专题训练十一-十二 证明切线的常用方法 不规则图形面积的常见计算技巧-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

专题训练十一 证明切线的常用方法 (限时：45分钟) 类型1见半径证垂直 (2)若OD=1,且BD=BF,求⊙O的半径. 1.(2024甘肃改编)如下图，AB是⊙0的直 径，BC=BD,点E在AD的延长线上，且 ∠ADC=∠AEB. (1)求证：BE是⊙O的切线. (2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求AD 的长 3.如右图，AB为⊙O的直径， C,D为⊙O上不同于A,B的 两点，∠ABD=2∠BAC.过 D 点C作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE 相交于点F, (1)求证：CF为⊙O的切线 (2)若CE=2,BE=1,求AB的长. 类型2连半径证垂直 2.如下图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O 于点C,D为OB上一点，连接CD并延长交 ⊙O于点E,延长OB至点F,使DF=EF, 连接EF (1)求证：EF为⊙O的切线. 106 数学九年级RU版 类型3作垂直证半径 类型5连半径证全等 4.如下图，O为正方形ABCD对角线上一点， 6.如右图，AB是⊙O的直径，点 BC与以点O为圆心，OA长为半径的⊙O C,D在⊙O上，且四边形 相切于点M. AOCD是平行四边形.过点D (1)求证：CD与⊙O相切. 作⊙O的切线，交OC的延长 (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的 线于点F,连接BF.求证：BF是⊙O的 半径 切线。 7.推理能力如右图，四边形 ABCD为矩形，E为BC的中 点，连接AE.以AD为直径 类型4勾股定理逆定理证垂直 的⊙O交AE于点F,连接 5.如右图，⊙O的直径AB= CF.求证：CF与⊙O相切. 12,P是AB延长线上一 点，且PB=4,C是⊙O上 一点，PC=8.求证：PC是⊙O的切线 上册专题训练 107 专题训练十二 不规则图形面积的常见计算技巧 (限时：30分钟) 类型1利用和差关系求面积 为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线 1.(2024重庆A卷)如图，在矩形ABCD中，分 MN,交⊙O于点E,F.若OA=1,则BE 别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧， AE,AB所围成的阴影部分的面积为 两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图 中阴影部分的面积为 () A.32-8π B.16√3-4π 类型3利用等积法求面积 C.32-4π D.16√3-8π 5.如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于 点O,过点O的直线EF交AB于点E(点E 不与点A,B重合)，交CD于点F以点O为 圆心，OC长为半径的圆交直线EF于点M, 第1题图 第2题图 N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为 2.(2024泰安)两个半径相等的半圆按如图所 () 示的方式放置，半圆。的一个直径端点与半 圆O的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴 A餐日 B.1 84 影部分的面积是 ( D- A.青-B C D- 4 类型2利用割补法求面积 3.如图，在半径为10的扇形AOB中，∠AOB 第5题图 第6题图 =90°，C为AB上一点，CD⊥OA,CE⊥OB. 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 垂足分别为D,E.若∠CDE=36°，则图中阴 E,∠CDB-30°，CD=2√3，则阴影部分的面 影部分的面积为 积为 A.10元 B.9π C.8x D.6π 类型4利用容斥法求面积 7.如图，正方形ABCD的边AB= 1,BD和AC都是以1为半径的圆 弧，两部分阴影的面积分别记为 S和S2,则S1一S2等于( )第7题圈 第3题图 第4题图 A.8-1 B.1- 4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形 分别以点A,0为圆心，取大于0A的定长 c.5-1 D1-8 10 数学九年级RU版-8张-2a-意，整理，得（钻-4）=2a+16,∴2a十16>0， 解得a≥一8. ,地物线形水柱的开口向下，.4<0， .