专题训练7 解直角三角形的常见问题-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

∴.∠A=∠B=∠45° AD31 ,∴.AE=BE=AB·sin45=3, AD=3,∴tam∠DBA=AB=6=2 1 在Rt△ACE中，anC= 专题训练七解直角三角形的常见问题 1.16【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E, CE=AE tanc=15, 则BE=CD=6m. 由题意，得∠ADE=45°，∠ACB .BC=BE+CE=3+15=18. =58°. (2),BC=18,D为BC的中点， 设AE=xm,则DE=xm, .BD=9, ..BC=x m,AB=AE+BE=(x+ ∴.DE=BD-BE=6, 6)m. AE 3 1 .tan∠ADB=tan∠ADE= =6=2 在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan58°= =+6 BC 829号 1.60, 解得x=10,∴.AB=16m. 10.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， 2.解：(1)由题意，得AB=36m,AB⊥AH, ∴.∠BAD=∠D=∠C=90. 由折叠可知，∠BFE=∠DAB=90 在R△ABH中，tanAHl=岩 ∴.∠EFD+∠BFC=∠EFD+∠FED=9O°， .AH=AB·tan∠ABH≈36X1.5=54(m). ∴.∠FED=∠BFC. (2)延长AB和NM相交于点D,如图. ∴.△EFD∽△FBC. (2)由折叠可知，BF=AB=13. 249 在Rt△BFC中，BC=12, 00 ∴.CF=√BF-BC=5, nn ∴.FD=CD-CF=13-5=8, AD123 :.tanZAFD=FD-82 由题意，得∠BDN=90°，四边形AHND为矩形 由折登可知，∠AFB=∠FAB。 ∴.DN=AH=54m.在Rt△BDN中，∠DBN=66°， AB∥CD, DN ∴∠AFD=∠FAB, tan∠DBN=BD =tan66≈2.25， ∴∠AFD=∠AFB. ∴.BD=24m, an∠AFB=tZAFD=-2 .AD=BD+AB=24+36=60(m).在Rt△ADM DM 1.A12A1a号 中，∠DAM=24°，.tan∠DAM= AD=tan24°≈ 0.45. 14.解：(1)由题意可设AB=3k,则BC=5k. .DM=27m, 在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=8. .MN=DN-DM=54-27=27(m）. ..BC*=AB*+AC*. ∴.建筑物MN的高度约为27m. 即(5k)2=(3k)2+8, 3.解：(1)在R△ABC中，AB=20m,∠ABC=20°， k=2(负值已含去)，AB=3k=6. ∴.AC=AB·sin∠ABC=20sin20°20X0.34=6.8 (2)如图，过点D作DE⊥BC于点E.设AD=x,则 (m). CD=8-x. 故斜坡的铅垂高AC是6.8m. 由(1)，得BC=√AC+AB=10. (2)在R△ABC中，AB=20m,∠ABC=20°， :BD平分∠CBA交AC边于点D ∴.BC=AB·cos∠ABC≈20×0.94=18.8(m. ∠CAB=90°， ,18.8m=1880cm, .DE=AD=x. 1880÷47=40(级)， 在R△BDE与R△BDA中·DE=DA, (BD=BD. 故一共需要铺设40级台阶。 4.解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB .Rt△BDE2Rt△BDA(HL), 于点F,如图. ..BE=BA=6, ,斜道AC的坡度i=1:2, ∴.CE=BC-BE=10-6=4. ∴.设CE=xm,则AE=2xm. 在Rt△CDE中，DE+CE2=CD, 在Rt△ACE中，CE+AE=AC,即x+(2x)产= 即x2+4=(8-x),解得x=3, (155). 下册参考答案 解得x,=15,x:=一15（不符合题意，舍去）. ∴.AE=EC. .CE=15m,AE=30m. 在Rt△CDF中，∠FDC=37P, 同理可得，在Rt△BDF中，BF=DF=20m, 即点C到直线AB的距离为15m,点D到直线AB的 ÷保=an87r*是 距离为20m. 设CF=3k,则DF=4k, ∴.CD=√(3k)+(4k)F=5k .EB=CF=3 ..AE=EC=AB-EB=70-3k. (2)连接OC.OD,如图. ,∴.BF=70-3k. .AB=85 m.AE=30 m.BF=20 m. BD=BF+DF. ∴.EF=85-30-20=35(m). ∴.70-3k+4k=80 设OE=￥m,则OF=(35-)m. 解得k=10, 在Rt△CEO中，OC=CE+OE: .∴.CD=5k=50. 在Rt△OFD中，OD=DF+OF :OC=OD,∴.OC=OD, 50+8-60nmi/. 即152+2=202+(35-)2， 故供给船行驶时的速度约为60 n mile/,h. 解得x=20, 专题训练八三视图的几种常见考查形式 即0E=20m,0F=15m,OC=√/20+15=25(m). 1.D2.C3.A4.D5.D6.C7.B8.C 在Rt△CEO和Rt△OFD中， 9.B【解析】由题意可知，用数字表示该位置上小正方体 [CO=OD. 的个数如图所示， OE=DF. 22▣ .△CEO2△OFD(HL) 21 ∴.