专题训练一-二 配方法的应用 一元二次方程的解法归类-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

“号≠号，心游戏规则对甲，乙双方不公平 13.解：(1)随机 (27 (3)根据题意，画树状图如图 第一个 第二个 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中恰好是一男 女的结果有2种， :P(两个小孩恰好是一男一女)=是-=司 25.3用频率估计概率 1.B2.A3.C4.0.5 5.解：(1)1 (2)根据题意，面树状图如图 第一次 第二次 第一清 第二次红红：，自 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小 球颜色恰好不同的结果有6种， 六P(两次救出的小球颜色恰好不同)一号一是 6 6.B7.①③8.15 9.解：1)多与该游戏可兔费得到景点吉样物的领率为500 60000 =0.25. (2)设纸箱中白球的个数为x 根据题意：得异，-0,25 解得x=36. 经检验，x=36是原分式方程的解，且符合题意」 故估计纸箱中白球的个数为36. 10.解：(1)红球：(18十2)÷50×100%=40%： 黄球：(28十2)÷50×100%=60%. (2)设总球数为x, 由题意，得是-结，解得=10 经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意， ∴.100×40%=40（个）.故盒中红球约有40个， 本章小结 1.A2.B3.C4.A5A6.37.8 8a号 (2)面树状图如图 开地 小明 小丽ABC 由树款图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选 择相同基地的结果有3种， “P小明和小丽达择相同基地)一号一号 9,解：(1)摸出的小球上的数字是奇数的概率为=习 (2)面树状图如图 开 y234 13 123 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中点(x,y)在函 数y=一x十4的图象上的结果有2种，∴由x,y确定的点 红，》在适数y=一x十4的图象上的概率为号-日 10.(1)根据题意，将A组同学的得分按从小到大的颗序排列， 位于中间的两个数是84,86，，A组同学得分的中位数= 84+86=85(分)， 2 在A组同学得分这组数据中，82出现了2次，出现的次数 最多，.A组同学得分的众数是82分， (2)把A组的2名同学分别记为A:,A:,B组的2名司学分 别记为B,B 根据题意，珂树状图如图 A B B2 A BB AA BA1 A2 B 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这2名同学 恰好来自同一组的结果有4种，∴，P(这2名同学恰好来自 同一)= 专题训练 专题训练一配方法的应用 1.A2.A3.C4.B5.A 6.解：b+c-(c-b)=2b=5-4a+3a2-1+2a-a2=2a2-2a 十4，即6=a2-a十2. ".b-a=a2-2a+2=(a-1)2+1>0, ,b>a. c-b=a2-2a+1=(a-11≥0， c≥b. 故aCb≤c 7.证明：x2+y2-2x-4y十16=(x2-2x+1)+(y2-4y+4) +11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11，∴不论x,y取任何实 数，多项式x2+y-2x一4y十16的值总为正数. 8A9510是-婴 11.解：将原方程配方，得(4一3)2+(6一4)2+√一5=0，a =3,b=4c■5. "32+4=52,即a2+b=2, .△ABC是以c为斜边长，a,b为直角边长的直角三角形， 12.解：a2十b2=12a十8b-52, .a2-12a十-86十52=0： ∴.(a-6)2十(6-4)2=0， ∴.a-6=0,b-4=0, 解得a=6,b=4. 又a,d,c是△ABC的三边长且互不相等，c是△ABC的 最短边， 解得2<c<4 专题训练二一元二次方程的解法归类 1.解：根据平方根的意义，得4x一1=士15， 7 解得x1=4,x1= 2 2.D 3.