第二十四章 圆 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

本章小结 0。。++。+++。为。+。4。+。。e。0++。。0。。 大单元思维导图 心…… 概念国、直径、弦、孤等 圆的有关概 垂轻定理 念及性质 性质 园心角定理及推论 圆周角定理及推论 圆的确定 点和圆的位置关系 三角形的外接圆 与圆有关的 位置关系 直线和圆位置关系的判定 直线和圆的位置关系 切线的判定和性质 三角形的内切圆 正多边形和圆的关系 正多边形和圆 正多边形的有关计算 盆长公式：=TR 180 有关圆的计算 扇形面软公式：S=需号贝 圈维的侧面积和全面积 大单元考点训练◆ 考点)垂径定理及其应用 约为？m,则赵州桥主桥拱半径R约为 1.(教材变式)如图，水平放置的圆柱形排水管 37m 道的横截面直径为1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管道内水的深度为() A.0.8mB.0.5mC.0.3mD.0.2m 图①少 第3题图 A.20m B.28m C.35m D.40m 4.如图，⊙O的两条弦AB,CD互相垂直于点 第1题图 某2题图 E,AB=CD,CE=1,DE=3,则⊙O的半径 2.(2024赤峰)如图，AD是⊙O的直径，AB是 为 ⊙O的弦，半径OC⊥AB,连接CD,交OB 于点E,∠BOC=42°，则∠OED的度数是 ( A.61° B.63° C.65 D.67 第4题围 第5题围 3.如图①，赵州桥是当今世界上建造最早，保 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点 存最完整的中国古代单孔散肩石拱桥.如 P.若AP=1,BP=5,∠APC=30°，则CD 图②，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高 的长为 数学九年级RJ版 考点2圆周角定理及其推论 E,AC=2BD,连接AD,过点B的切线与 6.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两 AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°，则 点，连接BD,OC.若∠AOC=140°，则 ∠DEB的度数为 ∠BDC 12.如图，在△ABC中，O是 A.20 B.40 C.55 D.70 AB边上的点，以点O为 圆心，OB长为半径的⊙O 与AC相切于点D,BD平 第12题阁 分∠ABC,连接OD.若∠A=30°，AB=12, 则CD的长是 第6题图 第7题因 7.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆.若 13.结论开放题(2024贵州节 AB=3,则⊙O的半径是 ( 选)如右图，AB为半圆O的 直径，点F在半圆上，点P A. C.3 在AB的延长线上，PC与半圆相切于点 8.如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD= C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF 105°，连接OB,OC,OD,BD.若∠BOC= 相交于点E,DC=DE. 2∠COD,则∠CBD的度数是 ( (1)写出图中一个与∠DEC相等的角： A.25 B.30 C.35 D.40 (2)求证：OD⊥AB. 第8题图 第9题图 9.如图，AB为⊙O的直径，BC=8,AC=6,CD 平分∠ACB,则AD的长为 考点③切线的性质与判定 10.如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分 ∠BAC,过点D的切线交AC于点E, ∠EAD=25°，连接OD,则下列结论错误的 是 ( A.AE⊥DE B.AE∥OD C.DE=OD D.∠BOD=50° 14.（2024宜宾改编)如右图， △ABC内接于⊙O,AB=AC =10,过点A作AE∥BC,交 第10题图 第11题图 ⊙O的直径BD的延长线于点E,连 11.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点 接CD. 上册第二十四量 (1)求证：AE是⊙O的切线. (2)若BC=12,求CD的长. 图① 图② 第17题图 第18题图 18.真实情境(2024山西)如图①所示的是小 区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分， 图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）. 