22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 暑期衔接讲义 （思维导图+知识梳理+巩固练习）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数的一般形式 一般形式： 各项系数意义： ：二次项系数，决定抛物线的开口方向和开口大小 ：一次项系数，与抛物线的对称轴位置有关 ：常数项，抛物线与 y 轴交点的纵坐标 二、抛物线的开口方向与形状 开口方向： 当 > 0 时，抛物线开口向上 当 < 0 时，抛物线开口向下 开口大小： || 越大，抛物线开口越窄； || 越小，抛物线开口越宽 三、抛物线的对称轴与顶点坐标 1. 对称轴 公式： 性质：抛物线关于对称轴对称 2. 顶点坐标 公式法：顶点坐标为 配方法：通过配方将一般式化为顶点式 四、二次函数的增减性 当 a > 0 时： 当 a < 0 时： 五、二次函数的最值 六、抛物线与坐标轴的交点 1. 与 y 轴的交点 2. 与 x 轴的交点 七、二次函数的平移规律 八、a、b、c的符号与函数图象的关系 a ：决定开口方向（正上负下） b ：与 a 共同决定对称轴位置（"左同右异"：当对称轴在y轴左侧时， a 、 b 同号；在右侧时， a 、 b 异号） c ：决定抛物线与 y 轴交点位置（正上负下，为0时过原点） 巩固练习 一、选择题 1．抛物线 的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴 2．抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 4． 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A． 12＜t≤3 B． 12＜t＜4 C． 12＜t≤4 D． 12＜t＜3 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3 7．下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x -2 -1 0 1 2 y 1 2 1 -2 -7 A．1与2之间 B．-2与-1之间 C．-1与0之间 D．0与1之间 8．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，图象如图所示，有下列结论；①；②；③；④，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．抛物线 的顶点坐标是　 　. 10．抛物线 经过点 ，则 的值为　 　． 11．函数 在 有最大值6，则实数a的值是　 　. 12．若把二次函数化为的形式，其中为常数，则　 　． 13．已知二次函数，当自变量和时，函数值，则该抛物线的对称轴为　 　． 14．二次函数y=-x2+2x的图象如左下图所示，当-1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是　 　 三、解答题 15．已知抛物线 ，其中a为常数． （1）求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示） （2）将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B（1，﹣3）． （1）求该二次函数解析式． （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围． 17． 在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 18． 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19．如图所示，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标. （2）点在该二次函数的图象上. ①当时，求的值； ②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+2经过点A、C． （1）求抛物线的解析式． （2）若点M （m，y1）、N （m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为　 　 （3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标． （4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数的一般形式 一般形式： 各项系数意义： ：二次项系数，决定抛物线的开口方向和开口大小 ：一次项系数，与抛物线的对称轴位置有关 ：常数项，抛物线与 y 轴交点的纵坐标 二、抛物线的开口方向与形状 开口方向： 当 > 0 时，抛物线开口向上 当 < 0 时，抛物线开口向下 开口大小： || 越大，抛物线开口越窄； || 越小，抛物线开口越宽 三、抛物线的对称轴与顶点坐标 1. 对称轴 公式： 性质：抛物线关于对称轴对称 2. 顶点坐标 公式法：顶点坐标为 配方法：通过配方将一般式化为顶点式 四、二次函数的增减性 当 a > 0 时： 当 a < 0 时： 五、二次函数的最值 六、抛物线与坐标轴的交点 1. 与 y 轴的交点 2. 与 x 轴的交点 七、二次函数的平移规律 八、a、b、c的符号与函数图象的关系 a ：决定开口方向（正上负下） b ：与 a 共同决定对称轴位置（"左同右异"：当对称轴在y轴左侧时， a 、 b 同号；在右侧时， a 、 b 异号） c ：决定抛物线与 y 轴交点位置（正上负下，为0时过原点） 巩固练习 一、选择题 1．抛物线 的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得 该抛物线没有一次项 ∴对称轴为y轴 故答案为：D 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 2．抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大， ∵， ， ∴. 故答案为： D． 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线，计算各点到对称轴的距离并比较大小，然后根据“抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大”即可判断求解 ． 3．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为， ∴，即， ∴， 当时，有最大值， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴，， 解得：或；或； 经检验时，不符合题意； ∴，， ∴． 故答案为：D 【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。 4． 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线， ∴观察图象，可得，选项C符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据题意先求出a＜0，b＜0，再求出 二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，最后对每个选项逐一判断即可。 5．抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A． 12＜t≤3 B． 12＜t＜4 C． 12＜t≤4 D． 