-8a<0 委使顶点存在且横，纵坐标均为有理数，a,k为整数 ∴(k-4)°=2a十16有解，且2a十16为整数的平方， .2a十16的值只能是0或1或4或9. 当2a十16=0时，解得4=一8，=4：当2a十16=1时，不合 题意，舍去：当2a十16=4时，解得a=一6，k=6或2：当2a十 16=9时，不合题意，舍去. 综上可知，整数a的值为-8，k的值为4或a的值为一6，k 的值为6或2. 7.70 8.解：(1)y关于x的函数解析式是y=一10x十600. (2)当销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日 销售利润是2250元. 专题训练九三种特殊角度的旋转 1.C 2.解：(1)如图.△BCD为等边三角形，.∠3=∠4=60°，DC =DB. :把△ABD绕若点D按顺时针方向旋转 60后得到△ECD, .∠5=∠1+十∠4=∠1十60°，.∠21 ∠3+∠5■∠2+∠1+120°. ∠BAC=120°，.∠1+∠2=180 ∠BAC=60°， .∠2+∠3+∠5=60°+120°=180° ∴点A,C,E在一条直线上. :把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60'后得到△ECD, .∠ADE=60°，DA=DE, ∴.△ADE为等边三角形，，∠DAE=60°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE=120-60°=60 (2):点A,C,E在一条直线上， ∴.AE=AC+CE. ,把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD, .CE=AB,∴.AE=AC+AB=6十4=10. 由(1)可知，△ADE为等边三角形，∴AD=AE=10. 3.解：(1)证明：由旋转的性质，得AE=AN,∠BAE=∠DAN. ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90,即∠BAN+∠DAN=90° ∴.∠BAN+∠BAE=90',即∠EAN=90 :∠MAN=45°， '.∠MAE=∠EAN-∠MAN=90°-45°=45 在△AEM和△ANM中， AE-AN, ∠MAE=∠MAN=45°， AM-AM. ∴.△AEM2△ANM(SAS). (2)由旋转的性质，得BE=DN=2, 由1)，得△AEM≌△ANM,.EM=MN. 设BM=x,则MN=EM=x十2. ,四边形ABCD是边长为6的正方形， ∴.BC=CD=6,∠C=90°， ..CM=BC-BM=6-x,CN=CD-DN=4. 在Rt△CMN中，由勾殷定理，得CF+CN=MN, 即(6一x)2十43=(x十2)2，解得x=3, .BM=3. 4.D 专题训练十与圆的性质有关的 辅助线的作法技巧 1.B2.C334.7 5.解：(1)证明：如图，连接OC :C为BD的中点， .OC⊥BD. 又，CE∥BD,∴.OC⊥EC, CE是⊙O的切线. (2)①如图，连接CB CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC,∴AD=BC C为BD的中点， ∴BC-CD=DA,∴∠COB=60', ·△CB0是等边三角形，∠CE0=30, ∴.EB=BO=CO=OA=3. ②r 6.C7.278.20 9.解：(1)：0C=0B, ∠0BC=∠0cB=2180-∠B0C. :∠BOC=2∠BCE, ∠0BC-180-2∠BcE)-90-∠BCE,即∠0Bc+ ∠BCE=90°， .∠OEC=90°，.OC=OE+CE, .0C=(0C-1)2+(W5)2,解得0C=3, 即⊙0的半径为3. (2)证明：如图，过点O作OF⊥BD于点F, ∴BF=2BD BD=20E, ∴，OE=BF 又，OC=BO,∠OEC=∠BFO=90, ,∴.Rt△CEO2Rt△OFB(HL), ∠COE=∠OBF, ∴.BD∥OC 10.D11.B12.B 13.解：1)证明：如图，连接FA ,-∠FEB=90°， ∴∠FEA=90',·AF是⊙O的是 直径 BE=EA,∴BF=AF DE是⊙O的直径， ∴.∠EAD=90°，AF=ED, ∴.BF=ED, Rt△EFBSRt△ADE(HL). (2)由1)，得∠B=∠AED,.DE∥BC 'DE是⊙O的直径，AC⊥AB. EF⊥AB,.EF∥CD .