22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、 图象的形状与名称 知识点1： 二次函数（）的图象是一条抛物线。 易错点提示： 不要误认为抛物线是折线或由线段组成，它是一条平滑的曲线。 二、 图象的对称轴 知识点2： 抛物线的对称轴是y轴（即直线）。 易错点提示： 对称轴是一条直线，回答时要写成“直线”或“y轴”，而不仅仅是“x=0”或“y”。 三、 图象的顶点坐标 知识点3： 抛物线的顶点坐标是原点。这个顶点同时也是抛物线的最高点或最低点。 易错点提示： 顶点坐标是一个有序数对，不要漏写括号和逗号，写成“0,0”或“（0，0）”是正确的，不要写成“0”或“（0）”。 四、 开口方向 知识点4： 抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定： （1）当时，抛物线开口向上。 （2）当时，抛物线开口向下。 易错点提示： 容易混淆的正负与开口方向的关系，记住“正上负下”。不要忘记这个前提。 五、 开口大小 知识点5： 抛物线开口的大小由（的绝对值）决定： （1）越大，抛物线的开口越窄。 （2）越小，抛物线的开口越宽。 易错点提示： 误认为的数值越大（不考虑正负）开口越大。实际上是越大，开口越窄；越小，开口越宽。 六、 函数的增减性 知识点6： 结合开口方向和对称轴，抛物线的增减性如下： （1）当时（开口向上）： ①在对称轴左侧（即时），随的增大而减小。 ②在对称轴右侧（即时），随的增大而增大。 （2）当时（开口向下）： ①在对称轴左侧（即时），随的增大而增大。 ②在对称轴右侧（即时），随的增大而减小。 易错点提示： 1.描述增减性时，一定要指明“在对称轴的哪一侧”或“在什么自变量取值范围内”。 2.容易将和情况下的增减性记混，建议结合图象记忆。 七、 函数的最大值或最小值 知识点7： （1）当时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。当时，。 （2）当时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。当时，。 易错点提示： 1.混淆“最大值”和“最小值”与的符号关系，记住“上小下大”（开口向上有最小值，开口向下有最大值）。 2.忘记说明取得最值时的自变量的值。 八、 抛物线与坐标轴的交点 知识点8： 抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，这个交点就是原点。 易错点提示： 虽然这里只有一个交点，但不要误认为所有抛物线都只与坐标轴有一个交点，这是的特殊性（过原点且顶点在原点）。 巩固练习 一、选择题 1．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A． B． C． D． 2．函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 4．在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝ x2，y＝－ x2的共同特点是（　　） A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x的增大而增大 C．关于y轴对称，y随x的增大而减小 D．关于y轴对称，顶点是原点 5．抛物线的图象经过点，则大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．二次函数，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是，则点 B横坐标为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．下列关于函数的性质叙述中，错误的是（　　） A．对称轴是轴 B．顶点是原点 C．当时，随的增大而增大 D．有最大值 二、填空题 9．顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式　 　． 10．二次函数经过点，则　 　． 11．二次函数的图象如图所示，则的取值范围是　 　． 12．如图所示，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作函数与的图象，阴影部分的面积是　 　. 三、解答题 13．已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-2)． （1）求这个二次函数的表达式，并画出图象． （2）请说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向． （3）若点B(，b)，D(c，-2)都在此抛物线上，写出b，c的值． 14．已知是二次函数，且函数图象有最高点． （1）求的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当为何值时，随的增大而减小． 参考答案 1．D 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．（答案不唯一） 10．2 11． 12．8 13．（1）解：∵ 二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-2)， ∴a=-2， ∴此函数解析式为y=-2x2， 列表如下 x -2 -1 0 1 2 y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 图象如下 （2）解：图象的顶点坐标为，对称轴为轴，开口向下； （3）解：. 14．（1）解：是二次函数， 且，或． 函数图象有最高点，抛物线的开口向下， ，解得，． （2）解：由知，， 顶点坐标为，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小． 学科网（北京）股份有限公司 $$