12＜t＜3 【答案】C 【解析】【解答】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝−2， ∴y＝－x2−2x＋3， ∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点， ∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12， ∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故答案为：C． 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3 【答案】D 【解析】【解答】解：∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在轴上方， ∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c， ∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方部分的图象， ∵当ax2+bx+c<0时，y=aax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴下方， ∴此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）， ∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象， ∵y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点纵坐标是-3， ∴函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3， ∴y=|ax2+bx+c|的图象如图， ∵观察图象可得当k≠0时， 函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个， 函数图象在直线y=3的下方时且在x轴上方时，纵坐标相同的点有四个， ∴若|ax2+bx+c |=k(k≠0)有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在y=3的上边， 故k>3，​​​​​​ 故答案为：D. 【分析】先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根时，k的取值范围. 7．下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x -2 -1 0 1 2 y 1 2 1 -2 -7 A．1与2之间 B．-2与-1之间 C．-1与0之间 D．0与1之间 【答案】D 【解析】【解答】解：∵当x=0时，y=1，x=1时，y=-2， ∴函数在0～1之间由正到负， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在0与1之间， 故答案为：D． 【分析】根据图表可得，当x=0变化到x=1时，对应的函数值由正到负，即可得到解的区间。 8．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，图象如图所示，有下列结论；①；②；③；④，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：①由图象可知：抛物线开口方向向下，则a＜0， 对称轴直线位于y轴右侧，则a、b异号，即b＞0， 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为（4，0）， ∴当x＝2时，y＞0， 即4a＋2b＋c＞0，故③错误； 由图可得，0＜＜2， ∵a＜0， ∴0＜b＜−4a，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个， 故答案为：B． 【分析】用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 二、填空题 9．抛物线 的顶点坐标是　 　. 【答案】（1，2） 【解析】【解答】∵y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2， ∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）. 【分析】由题意将抛物线的解析式配成顶点式即可求解。 10．抛物线 经过点 ，则 的值为　 　． 【答案】-4 【解析】【解答】将点(1，0)， (3，0)代入 得： ， 解得 故答案为： . 【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键. 11．函数 在 有最大值6，则实数a的值是　 　. 【答案】 或 【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为 ， 由题意，分以下三种情况： ①当 时， 在 内，y随x的增大而增大， 则当 时，y取得最大值，最大值为 ， 因此有 ，解得 ，符合题设； ②当 时， 在 内，当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而 增大， 则当 或 时，y取得最大值， 因此有 或 ， 解得 或 （均不符题设，舍去）； ③当 时， 在 内，y随x的增大而减小， 则当 时，y取得最大值，最大值为 ， 因此有 ，解得 ，符合题设； 综上， 或 ， 故答案为： 或 . 【分析】先求出二次函数的对称轴为 ，再分 ， 和 三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得. 12．若把二次函数化为的形式，其中为常数，则　 　． 【答案】-2 【解析】【解答】解：由题意得， ∴h=1，k=-3， ∴h+k=-2， 故答案为：-2 【分析】根据题意转换二次函数的解析式即可求解。 13．已知二次函数，当自变量和时，函数值，则该抛物线的对称轴为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， 故答案为： 【分析】根据二次函数的对称性结合题意即可得到对称轴。 14．二次函数y=-x2+2x的图象如左下图所示，当-1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是　 　 【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数 ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线 ∵当 时，y随x的增大而增大， 故答案为： 【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，再根据当 时，y随x的增大而增大和二次函数的性质，即可得到a的取值范围. 三、解答题 15．已知抛物线 ，其中a为常数． （1）求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示） （2）将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值． 【答案】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴， ∵， ∴， 即：平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值为． 【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式得到顶点坐标解题； （2）根据平移规律“左加右减，上加下减”的到解析式，然后利用二次函数的性质得到最大值即可. （1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴， ∵， ∴， 即：平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值为． