第二十一章 一元二次方程 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

本章小结 0。。+。+++。。。。4。+4.000+4+0.0。。 大单元思维导图 一元二次方 概念 程的定义 一般形式tx+bx+c=0(a≠0) 直接开平方法 配方法。配成完全平方形式 一元二次方 程的解法 求报公式：x=-b士1Y4a0(62-4c≥0) 公式法 2a 元二次方程 因式分解法 4>0→方程有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0)方程有两个相等的实数根 根的判别式 一元二次方 △<0（→方程无实数根 程的探紫 一元二次方程的 +=- a,c a 根与系数的关系 一元二次方程的 步骤市、设、列、解、验、答 实际应用 平均增长（降低）率问题、图形面积 常见类型问题、销售利润问题、数字问题等 大单元考点训练 考点①一元二次方程的定义及相关概念 B.第二象限 1.(2024-2025上饶期中)下列各式：号1-x) C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限 =0g-0,22=02+x=0+ 5若一元二次方程a(x一6)2=1的两根为号士 =0.其中一元二次方程的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 竖则a+6等于 2.已知关于x的方程x2十mx十3=0的一个 考点3一元二次方程根的判别式 根为x=1,则实数m的值为 ( 6.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等 A.4 B.-4 C.3 D.-3 的实数根的是 () 考点2一元二次方程的解法 A.x2-6x=0 B.x2-9=0 3.一元二次方程x2一x一2=0的解是( C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=-2 7.(2024泰安)关于x的一元二次方程2x2 C.x1=-1,x2=-2D.x1=-1,x2=2 3x十k=0有实数根，则实数k的取值范围是 4.已知一元二次方程(x一2)2=6一3x的两个 () 根分别是点P的横坐标，纵坐标，则点P在 A<号 RK号 ( A.第一象限 C>号 D.Eg 16 数学九年级RJ板 8.已知关于x的一元二次方程x2+2x十m-2 考点5一元二次方程的实际应用 =0有两个实数根，m为正整数，且该方程的 13.跨物理学科匀变速直线运动中，每个时间 根都是整数，求符合条件的所有正整数m的 段内的平均速度（初始速度与末速度的算 值的和。 术平均数)与路程s、时间t的关系为s ·t.现有一个小球以5m/s的速度开始向 前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止 运动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ 考点4一元二次方程的根与系数的关系 9.若关于x的一元二次方程x2一4x十m=0 的两个实数根分别为x1,x2,且十3x2=5, 则m的值为 ) AT B号 c D.0 10.若关于x的方程x8十(k一2)x十2=0的 (2)小球滚动5m约用了多少秒（结果保留 两根互为倒数，则的值为 11.已知m,n是一元二次方程x2十2x-1=0 小数点后一位，参考数据：√2≈1.41)？ 的两个根，则m2+4m+2的值为 12.(2024一2025赣州上犹期中)已知关于x的 一元二次方程x2一(2k+1)x+2+2=0 有两个实数根. (1)求k的取值范围 (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,且 满足x十x一13=0，求k的值. 上册第二十一章(2)1+5%0×(1+g×5%）-1=0.134=13.4%. 故全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分 数为13,46. 第3课时几何图形问题 1.B2.23.204.1cm 5.解：(1)设运动时间为ts,则PB=(16一3t)cm,CQ=2tcm 依题意，得216-31+2)×6=33， 解得t=5. 故P,Q两点出发5s时，四边形PBCQ的面积为33cm (2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图所示 .PM-PB-CQ=116-5tlem,QM-6 cm, ∴.PQ=PF十QF, 即102=(16-5t)2+62 解得=号6=华气不合题意，舍去。 