第十三讲：用待定系数法求二次函数的解析式（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十三讲：用待定系数法求二次函数的解析式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用一般式法求二次函数的解析式 确定二次函数的关系式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式. 知识点02：用顶点法求二次函数的解析式 当知道顶点坐标(h，k) 和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式y＝a(x－h)2＋k可以确定二次函数的关系式由特殊到一般. 知识点03：交点法求二次函数的解析式 交点式y = a(x－x1)(x－x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y = a(x－x1)(x－x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 知识点04：归纳总结 考点1：选择适当的方法求二次函数的解析式 【典型例题】 若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式训练2】 若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 考点2：在自变量范围内求最值 【典型例题】 如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【变式训练1】 已知二次函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之差是（   ） A．4 B．8 C．6 D．10 【变式训练2】 若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 考点3：二次函数的平移问题 【典型例题】 若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 考点4：根据二次函数的图像求解析式 【典型例题】 二次函数的图象如图所示．则a、b、c的值为（   ） A．，，2 B．，4，2 C．，4，2 D．无法确定 【变式训练1】 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数没有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．抛物线的顶点坐标为 D．，两点之间的距离是4 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 5．抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 7．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 8．某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 10．某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 11．函数的图象过点，则 ． 12．若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 13．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 14．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ． 15．二次函数：的图象经过点、两点，其顶点坐标是 ． 16．已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 17．如图，已知二次函数图象过点和点，当时，则函数的最大与最小值的和为 ． 三、解答题 18．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 19．已知二次函数． (1)若二次函数经过点， ①求二次函数解析式； ②当时，求的取值范围； (2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小． 20．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 21．已知二次函数 （，为常数）的图象经过点，对标轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 22．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十三讲：用待定系数法求二次函数的解析式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用一般式法求二次函数的解析式 确定二次函数的关系式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式. 知识点02：用顶点法求二次函数的解析式 当知道顶点坐标(h，k) 和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式y＝a(x－h)2＋k可以确定二次函数的关系式由特殊到一般. 知识点03：交点法求二次函数的解析式 交点式y = a(x－x1)(x－x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y = a(x－x1)(x－x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 知识点04：归纳总结 考点1：选择适当的方法求二次函数的解析式 【典型例题】 若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 【变式训练1】 已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键．先求解二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵设抛物线为，把，，代入得： ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而减小， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 【变式训练2】 若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 考点2：在自变量范围内求最值 【典型例题】 如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 【变式训练1】 已知二次函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之差是（   ） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质求得当时，函数的最大值与最小值即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵时，， 时，， ∴当时，函数的最大值为7，最小值为1， ∴函数的最大值与最小值之差是6． 故选：C． 【变式训练2】 若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由函数的图象经过点和，从而，可得，从而函数为，再由二次函数的性质，结合，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，函数的图象经过点和， ． ． 函数为． 当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为． 函数的最大值与最小值之和是：． 故选：B． 考点3：二次函数的平移问题 【典型例题】 若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解析式，平移的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的解析式的求法． 【详解】由抛物线平移得到，且对称轴是直线： 设抛物线的解析式为：， 过点，得到 解得：， 所以抛物线的解析式为： 故选：D 【变式训练1】 抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 【变式训练2】 若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，由题意得出该定弦抛物线过点，，待定系数法求出二次函数解析式为，再根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴该定弦抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 故选：B． 考点4：根据二次函数的图像求解析式 【典型例题】 二次函数的图象如图所示．则a、b、c的值为（   ） A．，，2 B．，4，2 C．，4，2 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式．根据该二次函数的图象与轴的一个交点，结合函数图象的对称轴，可得该二次函数的图象与轴的另外一个交点，再将该二次函数的图象与轴的交点，三点代入，解方程组即可． 