解：(1)移项，得x2一8x=一4 183 上册参考卷案 配方，得x2-8x十16=-4十16 即(x-4)3=12, “x-4=士25 解得x1=4十2/3，x2=4-23 (2)整理，得x2十4x■2. 配方，得x2十4x十4=2十4 即(x+2)2=6, .x十2=土6， 解得x1=一2+√6，x2=一2-√6 4.C5.=-5,x=1 6.解：(1)原方程可化为x2+3x十1=0. 4=b-4ac=32-4X1×1=5>0 原方程有两个不相等的实数根， “x=一3土⑤ 2 六x1=3+ ,=3-5 2 （(2)原方程可化为x2-2√②x-1=0. :4=6-4ac=(-2W2)2-4×1×(-10=12>0. ,原方程有两个不相等的实数根， “x=22±2 2 ∴x1=2+5,√2-一V5 7.解：设2x一5=m, 则原方程可化为n2十4十3=0， .(n十1)（为十3）=0， 解得m1=一3，m=一1. 当=一3时，即2x一5=一3，解得x=1 当n=一1时，即2x一5=一1，解得x=2 故原方程的解为x1=1,x=2. 专题训练三一元二次方程根 与系数的关系的应用 1.C2B3.B4.D5.156.或2 7.解：(1)把x1=2代人方程x2一mx十m一1=0，得4一2m+ 一1=0，解得m=3, 则原方程为x2一3x十2=0，则x1十x:=3, □ABCD的周长=2×3=6. (2),□ABCD是菱形，∴·1=x ,.△=（一m)2一4(m一1）=0，解得m1=%=2, .当m=2时，□ABCD为菱形. 8.解：(1)证明：，x2一(m十2)x十m一1=0， ∴.a=1,b=一(m十2)，c=m-1, ∴.△=b2-4a6=[-(m+2)]2-4×1X(m-1)=m2+4m 一4m十4=m2十8 'm2≥0，m2十8>0恒成立， 即△>0， ∴·无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根 (2)方程x2一(m十2)x十m一1■0的两个实数根为x1,x ,x1十x3=m十2，x1x1=m一1 x星十x经-1x=9,即(1十x)-3x1x4=9, ∴.(m十2)2-3(m-1)=9. 整理，得m3十m一2=0， .(m十2)(m一1)=0，解得m1=一2，=1， ,m的值为一2或1， 专题训练四 二次函数解析式的求法 1y--号 9 2.解：(1)由题意，得c=一3. 将点(2,5)，(-1，-4)代入y=ax2+证+c, 184 数学九年级RJ版 二解得82 a-b-3=-4,1 .y=x2+2x-3. .这个二次函数图象的页点坐标为（一1，一4） (2)当y=0时，x2十2x-3=0, 解得1=一3，x=1 .该函数图象与x轴的交点坐标为（一3,0），(1,0). 3y-7+号+9 4.y=-2x2十16x-34 5.y=-x2+4x-3 6.解：(1)设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2-4 把A(-1,0)代入，得0=a(-1-1)2-4, 解得a=1,.y=(x一1)2一4=x2一2x一3， ∴抛物线对应的函数解析式为y=x2-2x一3. （2联立y2红3解得任二2或一2 1y=-2x十1， y=5 y=-3 “点C的坐标为（一2,5），点D的坐标为(2，一3). 如图，直线y=一2红十1与抛物线相交于 点C,D.过点P作PH∥y拍，交直线CDC 于点H,则点H的坐标为(1，一1D,连接 PC.PD. S△m=S△cK+Sao,PH=-1- (-4)=3, “5ae-2PH·(0-)- ×3 2 [2-(-2)]=6. 7.C8.D 9.解：(1)点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(3,0)， .AB=1+3=4. AB=OC,∴.OC=4, ∴点C的坐标为(0,4) (2)设二次函数的解析式为y=a(x十1)(x一3) 把点C的坐标代人，得一3a=4,一a=一专， “二次函数的解析式为y=一音父-2红-3)=一音 3x十4 8 10.B11.B 12.解：1)P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2十bz十1 图象上的两点， .