5 故P,Q两点出发s时，点P和点Q的距离第 一次是10cm. 6.A7.608.3 9.解：(1)设将矩形绿地的长，宽均增加xm,则新的矩形绿地的 长为(35十x)m,宽为15十x)m 依题意，得(35十x)(15十x)=800, 整理，得x2十50x一275■0， 解得x1=5,x1=一55（不符合题意，舍去）， .35十x=35十5=40,15十x=15十5=20. 故新的矩形绿地的长为40m,宽为20m (2)投将矩形绿地的长，宽均增加ym,则新的矩形绿地的长 为(35+y)m,宽为(15+y)m. 依题意，得(35十y)(15十y)=5:3, 即3(35十y)=515+y), 解得y=15, .(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500. 故新的矩形绿地面积为1500m°， 10.解：(1)小亮的设计方案中甬路的宽度为2m. 2)小颖的设计方案中四块绿地的总面积为2299m2, 本章小结 1.A2B3.D4.D5号6.D7.B 8.解：：关于x的一元二次方程x2十2x十m一2有两个实 数根， .4=4一4(m一2)≥0，.m3 又”m是正整数， m的值为1或2或3， 由求根公式，得x=一1士√3一m 方程的根都是整数 ”.√3一m是整数， m的值为2或3， 符台条件的所有正整数m的和为5 9.A10.-111.-3 12解：(1)一元二次方程x2一(2k十1)x十十2=0有两个 实数根， “4=[-(2k+1D驴-4+2≥0，解得≥ (2)由根与系数的关系可知，x1十1=2k十1，x1x:=十2. x+x-13=0,.(x1十x)2-2x1x=13, ∴(2+1)2-2(+2)-13=0. 整理，得2十2k一8=0， 解得1=2，k2=一4. :3子 .点=2. 13.解：(1)5÷4=1.25(m/s) 故小球的液动速度平均每秒减少1.25m/s. (2)设小球液动5m约用了xs 由题意，得x·5+(5-1.252=5. 2 整理，得x2-8x十8=0， 解得1■4-22，x:=4十2② 当x=4+2W2时，5-1.25x=5-1.25×（4+22)=-5y 2 <0,不符合题意，舍去： 当x=4-22时，5-125x=5-1.25×（4-22=5y2 0,符合题意，此时x=4一221.2. 故小球滚动5m约用了1,2s 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22,1.1二次函数 1.C2.D3.B4.-35.(1)一次(2)二次 6.解：(1)y■x2+5x (2)当x=1时，y=6:当x=√2时，y=5V2十2：当x=2时，y =14. 故当该矩形每条边的长都增加1cm,√2cm,2cm时，矩形的 面积各增加6cm,(5√2十2)cm2,14cm2 7.2变式题08.C9.C10.A 11.(1)0(2)m≠0且m≠1 12.y=-2π.x2+40xx13.y=2x2-4x十4(0≤x≤2) 14解：s=-x+2x(得长<8 (2)令S=45,则-3x2+24x=45, 解得x1=3(不合题意，舍去)，x2=5, AB的长为5m 15,解：(1)由题意，得每件商品的利润为(x一30)元，∴.m件的 利润为y=(x一30). 又，m=162-3x, .y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860. m>0,.162-3x≥0，.x≤54. 又x≥30，.30≤x≤54. 故商场销售这种商品每天的利润y与每件的售价x之间的 函数关系式为y=-3x2十252x-4860(30≤x≤54). (2)不能.理由如下： 令-3x2+252x一4860=500，移J项，得3x2-252x十5360= △=(-252)2-4×3×5360=-816<0. 方程无实数根， .商扬每天销售这种商品的利阀不能达到500元. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.C2B3.y=号4D5.D6.13 7.解：(1)根据题意，得k十2≠0且k十k一4=2，解得k1■一3， eg=2, :当x<0时，y随x的增大而增大， .二次函数的图象开口向下，即k十2<0，解得k一2，. =-3. (2)-4≤n≤0 8.D9.B10.A11.C12.2w3 13.解：(1)把A(-2,40代入y=a2,得4=4a,解得a=1,∴y 世 由题意可知，点A,B关于y轴对称， B2,4. (2)设点P的坐标为(p,p). AB=2-(-2)=4,5am=2AB,w-w=2, 171 上册参考答案