22.1.3 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.3 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数 y=ax 2+k 的图象和性质 1.二次函数 y=ax2＋k 的图象与二次函数 y=ax2 的图象的关系    它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数 y=ax2＋k 的图象可由二次函数 y=ax2 的图象上下平移 |k|个单位得到 . 2. 二次函数 y=ax2＋k的图象的画法  (1)描点法： 按“列表→描点→连线”的顺序作图； (2)平 移 法： 将 二 次 函 数 y=ax2 的 图 象 向 上(k>0)或 向 下(k<0)平移 |k| 个单位长度，得到二次函数 y=ax2＋k的图象 . 知识点02：二次函数 y=a(x + h)2+k 的图象和性质 知识点03：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 题型1：二次函数y=ax 2+k的图象和性质 【例1】抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【练1】已知抛物线经过点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【练2】若，，则二次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 题型2：二次函数 y=a(x + h)2的图象和性质 【例1】在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【练1】二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【练2】抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 题型3：二次函数 y=a(x + h)2+k 的图象和性质 【例1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【练1】若 、为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【练2】关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 题型4：二次函数的平移问题 【例1】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【练1】已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（   ） A．1，3 B．3， C．1， D．3， 【练2】将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．将抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 6．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 7．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 8．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．二次函数的最小值是 ． 10．已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 11．已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系为 ． 12．若抛物线经过和两点，则 ． 13．抛物线的顶点的坐标为 ． 14．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为 ． 15．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 16．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为 ． 三、解答题 17．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 18．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 19．已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 21．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数 y=ax 2+k 的图象和性质 1.二次函数 y=ax2＋k 的图象与二次函数 y=ax2 的图象的关系    它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数 y=ax2＋k 的图象可由二次函数 y=ax2 的图象上下平移 |k|个单位得到 . 2. 二次函数 y=ax2＋k的图象的画法  (1)描点法： 按“列表→描点→连线”的顺序作图； (2)平 移 法： 将 二 次 函 数 y=ax2 的 图 象 向 上(k>0)或 向 下(k<0)平移 |k| 个单位长度，得到二次函数 y=ax2＋k的图象 . 知识点02：二次函数 y=a(x + h)2+k 的图象和性质 知识点03：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 题型1：二次函数y=ax 2+k的图象和性质 【例1】抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，进而判断其位置即可. 【详解】解：抛物线的顶点为， 顶点在轴上， 故选：A． 【练1】已知抛物线经过点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小； 分别求出和时的函数值，然后可得答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故选：C． 【练2】若，，则二次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 题型2：二次函数 y=a(x + h)2的图象和性质 【例1】在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 【练1】二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数顶点式的对称轴为直线成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数，其形式符合顶点式，其中， 所以，函数的对称轴为直线． 故选D． 【练2】抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质特点是解题的关键． 比较两个抛物线的开口方向、对称轴、形状大小及顶点位置，逐一判断选项． 【详解】解：先分别对这两个抛物线进行分析，再进行选项判断： 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向上. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向下. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 分别对选项进行判断. A：开口方向相反，不同. B：对称轴分别为和，不同. C：分别为和，形状大小不同. D：两顶点和均在轴上，相同. 故答案为：D. 题型3：二次函数 y=a(x + h)2+k 的图象和性质 【例1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接利用抛物线的顶点式特点确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 【练1】若 、为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据“当开口方向向上时，离对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当点离对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ∵，，， ∴点C离对称轴最远，点A在对称轴上， ∴． 故选：D． 【练2】关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 题型4：二次函数的平移问题 【例1】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 【练1】已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（   ） A．1，3 B．3， C．1， D．3， 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律，原抛物线顶点为，平移后的顶点为，通过比较顶点坐标的变化确定平移步骤. 【详解】解：由题可知，原抛物线解析式为，顶点坐标为. 平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为. 观察可得：顶点横坐标从变为， 即向左平移了个单位， ∴； 顶点纵坐标从变为， 即向下平移了个单位， ∴； 综上，，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式． 【练2】将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为：，再根据平移后的抛物线与抛物线重合，得出，求出结果即可． 【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴的计算公式计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 3．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 4．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 5．将抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案． 【详解】将抛物线向下平移2个单位，得， 再向左平移3个单位，得． 故选：B． 6．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 利用二次函数的顶点解析式进行判断顶点坐标和开口方向即可． 【详解】解：对于抛物线，， ∴开口向下， 顶点坐标为， 故选：C． 7．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 8．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确； 对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误； 的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题 9．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数顶点式解析式写出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，二次函数的最小值为， 故答案为：． 10．已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据顶点在轴上求出的值，再分析抛物线的性质，结合给定的的取值范围，确定函数值的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在轴上，轴上的点纵坐标为 ∴，解得． ∴抛物线解析式为，其对称轴为，开口向上． 当时，有最小值； 当时，； 当时，． ∵在中，时最小为，时最大为 ∴函数值的取值范围是． 故答案为：． 11．已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性和对称性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在二次函数的图像上，且， ∴； 故答案为： 12．若抛物线经过和两点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，再结合抛物线经过和两点，则对称轴是直线，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又抛物线经过和两点， 对称轴是直线． ． 故答案为：． 13．抛物线的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标是求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 14．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得， 即． 故答案为：． 15．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质的基础题，知识点单一而且简单．本题考查了二次函数的开口方向，是由系数决定的． 【详解】解：抛物线的开口向下， ． 故答案为：． 16．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上坐标点的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 根据题干条件可以得到关于两点横坐标的关系式，进行求解即可． 【详解】解：点,都在二次函数上， ， 即 解得 故答案为： ． 三、解答题 17．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 【答案】(1)开口方向：向上；对称轴：直线；顶点： (2)开口方向：向下；对称轴：直线；顶点： 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标； （2）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向上， ， 抛物线的对称轴为：直线；顶点坐标是：； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下， 抛物线对称轴为：直线；顶点坐标是：． 18．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 19．已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用. 用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值. 设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标. 【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点. 解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：设． 是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论： ①当时，点B和点P关于y轴对称． ； ②当时，， ， 整理，得， 解得． 当时，； . 当时，． . 综上所述，点B的坐标为或或． 21．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$