【详解】解：根据函数图象可知， 该二次函数的图象与轴的一个交点， ∵函数图象的对称轴， ∴， ∴该二次函数的图象与轴的另外一个交点， ∵该二次函数的图象与轴的交点， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式训练1】 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 【变式训练2】 二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数解析式．设交点式，然后把代入求出a即可． 【详解】由图象可得抛物线过、、三点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故选：A． 一、单选题 1．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 2．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法求得二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，点和点， ∴， 解得， 故选：D． 3．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数没有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．抛物线的顶点坐标为 D．，两点之间的距离是4 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，先用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于点，B，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 故C不正确； ∴该二次函数没有最大值， 故A正确， ∴当时，随的增大而减小， 故B正确； ∵， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∴，即，两点之间的距离是4， 故D正确． 故选：C． 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 5．抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键．根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故选：B． 6．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再代入计算即可得解． 【详解】解：将，，代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 故选：B． 7．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 8．某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同是解题关键．根据顶点坐标设函数解析式为，再根据抛物线的形状和开口方向相同，确定的值，即可得到答案． 【详解】解：某抛物线的顶点坐标是， 设它的函数解析式为， 它的形状和开口方向与抛物线相同， ， 它的函数解析式为， 故选：C． 9．已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，当时，，当时，代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得：， ∴， 整理得：， 若，则，故A不符合题意； 若，则，故B不符合题意； 若，则，故C符合题意； 若，则，故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 10．某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线解析式为，再代入即可得到答案. 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 11．函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入二次函数解析式计算即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．设二次函数的解析式为，把、、三点代入解析式求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把、、三点代入得 ， 解得． 则抛物线解析式为． 故答案为：． 13．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 14．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，理解记得顶点式，（其中顶点为）是关键．据题意求得抛物线的二次项系数，由顶点可直接写出解析式． 【详解】解：∵抛物线的形状与函数的图象相同且开口方向相反 ∴抛物线的解析式的二次项系数为，又其顶点为 ∴抛物线解析式为． 故答案为：． 15．二次函数：的图象经过点、两点，其顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，解题的关键是掌握在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．把已知点的坐标代入中得到、的方程组，再解方程组求出、，从而得到二次函数解析式，然后把一般式配成顶点式得到顶点坐标． 【详解】解：把、代入， 得：， 解得， 则函数解析式为， 顶点坐标为， 故答案为：． 16．已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令，则，根据根与系数的关系求出，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， ∴， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 故答案为：． 17．如图，已知二次函数图象过点和点，当时，则函数的最大与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，根据二次函数图象上两点坐标，得到函数解析式，从而知道二次函数的顶点坐标，再结合当时，；当时， ，从而得到在时的函数的最大值和最小值，从而得到结果，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象过点和点， 解得： ∴二次函数解析式为： ∴对称轴为， ∴顶点坐标为， ∵当时，；当时， ， ∴当时，则函数的最大值为，最小值为， ∴最大值与最小值的和为：， 故答案为：． 三、解答题 18．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 19．已知二次函数． (1)若二次函数经过点， ①求二次函数解析式； ②当时，求的取值范围； (2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据自变量的范围求函数值的范围，二次函数的增减性，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． （1）①把代入，求出，就可得二次函数解析式； ②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可； （2）先分别求得，， ，判断各自的符号，再比较的大小． 【详解】（1）解：①把代入，得：，解得， 二次函数解析式为； ②在“”范围内， ， 对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线的开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）当时， 当时， ， ，当时， ， 当时，， ． 20．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线．顶点的坐标为． (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 21．已知二次函数 （，为常数）的图象经过点，对标轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论等知识点．对进行分类讨论是本题的难点． （1）根据二次函数对称轴为求出值，再把点代入二次函数解析式进而求出值； （2）根据二次函数的性质求得最大值为，而时，，进而根据对称轴来判断的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，∵二次函数为，对标轴为直线 ∴． ∴． ∴抛物线为． 又图象经过点， ∴． ∴． ∴抛物线为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，取得最大值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为， 当时，，且点关于对称轴的对应点为， ∴n的取值范围为． 22．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，n的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$