22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、 函数的图象 知识点1： 二次函数y＝a（x－h）²＋k（a≠0）的图象是一条抛物线。 易错点提示： 与y=ax²的图象一样，它也是一条平滑的曲线，不是折线。不要因为解析式复杂就误认为图象形状改变。 二、 抛物线的顶点坐标 知识点2： 抛物线y＝a（x－h）²＋k的顶点坐标是（h，k）。 易错点提示： 1.顶点坐标是（h，k），注意符号！这里是“x－h”，所以顶点的横坐标是“h”，而不是“-h”。例如，y=a(x+2)²+3 的顶点横坐标是-2（即h=-2），顶点坐标是（-2，3）。 2.顶点坐标要用坐标形式（h,k）表示，不要写成h或k。 三、 抛物线的对称轴 知识点3： 抛物线y＝a（x－h）²＋k的对称轴是直线 x=h。 易错点提示： 1.对称轴是一条直线，所以必须写成“直线x=h”，不能只写“x=h”或“h”。 2.同样要注意h的符号。例如，y=a(x-3)² 的对称轴是直线x=3；y=a(x+1)² 的对称轴是直线x=-1。 四、 抛物线的开口方向 知识点4： 抛物线的开口方向由二次项系数a的符号决定： （1）当a＞0时，抛物线开口向上。 （2）当a＜0时，抛物线开口向下。 易错点提示： 1.开口方向只与a的正负有关，与h、k的取值无关。不要被h和k的符号干扰。 2.牢记“a＞0开口向上，a＜0开口向下”，不要记反。 3.a≠0是二次函数的前提。 五、 抛物线的开口大小 知识点5： 抛物线开口的大小由|a|（a的绝对值）决定： （1）|a|越大，抛物线的开口越窄。 （2）|a|越小，抛物线的开口越宽。 易错点提示： 1.开口大小只与|a|有关，与h、k的取值无关。 2.是“|a|越大，开口越窄”，不要记成“开口越大”。 六、 抛物线的增减性 知识点6： 抛物线的增减性由a的符号和对称轴共同决定： （1）当a＞0时（开口向上）： ①在对称轴的左侧（即x＜h时），y随x的增大而减小。 ②在对称轴的右侧（即x＞h时），y随x的增大而增大。 （2）当a＜0时（开口向下）： ①在对称轴的左侧（即x＜h时），y随x的增大而增大。 ②在对称轴的右侧（即x＞h时），y随x的增大而减小。 易错点提示： 1.描述增减性时，一定要指明“在对称轴的左侧/右侧”或“当x＜h时/x＞h时”，不能笼统地说y随x增大而增大或减小。 2.容易混淆a的正负对应的增减区间，建议结合图象记忆。 3.x=h时，函数取得最大值或最小值，此点是增减性的转折点。 七、 函数的最大值或最小值 知识点7： （1）当a＞0时（开口向上）： 抛物线的顶点（h,k）是图象的最低点，此时函数有最小值。当x=h时，y最小值 = k。 （2）当a＜0时（开口向下）： 抛物线的顶点（h,k）是图象的最高点，此时函数有最大值。当x=h时，y最大值 = k。 易错点提示： 1.混淆“最大值”和“最小值”与a的符号关系。记住“a＞0有最小值，a＜0有最大值”。 2.忘记说明取得最值时的自变量x的值是x=h。 3.最值是函数值y，即k，而不是顶点坐标（h,k）。 八、 与y=ax²的图象关系（平移规律） 知识点8： 二次函数y＝a（x－h）²＋k的图象，可以由二次函数y=ax²的图象经过平移得到： （1）左右平移： 由“x”变为“x-h”，决定了图象的左右平移。“h正右移，h负左移”（或理解为“括号内减h，图象向右移；括号内加h（即减 -h），图象向左移”）。 （2）上下平移： 末尾的“+k”决定了图象的上下平移。“k正上移，k负下移”。 （3）平移口诀： “左加右减括号内，上加下减括号外”（针对h和k的变化对图象位置的影响）。 易错点提示： 1.左右平移的方向： 这是最容易出错的地方！“x－h”，当h为正数时，是“x减一个正数”，图象向右平移；当h为负数时，例如y=a(x+2)² = a(x - (-2))²，是“x减一个负数”，相当于“x加一个正数”，图象向左平移。切记“左加右减”是指在“x”的基础上“加”或“减”，体现在括号内是“x - h”，所以h的符号与平移方向相反（相对于括号内“+”号而言）。 2.平移的单位是|h|和|k|的大小。 3.平移只改变抛物线的位置（顶点坐标、对称轴），不改变抛物线的开口方向和开口大小（即a不变，开口方向和大小就不变）。 巩固练习 一、选择题 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．若直线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+2 5．设A ，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ， 是抛物线 上两点，则正数 （　　） A．2 B．4 C．8 D．16 二、填空题 9．抛物线在y轴的右侧呈 　 　趋势（填“上升”或者“下降”）． 10．把二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后二次函数的解析式为　 　. 11．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是　 　． 12．在平面直角坐标系中，抛物线y= -（x+2）2+3的顶点坐标是(m，n)．则mn的值为　 　． 13．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2＋11，当1≤x≤4时，函数的最大值为　 　. 三、解答题 14．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1） （2） 15．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 16．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求此函数的最大值与最小值． 参考答案 1．C 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C 7．D 8．C 9．上升 10． 11．a≤2 12．-8 13．10 14．（1）解：∵a=2>0 开口方向：向上 对称轴：直线 顶点：. （2）解：∵a=-3<0 开口方向：向下 对称轴：直线 顶点：. 15．（1）解：∵顶点坐标是(1，-2) ∴设函数表达式为 当x=0，y=0时，有，解得a=2 ∴函数表达式为 （2）解：当x=3时，有 ∵ ∴点(3，5)不在这个二次函数的图象上 16．（1）解：设二次函数解析式为，把代入中得：，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，； 当时，； ∴当时，此函数的最大值与最小值分别为和． 学科网（北京）股份有限公司 $$