班的成绩稳定，故此选项不符合题意； 、成绩大于或等于分为优异，甲班中位数，乙班中位数，则乙班成绩优异的人数比甲班多，故此选项不符合题意； 、甲班方差，乙班方差，故乙班的成绩稳定，故此选项符合题意； 、由乙班中位数，则小亮得分将排在乙班的后名，故此选项不符合题意； 故选：． 7. 关于一次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 直线与y轴的交点是 C. 直线经过点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，结合一次函数性质逐一分析各选项验证即可． 【详解】A. 斜率，故随增大而增大，选项A正确，不符合题意． B. 当时，，直线与轴交点为，选项B正确，不符合题意． C. 当时，，点不在直线上，选项C错误，符合题意． D. 当时，，因，时随增大而增大，故，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，P，Q分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 明明： 分别过点P，Q作于点，于点． 下列关于以M，P，N，Q为顶点的四边形的说法正确的是（ ） A. 聪聪作的四边形是菱形 B. 明明作的四边形是菱形 C. 聪聪作的四边形是矩形 D. 明明作的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据聪聪的作法，证明，得到，从而可得到，可判定聪聪作的四边形是矩形；根据明明的作法，证明，得到，，可判定明明作的四边形是平行四边形．即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由聪聪作图可知：， ∴， ∴四边形是矩形，故A选项不符合题意，C选项符合题意； ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形和菱形的判定是解题的关键． 9. 平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查翻折性质，现出图形，根据对称性解答即可． 【详解】解：如图，点A的对应点的坐标为， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，，，若四边形O、A、B、C四点组成的四边形是平行四边形，则C点坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．设点C的坐标为，根据平行四边形的性质，分三种情况：若以为对角线；若以为对角线；若以为对角线，即可解答． 【详解】解：设点C的坐标为， 若以为对角线， ，解得：， 此时点C的坐标为； 若以为对角线， ，解得：， 此时点C的坐标为； 若以为对角线， ，解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或， 即，点C坐标为不可能为． 故选∶D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使二次根式有意义的的值为______（写出一个符合题意的值即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 故答案为：2（答案不唯一，即可）． 12. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 13. 化简_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握二次根式的性质化简是关键，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法求解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 【答案】4500 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 15. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点Q在射线上运动，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴点Q在点H处时，最小， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 三、解答题（75分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算．根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证的△ABE≌△CDF是解答本题的关键．由平行四边形的性质可得，即，根据可得，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． 18. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得C地与树相距9米，眼睛D处观测树的顶端A的仰角为； 方案二：如图（2），测得C地与树相距9米，向前走0.7米到达，在上取一点E，使米，连接与，发现． 已知小明身高米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留一位小数，取） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 方案一：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解； 方案二：根据题意可证，得，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，米，米，， 方案一：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴米，米， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴米， ∴米； 方案二：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且米， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米； ∴树高度为米． 19. 如图,在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.请用无刻度的直尺，按下列要求，分别在网格中画出顶点在格点上的图形. （1）在图①中画出一个边长为 5的三角形，并判断该三角形的形状； （2）在图②中画一个面积为 10的正方形； （3）在图③中画一个周长为的菱形. 【答案】（1）图见解析，证明见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、菱形和正方形的判定等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是作图的关键. （1）利用勾股定理及其逆定理作图即可； （2）根据网格的特点和正方形的判定作图即可； （3）根据网格的特点和菱形的判定作图即可. 【小问1详解】 如图，即为所求， ∵, ∴ ∴是直角三角形， 【小问2详解】 如图，正方形即为所求， 【小问3详解】 如图，菱形即为所求， 20. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有200人对A款聊天机器人进行评分、160人对B款聊天机器人进行评分，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1） （2）4款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析 （3）44人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：款“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵“满意”的数据：，“不满意”和“比较满意”总人数人， ∴把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是、， ∴， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：款聊天机器人更受用户喜爱， 理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有44人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）1 （2） （3）或者 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入正比例函数解析式中计算即可； （2）根据题意得到，根据几何图形的面积计算即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在点上方；当点在线段上时；点在轴下方；结合图形，面积的计算方法列式求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数中得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， 如图所示，，当点在点上方， ∴， ， 解得，， ∴； 如图所示，当点在线段上时，则， ∴， ， 解得，，不符合题意， ∴点在线段上的情况不存在； 如图所示，点在轴下方， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 22. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C． （1）求a，b的值； （2）求； （3）若x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，求点P的坐标； （4）直线与y轴相交于点D，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A，B，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） （3），，， （4）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，即可得出，； （2）求出点B和点C坐标，进一步即可求出的面积即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解即可； （4）设点Q的坐标为，分三种情况：当，为对角线时，当，为对角线时，当，为对角线时，分别根据中点坐标公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 得， 解得， 直线， 将点代入直线， 得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴直线， 当时，， 点坐标为， 当时，， 点坐标为， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∴， 当时，点P的坐标为或， 当时，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为，，，； 【小问4详解】 解：把代入得：， ∴， 设点Q的坐标为， ，， 当，为对角线时，， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 当，为对角线时，， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 当，为对角线时，， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，中点坐标公式等，本题综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$