通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°， OA=1m,C,D分别为OA,OB的中点，则 花窗的面积为 m2. 19.如右图，在△ABC中，O为 AC边上一点，⊙O分别与 AB,BC相切，切点分别为 A,D.E为⊙O上一点，且 DE⊥AC于点M,AE∥BC (1)求证：四边形ABDE是菱形 (2)连接CE,猜想CE与⊙O的位置关系， 并说明理由。 考点4圆的有关计算（含正多边形） (3)若AO=4,求DE的长 15.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为AD 上一点.若BM=CM,⊙O的半径为4，则 BM的长是 A.6πB.4π C.3π D.2π 第15题图 第16题图 16.在如图所示的网格中，每个小正方形的边 长均为1，点A,B,D均在小正方形的顶点 上，且点B,C在AD上.若∠BAC=22.5, 则BC的长为 17.(教材变式)如图，正三角形的边长为12cm,剪 去三个角后成为一个正六边形，则这个正 六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm. 数学九年级RJ版.∠D=∠OAE=30° 又∠OCD=90°， .OD=20C=OA十AD. ..DA=0A=OC=OE=3. ,∠BOE=60°， ∴∠OEF=30°， 0F=20E= EvoE-0丽-V-(受)-3 2 六5aE-7A0~EF= 4 又：Sot=120zX3-3x, 360 S4=Sa第a-SA0s=3x-9y3 第2课时圆锥的侧面积和全面积 1.D2.c3.号4. 5.解：设AB=xcm,则DE=(6-xcm 根据题意，得需-不6一0，解得x=4,则6一x一2，即图 维的母线长为4cm,底面圆的半径为1cm .园锥的高为√-1下=√15(cm. 6.C7.C8.15x 9.解：①由题意，得3×2xr=270xX16,解得r=4cm 180. 故此圆锥的底面圆的半径为4cm (2)此圆锥的全而积为x×42十xX4×16=80x(cm2). 10号 11.解：(1)在等腰三角形ABC中，∠BAC=120, .∠B=30°. ,AD是∠BAC的平分线， ∴.AD⊥BC,BD=CD, ,.AB=2AD=12, .由勾股定理，得BD=6v5, ∴BC=2BD=125, 六S=Sae-Saw=是×6X125-120 360 36W3-12π， (2)设园维的底面圆的半径为 根据题意，得2xr-120xX6,解得，-2. 180 又十r2=AD,AD=6,,2十22=62 ,.h=4W2. 12.解：(1)能.理由如下： 设园维滤纸底而周长为C,半径为，母线为。 由题意，得期斗底面半径R-子cm,母线长L-7cm,花纸 直径d=10cm. :2d-C-2r,r-之m 1=号-5em, 7 1 “湾纸可紧贴漏斗内壁。 2由1)可知，国雀滤纸底面积为心2-5xm,侧面积为 ÷滤纸图成的图雀形的全面积为空十受-x(cm》 本章小结 1.A2.B3.B4.55.426.A7.C8.A9.5② 10.C11.66°12.2/3 13.解：(1)∠AEO或∠DCE (2)证明：如图，连接OC PC是半圆O的切线，OC是半圆 O的半径， .OC⊥DC .OA-OC ∠CAO=∠ACO. :∠DCE+∠AC0-90, ,∠DCE+∠CAO-90" DC=DE, .∠DCE=∠DEC ,∠DEC=∠AEO, ∴.∠DCE=∠AEO, .∠AEO+∠CAO=90°， .,∠AOE=90°，即OD⊥AB 14,解：1)正明：如图，连接A0并延长交BC 于点F,连接OC,则OB=OC. .AB=AC,OB=OC. ∴.AF⊥BC ,AE∥BC ,.AF⊥AE 又，QA是⊙O的半径， ∴.AE是⊙O的切线. (2)AB=AC,AF⊥BC, BF=FC=号BC=号×12=6 在Rt△AFB中，AF=/AB一BF=I0-6=8. 设⊙O的半径为R, 在Rt△OFB中，OF+BF=OB, 即(8-R)2十62=R, 解得尺=草。 ∴OF=AF-0A=8-5=1 44 BO=OD,BF=FC, :CD-20F-2x?-号 7 15.c16经7.12618(-》 19.解：(1)证明：：⊙0分别与AB,BC相切，切点分别为A,D, ∴，∠BAC=90°，AB=BD 又：DE⊥AC于点M, .∠BAC=∠DMC=90, ∴，DE∥AB 又，AE∥BC, ,四边形ABDE为菱形 (2)CE与⊙O相切. 理由：如图，连接OD,OE BD是切线， ∴.