此函数图象的对称轴为直线x=一1， -6 =-1,解得b=4 (2)平移后的二次函数的解析式为y=2x2十4x十1十表=2 (x十1)2十一1，要使平移后的图象与x轴无交点，则k一1 >0,k>1. 13.y=x2-2x-314.y=2x2-3x-1 15.解：y=x°-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线C的顶点坐标为(2，一1). 抛物线C1沿直线y=1翻折得到抛物线C, .抛物线C的顶点坐标为(2,3)， .抛物线C的解析式为y=一(x一2)2十3， 16.解：由对称轴为直线x=2可知，点B的坐标为(6,0) 设驰物线的解析式为y=a(x一2)十4. 把点A的坐标代入，得0=a(一2一2)+4， 解得a=一 1 抛物线的解析式为y=一左（红一2）十4， ,将抛物线绕点B旋转180后的抛物线的顶点坐标为(10， 一4)， “旋转后的驰物线的解析式为y=子（红一101一4专题训练 配方法的应用 (限时：30分钟) 类型1利用配方法求字母或代数式的值 7.求证：不论x,y取任何实数，多项式x2十y 1.将y=x2-6x+1化成y=(x一h)2+的形 一2x一4y十16的值总为正数 式，则h十的值是 A.-5 B.-8 C.-11 D.5 2.若关于x的方程25x2-(k-1)x十1=0的 左边可以写成一个完全平方式，则的值为 类型3用配方法求多项式的最值 ) 8.关于多项式一2x2+8x+5的说法正确的是 A.-9或11 B.-7或8 () C.-8或9 D.-6或7 A.有最大值13 B.有最小值-3 3.已知m2+π2-6m十4n十13-0，则2m十n的 C.有最大值37 D.有最小值1 9.已知实数m,n满足m-n2=1,则代数式 值是 ( +2m2十6m+8的最小值是 A.-2 B.3 10.已知x=m是一元二次方程x2十2x十n一3= C.4 D.-4 类型2用配方法判断符号比较大小 0的一个根，则m十n的最大值为 4.若x为任意实数，则多项式x一1 量的 m一n的最小值为 值 ( 类型4配方法在三角形中的应用 A.一定为负数 B.不可能为正数 11.若a,b,c为△ABC的三边长且满足a2-6a C.一定为正数 D.可能为任意实数 +6-86+c-5+25=0,请根据已知条 5.若m为实数，P=-m2-m十1，Q=m2-2m 件判断其形状。 十4，则P,Q的大小关系为 ( ) A.P<Q B.P-Q C.P>Q D.不能确定 6.已知a,b,c为实数，且b十c-5-4a十3a2,c -b=1-2a十a2,比较a,b,c之间的大小. 12.已知a,b,c是△ABC的三边长且互不相 等，c是△ABC的最短边，且a,b满足a2十 =12a+8b一52.求c的取值范围. 上册专题训练 9 专题训练二 一元二次方程的解法归类 (限时：30分钟) 类型《1形如(x十mP=n(n≥0)的一元二次 类型4当方程无法用其他方法解决时，用 方程可用直接开平方法求解 公式法求解 1.用直接开平方法解方程：(4x-1)2-225. 6.用公式法解下列方程： (1)x(x十3)=-1. 类型2当方程二次项系数为1，且一次项系 数为偶数时，可用配方法求解 2.用配方法解方程x2一8x=一3时，配方后正 确的是 (2)(x+1)(x-1)=22x. A.(x+4)2=19 B.(x+4)2=13 C.(x-4)2=19 D.(x-4)3=13 3.用配方法解下列方程： (1)x2-8x+4=0. 类型5当方程中出现一些相同的代数式 时，采用换元法求解 7.解方程：(x-1)2-5(x一1)十4=0. 解：设x一1-m,则原方程可化为m2一5m十 (2)x(x-4)=2-8x. 4=0,解得m1=1,m2=4. 当m=1时，即x-1=1,解得x-2: 当m=4时，即x-1=4,解得x=5. 故原方程的解为前=2，x2=5. 上述解法称为“整体换元法”，请用“整体换 元法”解方程：(2x-5)2-4(5-2x)十3=0. 类型3能化成形如(x十a)(x+b)=0的 元二次方程可用因式分解法求解 4.一元二次方程x2-9=3-x的根是() A.x=3 B.x=-4 C.x1=3,x2=-4 D.x1=3,x2=4 5.一元二次方程x(x十5)=x十5的解为 92 数学九年级R刷版