∠COE=∠ODF. 俯视图 :∠ODF+∠DOF=90. ∴.∠COE+∠DOF=90 ∴这个几何体的左视图是 .∠COD=90° ÷旗CD的长为20X5-受m 10.D11.A 12.C 180 【解析】由题中给出的左视图可知，几何体共两层， 5.2 n mile/min【解析】如图，过点C作CD⊥AB交AB 从俯视图可以看出最底层的个数，搭成该几何体的 于点D 小正方体最少有4+2=6（个）. 由题意，得∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=65°-20 13.D【解析】由俯视图可知，底层小正方体的个数为6： =45°， 由左视图可知，该立体图形有两层.从左视图看，第二 .设BD=CD=x n mile,则AC=2CD=2 c n mile, 层左面可以放1个，2个、3个、4个小正方体.综上，需 要小正方体个数的情况有4种。 AD=[20(3+1)-x]n mile. 14.20【解析】由题意可知，用数字在俯视图上表示该位 在Rt△ACD中，∠CAB=30 置上的小正方体的个数如图所示，.最多需用20个 CD_B am∠CAB=AD=则2 小正方体. 0(√3+1)-a -解得1 经检验，x=20是原分式方程的根，且符合 221 题意， 15.B【解析】由三视图可知，该几何体是正六 .BD CD 20 n mile,AC 2CD 2 X 20 棱柱，且底面边长为6，高为2 40(n mile). 如图所示，过点O作OC⊥AB,得AO= ,∴.救援船航行的速度为40÷20=2(n mile/min). AB=6.AC=BC=3, 6.解：过点C分别作CE⊥AB,CF⊥DB,垂足为E,F, 如图， .0C=3AC=33 ,四边形CEBF是矩形， 一该几何体的体积为2×6×35×6×2=1085. ..CF=EB.BF=EC. 16.解：根据三视图可知，该工件是由叠加的两个圆柱体 根据题意，得AB=70,BD=80,∠FDC 中间挖去一个长方体组成的. =37°，∠ECA=45. 故该工件的体积是x×(4÷2)2×4十×(2÷2)×1 在Rt△ACE中，∠ECA=45°， -1×1×(1+4)=(17x-5)cm3. 数学九年级RJ版专题训练七 解直角三角形的常见问题 (限时：45分钟) 类型(1与仰角、俯角有关的问题 1.如图，有甲、乙两座建筑 物，从甲建筑物点A处测 得乙建筑物点D的俯角a 为45°，点C的俯角3为 58°，BC为两座建筑物的 第1题图 水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m, 则甲建筑物的高度AB为 m(结 果保留整数，参考数据：sin58°≈0.85，cos58 类型2与坡度、坡角有关的问题 ≈0.53，tan58°≈1.60). 3.(2025遵义模拟)小伟家院子旁有一段斜坡 2.(2025沈阳模拟)小明准备利用无人机测量 路，斜坡路的截面如图①所示，为了行走方 建筑物MN的高度.如下图，小明先将观测 便，现将此段斜坡路用如图②的长方体石块 点选在建筑物MN对面的楼房AH的楼上 铺成石台阶如图③所示.经测量，斜坡总长 一点A,利用无人机先测得建筑物MN的顶 AB=20m,坡角为20°（参考数据cos20°≈ 端M的俯角为24°，又遥控无人机与地面 0.94,sin20°≈0.34) HV保持平行方向由点A飞行36m到达点 (1)斜坡的铅垂高AC是多少米？ B处，此时测得该建筑物MN底端N的俯 (2)若长方体石块的宽为47cm,一块长方体 角为66°，又测得点H的俯角为56.3°.已知 石块铺1级台阶，一共需要铺设几级台阶？ MN与AH均垂直于地面HN,垂足分别为 20m N,H(点A,B,M,N,H在同一平面内) 20° (1)求AH的长. 图① 图② (2)求建筑物MN的高度.（结果精确到1m, 参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91， tan24°≈0.45，sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈ 0.55,tan56.3°≈1.50，sin66°≈0.91，cos66 图③ ≈0.41，tan66°≈2.25) 66 下册专题训练 79 4.图①所示的是一座拱桥，图②是其侧面示意 类型(3与方向角有关的问题 图.斜道AC的坡度i=1:2,斜道BD的坡 5.如图，一渔船在海岛A南偏东20° 度i=1:1,测得湖宽AB=85m,斜道AC= A东 方向的点B处遇险，测得海岛A10A20° 15√5m,斜道BD=20√2m.已知弧CD所在 与点B的距离AB为20（√5+ 圆的圆心O在AB上， 1)n mile,渔船将险情报告给位于c 、659 点A处的救援船后，沿北偏西65 第5题图 方向向海岛C靠近.同时，从海岛 A出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行 图① 图② (1)分别求出拱桥部分点C,D到直线AB 20min后，救援船在海岛C处恰好追上渔船， 的距离， 则救援船航行的速度为 (2)求弧CD的长（结果保留π）. 6.如下图，位于东西方向海岸线上的码头A,B 相距70 n mile,一艘供给船从码头A出发沿 北偏东45°方向匀速行驶，到达C处后收到信 号，位于码头B正北方向80 n mile的D处有 一艘渔船需要物资，故该供给船按原速沿北 偏东37°方向行驶50min后到达D处.求供 给船行驶时的速度（结果保留整数，参考数 据：sn37os37r号an7r). 45 80 数学九年级J版