，∠ODC=90 DE⊥AC于点M DM-ME. ..CD=CE. 又OC=OC,OD=OE, ∴.△CDO2△CEO(SSS). 181 上册参考答案 .∠OEC=∠ODC=90°， .CE是⊙O的切线. 8由a)(②)可得ME=罗=S,∠AME=90 .∠MAE=30°，.∠MOE=60° ∠D0E=120°， 编=0R-120×xX4_8x 180 180 3 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 1.A2.D3.A4.随机 5.解：1)当>6，即=7或8或9时，这个事件必然发生 (2)当<3，即■1或2时，这个事件不可能发生， (3)当3≤n≤6，即n=3或4或5或6时，这个事件可能 发生， 6.B7.C1)绿(2)38.①③9.A10.D11.不可能 12.1 13.解：(1)这个球可能是白球也可能是黑球 (2)不一样大.摸出白球的可够性更大 理由：：对于每一个球来说，被摸出的可能性都是均等的 白球的个数是16，比黑球的3倍还多，.摸出白球的可能性 比摸出黑球的可能性更大 14.解：(1)，y=3x2-12x+12十2a=3(x-2)2+2a,且3>0， ∴核函数图象的对称轴为直线x=2,∴当x<2时，y随x 的增大而减小，”x<0是x<2的一部分，.当x<0时，y 随工的增大而减小，即A是必然事件， (2)△=(-12)2-4×3×(12+2a)=-24a,.当a>0 时，一2a<0,此时二次函数y=3x2一12x十12+2a的图朗 与x轴没有交点：当4=0时，一24a=0,此时二次函数y 3x2一12x十12+2a的图象与x轴只有一个交点：当a<0 时，-24a>0,此时二次函数y=3x2-12x十12十2a的图象 与x轴有两个交点.故B是随机事件 25.1.2概率 1.C2D3.A4D5.言6.B7.B8.不公平 gC10.B1.B12A13号 14.解：(1)由题意可知，P(从袋子中摸出1个球是黄球)= 1 5+13+22-8 (2)设取出了x个黑球，则放人了x个黄球 由题意，得5+千2之号解得≥答 5+x 3 故至少应取出9个黑球 15.解：(1)1或2 (2)所有可能的密码是911,912,913,914,915,916,917， 918,919,920,共10个，能被3整除的有912,915,918， P(密码数龍被3整除)-品 (3)小红是6月份出生，6月份只有30天，用小红生日设 置的密码为601,602,603，…，630，即所有可能的密码个数 为30. 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 1.A2.D3.C 4.解：(1)1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，2,2)，(2,3)，(3,1)，(3 2),(3,3),共9种结果 (2)摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的有(2,3)，(3 2),(3,3),共3种结果，P(摸出的两张牌的牌面数字之和 不小于)=号 182 数学九年级BJ版 5.B6言 7解：号 (2)根据题意，列表如下： A 尔 C A (A,A) (B,A) (C,A) B (A:B) (B,B) (C,B) (A,C) (B,C) (C.C 由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲，乙两位新生分到 同一个班的结果有3种，P(甲、乙两位新生分到同一个班 8号9 10.解：1)根据题意，列表如下： a b a (a,a) (a:b) (a;c) b (b,a) (6,b0 (b,c) 由表可知，共有6种等可能的结果 (2),共有6种等可能的结果，其中七年级年级组、八年级 年级组选择的研学基地互不相同（记为事件A)的结果有4 种，PA=- 2 1.解：0号 (2②PC点M落在图边形ABCD内那（含边界）】=号 第2课时用画树状图法求概率 1A203号4号 5.解：0)号 (2)分别用A,B,C代表“琮琮”“夜宸"“莲莲“，画树状国 如图 第一次 第二次 第三次BCBCB 由图可知，共有27种等可能结栗，其中三次抽到的吉祥物都 相同的结果有3种。 “.P(三次抽到的吉样物都相同)一27=氵 6.B7B8B9A0.D11合 12.解：(1)面树状图如图 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两球上的数字之 和为奇数的结果有8种， P(甲疾=是-号 (2)这个游戏规则对甲，乙双方不公平， 理由：由()知，P(甲获胜)=号，P(乙获胜)=立-号