四边形FCDE是平行四边形， ,当点E到BC的距离最大，即点A到DE的距离最大时， 四边形FCDE的面积最大， ∴当A为DE的中点时，点A到DE的距离最大，最大距离 是2，此时四边形FCDE的最大面积是4×2=8 专题训练十一证明切线的常用方法 1.解：(1)证明：BC=BD,∠CAB=∠BAE AC=AC,∴.∠ABC=∠ADC 又，∠ADC=∠AEB,∴.∠ABC=∠AEB ,AB是⊙O的直径，∠ACB=90°， ·∠CAB十∠ABC=90°， 187 上册参考签案 ,∠BAE+∠AEB=90° ∴∠ABE=90°，即AB⊥BE :OB为⊙O的半径， .BE是⊙O的切线 (2),0B=2, ∴AB=20B=4,AC=AB-BC=√4-3=7. :AB是⊙O直径，BC-BD, .AD=AC, ,AD=AC=√/7 2.解：(1)证明：如图，连接OE 由题意，得DF=EF,OE=OC, ∠FDE=∠FED,∠OEC=∠OCE 又∠ODC=∠EDF,OC⊥AB, ∴.∠OCD+∠ODC=90°， .∠OED+∠DEF=90°，.OE⊥EF :0E为⊙0的半径， ,∴，EF为⊙O的切线 (2)由题意，得OD=1,BD=BF,OE⊥EF,DF=EF 设⊙O的半径为r, ..OE=r.BD=r-0D=r-1, .DF=EF=2BD=2(r-1)=2r-2, .0F=OD+DF=2x-1. 在Rt△OEF中，OE+EF=OF 即2+(2-2)2=(2r-1)2,解得1=1（舍去），rm=3, 敲⊙0的半径为3. 3.解：(1)证明：如图，连接O℃ CE⊥DB,∴.∠DEF=90° OC=OA..∠BAC=∠ACO ∴.∠COF=2∠BAC ∠ABD=2∠BAC,.∠ABD =∠COF, .OC∥DE,∴，∠OCF=∠DEF=90', ,OC⊥CF,CF为⊙O的切线 (2)如图，过点O作OG⊥DE,垂是为G, .∠OGE=90. CE⊥DB,.∠DEC=90 ,∠OCE=90°，∴.四边形COGE是矩形， ..OG=CE=2.OC-EG=1+BG. 设OC=x,则BG=x-1,在R△OCB中，OB=OG2十BG, ∴，x2=4十(x一1)2，解得x= 2 ,.AB=20A 20C=5. 4.解：(1)证明：如图，连接OM,过点O作ON⊥ CD于点N :BC与⊙O相切于点M, .OM⊥BC. ,四边形ABCD是正方形， .CA平分∠BCD,.OM=ON ,OM是⊙O的半径，.ON是⊙O的半径， .CD与⊙O相切. (2)四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=1,∠B=90°，∠ACB=45°， AC=2,∠MOC=∠MC0=45 .MC=OM=0A, ,OC=√OF+MC=2OM√EOA 'AC=OA十OC..OA十2OA=2, .0A=2-√2. 即⊙0的半径为2-√2 5.证明：如图，连接OC 188 数学九年级RJ版 ,⊙O的直径AB=12, ∴.OB=OC=6. PB=4,∴.PO=10 在△P0C中，PC+0C=8°+6°=100， P0=102=100, .PC十O=PO, ∠OCP=90°，即OC⊥PC 又，O℃是⊙O的半径， .PC是⊙O的切线 6.证明：如图，连接OD ,四边形AOCD是平行四边形，OA=OC, ,四边形AOCD是菱形， △OAD和△OCD都是等边三角形， .∠AOD=∠COD=60°， ∴.∠BOF=60°=∠DOF DF是⊙O的切线，∴.OD⊥DF, ∴∠FD0=90 OD-OB. 在△FDO和△FBO中，∠DOF=∠BOF, LOF-OF. ∴.△FDO2△FBO(SAS), ∴.∠ODF=∠OBF=90°， ,.OB⊥BF,.BF是⊙O的切线 7.正明：如图，连接OF,OC ,四边形ABCD为矩形 .AD∥BC且AD=BC,∠D=90°. E为EC的中点，AO=DO, A0=AD,EC=号BC, .AO=EC. 又AO∥EC,.四边形OAEC为平行四边形， .AE∥OC. .∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA 'OA=OF,∠OAF=∠OFA, ∴.∠DOC=∠FOC OD-OF. 在△ODC和△OFC中，∠DOC=∠FOC. OC=OC, .△ODC≌△OFC(SAS),.∠D=∠OFC=90', .OF⊥CF,∴CF与⊙O相切 专题训练十二不规则图形面积的 常见计算技巧 1D2A3A42+项-号5B6警7A 专题训练十三与圆相关的无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，点0即为所求 (2)如图②，点0即为所求 图① ② 2.解：(1)如图①，点D即为所求 (2)如图②，点E即为所求