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B（1，﹣3）． （1）求该二次函数解析式． （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围． 【答案】（1）解：由题意可知二次函数，代入点得，，解得. 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为-3， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是. 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法即可求得； (2)先由y=(x-1)2-3知当x>1时y随x的增大而增大，据此分别求出x=6，x=2时y的值即可得答案. 17． 在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）解： 抛物线的对称轴为 ，且 ， 对称轴为： ， 即 ， 解得 ． （2）解：由题意可得，对于任意的 ， 随 的增大而减小， 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧 都有 ，故不符合题意； 当 时，对于任意的 ， 随 的增大而减小， 从而 ， 解得： ． 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴结合题意即可求解； （2）由题意可得，对于任意的 ， 随 的增大而减小，进而分类讨论：当 时，当 时，再根据二次函数的性质即可求解。 18． 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）解： （2） 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， 解得：， 画出函数图象，如下图： （2）由题意得当时，的取值范围为． 【分析】（1）根据二次函数的图象与性质求出顶点坐标、于坐标轴的交点即可画出图像； （2）直接观察图像即可求解。 19．如图所示，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标. （2）点在该二次函数的图象上. ①当时，求的值； ②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）解：把点P(-2，3)代人y=x2+ax+3中，得4-2a+3=3， 解得a=2， ， 顶点坐标为（-1，2）； （2）解：①∵点Q（m，n）在二次函数y=x2+2x+3的图象上，且m=2， ∴将x=m=2代入y=x2+2x+3得y=11，即n=11； ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2，∴-2＜m＜2， ∵二次函数y=(x+1)2+2中，a=1＞0，图象开口向上， ∴当x=-1时，y最小为2，当x=2时，y最大为11， ∴2≤n≤11. 【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入二次函数y=x2+ax+3，即可求出a，再结合配方法将解析式配成顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①将x=2代入二次函数，即可求解； ②根据一个点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值可得-2<m<2，由于二次函数y=(x+1)2+2中，a=1＞0，图象开口向上，故图象上离对称轴距离越远的点其函数值越大，据此即可求解. 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+2经过点A、C． （1）求抛物线的解析式． （2）若点M （m，y1）、N （m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为　 　 （3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标． （4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）解：当x=0时，y=2， ∴C (0， 2)， 当y=0时，x=4， ∴A (4，0)， 将A、C点代入y=ax2+x+c(a≠0)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+x+2； （2）2<m<4 （3）解：当y=0时，x2+x+2=0 解得x=4或x=-1， ∴A (- 1，0)， ∵OA=1，OC=2，BO=4， ∴AB=5，AC=2，BC=， ∵AC2=AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BCO=∠BAC， ∵∠DCA=∠BCO， ∴∠DCA=∠BAC， 当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)； 在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP， ∴D点在直线CP上， 在Rt△COP中，CP2= CO2+OP2， ∴(4- OP)2=4+OP2， 解得OP= ．P (，0)， 设直线CP的解析式为y=kx+2， k+2=0， 解得k= 直线CP的解析式为y=x+2， 当x+2=x2+x+2时， 解得x=0或x= ∴D (，) 综上所述： D点坐标为(3，2)或(，) （4）解：<m<或<m< 【解析】【解答】解：（2）∵m+2＞m＞-1， ∴点N在M点的右侧， ∵ y1y2<0， ∴ y1＞0，y2＜0， ∴-1＜m＜4，m+2＞4， 解得： 2<m<4 ； 故答案为： 2<m<4 . （4）∵ E（m-1，1），F （1-m，1） ， G （3-m，-2），H（m+1，-2） ∴EF∥x轴，GH∥x轴， ∴EF=，GH=， ∴EF=GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 由P（m，）， 当点P在EF上时，=1，解得m=，m=， 当点P在GH上时，=-2，解得m=，m=， 当点P在EH上时，设EH的直线解析式为y=kx+b， ∴解得k=，b=， ∴EH的直线解析式为y=x+， 当m+=时，解得m=或， ∴当 <m<或<m< 时， 点P在四边形EFGH的内部 . 【分析】（1） 由y=x+2求出A、C的坐标，再将A、C的坐标代入解析式中求出a、c的值即可； （2）由 y1y2<0可得 y1＞0，y2＜0，即-1＜m＜4，m+2＞4，据此求出m的范围即可； （3）先求出A、B的坐标，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形， 当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)； 在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，由D点在直线CP上，利用勾股定理求出P的坐标，再利用待定系数法求出直线CP的解析式，再求出直线CP与抛物线的交点即可； （4）根据所给点的坐标可得四边形EFGH是平行四边形，分别求出当点P在EF上时和点P在GH上时m的值，再求出点P在EH上时，先求出直线EH的解析式，再求出直线EH与抛物线交点的横坐标，继而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$